1、 九年级下册第一章 直角三角形的边角关系【知识要点】一、锐角三角函数：正切：在 RtABC 中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A 的正切，记作 tanA，即;bAatn正弦：在 RtABC 中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦，记作 sinA，即 ;casinA余弦：在 RtABC 中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记作 cosA，即 ;bo余切：在 RtABC 中，锐角A 的邻边与对边的比叫做A 的余切，记作 cotA，即 ;cAt注：（1）sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,A 是锐角( 注意数形结合,构造直角三角形).（2）sinA,cosA,tanA,
2、 是一个完整的符号,表示A, 习惯省去“”号；（3）sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且 sinA,cosA,tanA,均0,无单位.（4）sinA,cosA,tanA, 的大小只与A 的大小有关, 而与直角三角形的边长无关 .（5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等 ,则这两个锐角相等.1、三角函数和角的关系tanA 的值越大， 梯子越陡， A 越大； A 越大， 梯子越陡，tanA 的值越大。sinA 的值越大， 梯子越陡， A 越大； A 越大， 梯子越陡，sinA 的值越大。cosA 的值越小， 梯子越陡， A 越大； A 越大， 梯子越陡，cos
3、A 的值越大。2、三角函数之间的关系（1）互为余角的函数之间的关系0 30 45 60 90 若A 为锐角，则 ； )90cos(inAi ； )90cot(tanAt（2）同角的三角函数的关系1)平方关系：sinA 2cosA 212)倒数关系：tanAcotA13)商的关系：tanA ，cotA Aoscinsinco二、解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。在ABC 中，C 为直角，A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，则有(1)三边之间的关系：a 2+b2=c2； (2)
4、两锐角的关系：AB=90； 解直角三角形的几种基本类型列表如下：(3)边与角之间的关系： ;cot,tan,cos,sin abAbA;t,t,i bBcBc(4)面积公式: (hc为 C 边上的高); hab21S(5)直角三角形的内切圆半径 r(6)直角三角形的外接圆半径 cR21sin 0 21231cos 1 30tan 0 1 3cot 31 0利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在 090间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小） 而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小) 而减小(或增大)。(2)0sin1，0cos1。三、解直角三角形的应用：1、
5、当从低处 观 测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角2、 如图 2，坡面与水平面的夹角叫做坡角 (或叫做坡比)。用字母 i 表示，即 Alhitan从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图 3，OA、OB、OC 的方位角分别为45、135、225。指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90的水平角，叫做方向角。如图 4，OA、OB、OC、OD 的方向角分别是；北偏东 30，南偏东 45(东南方向)、南偏西为 60，北偏西 60。【基础训练】锐角三角函数定义一、填空题1如图所示，B、B 是MAN 的 AN 边
6、上的任意两点， BCAM 于 C 点，BCAM 于 C点，则BAC_，从而 ，又可得ACB)( _，即在 RtABC 中(C90 )，当A 确定时，它的_ 与_的比是一个BAC_值； _，即在 RtABC 中(C90 )，当A 确定时，它的 _与_的比也是一个_； _，即在 RtABC 中(C90 )，当A 确定时，它的CAB_与_的比还是一个_第 1 题图2如图所示，在 RtABC 中，C 90第 2 题图 _， _；对)(sinA对)(sinB _， _；对)(co 对)(co _， _对A)(tan )(tanB3因为对于锐角 的每一个确定的值，sin 、cos 、tan 分别都有_ 与
7、它_ ，所以sin、cos 、 tan都是_又称为 的_4在 RtABC 中，C90，若 a9，b12，则 c_ ，sinA_，cosA_，tanA_，sinB_ ，cosB_，tanB_5在 RtABC 中，C90，若 a1，b3 ，则 c_，sinA_，cosA_，tanA_，sinB_ ，cosB_，tanB_6在 RtABC 中，B90，若 a16，c30 ，则 b_ ，sinA_，cosA_，tanA_，sinC_， cosC_，tanC_7在 RtABC 中，C90，若A 30，则B_，sinA_，cosA_，tanA_，sinB_ ，cosB_，tanB_二、解答题8已知：如图，
8、RtTNM 中， TMN 90，MRTN 于 R 点，TN 4， MN 3求：sinTMR 、cosTMR、tanTMR9已知 RtABC 中， 求 AC、AB 和 cosB,12,43tan,90BCAC综合、运用、诊断10已知：如图，RtABC 中， C90D 是 AC 边上一点，DE AB 于 E点DEAE12求：sin B、cosB、tanB11已知：如图，ABC 中， AC12cm，AB 16cm， 31sinA(1)求 AB 边上的高 CD；(2)求ABC 的面积 S；(3)求 tanB12已知：如图，ABC 中， AB9，BC6 ，ABC 的面积等于 9，求 sinB拓展、探究、
9、思考13已知：如图，RtABC 中， C90，按要求填空：(1) ,sincaA _；,i(2) ,cosbAb_，c_ ；(3) ,tanAa_，b_；(4) _， _；,23sinBcosBtan(5) _， _；,5coiAt(6) 3， _， _tansisin正切：1、在 RtABC 中,锐角 A 的对边和邻边同时扩大 100 倍,tanA 的值（ ）A.扩大 100 倍 B.缩小 100 倍 C.不变 D.不能确定2、已知A,B 为锐角(1)若A=B,则 tanA tanB; (2)若 tanA=tanB,则A B.3、在ABC 中，C=90，BC=12cm，AB=20cm，求 t
10、anA 和 tanB 的值.正弦和余弦：1已知 中， ，3cosB=2， AC= ，则 AB= ABC90522.在 Rt 中， ，如果 ， ，那么 的值是（ ）AB1CBsinA. B. C. D.212333.在 中， ， 分别是 的对边，若 ，则 RtABC 90abc， ， ， ， 2batnA4.如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离 =3 米， ，则梯子 的长度为 AC3cos4BACB米5.如果 是等腰直角三角形的一个锐角，则 的值是（ ）atan 1212三角函数值的计算一、填空题1填表锐角 30 45 60sincostan二、解答题2求下列各式的值(1) (2)tan3
11、0sin60sin30o45cs230sin(3)cos453tan30cos302sin602tan45 (4) 45sin30cotan130si45co 2223求适合下列条件的锐角 (1) (2) (3) (4)21cos3tan2sin3)16cos(综合、运用、诊断4已知：如图，在菱形 ABCD 中，DEAB 于 E，BE16cm， 求此132sinA菱形的周长5已知：如图，在ABC 中，BAC120，AB10 ，AC5求：sinACB 的值6已知：如图，RtABC 中，C 90，BAC 30，延长 CA 至 D 点，使 ADAB 求：(1)D 及DBC；(2)tanD 及 tanDBC；(3)请用类似的方法，求 tan22.5
