1、- 1 -圆知识点一、圆的定义及有关概念来源:学弧、等弧、优弧、劣弧、半圆 ;弦心距 ;等圆、同圆、同心圆。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。例 P 为 O 内一点，OP=3cm， O 半径为 5cm，则经过 P 点的最短弦长为_； 最长弦长为_解题思路：圆内最长的弦是直径，最短的弦是和 OP 垂直的弦，.知识点二、平面内点和圆的位置关系平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内当点在圆外时，dr；反过来，当 dr 时，点在圆外。当点在圆上时，dr；反过来，当 d
2、r 时，点在圆上。当点在圆内时，dr；反过来，当 dr 时，点在圆内。例 如图，在 RtABC 中，直角边 3AB， 4C，点 E， F分别是 BC， A的中点，以点A为圆心， 的长为半径画圆，则点 E在圆 A 的_ ，点 在圆 A 的_解题思路：利用点与圆的位置关系练习：在直角坐标平面内，圆 O的半径为 5，圆心 O的坐标为 (14)， 试判断点 (31)P， 与圆O的位置关系知识点三、圆的基本性质1 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对的弧。3、圆具有旋转对
3、称性，特别的圆是中心对称图形，对称中心是圆心。圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。来源:学科网 ZXXK圆周角定理推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。圆周角定理推论：直径所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径。例 1 如图，在半径为 5cm 的O 中，圆心 O 到弦 AB 的距离为 3cm，则弦 AB- 2 -OBACD的长是（ ）A4cm B6cm C8cm D10cm例 2、如图，A、B、C、D 是O 上的三点， BAC=30，则 BOC
4、 的大小是( )A、60 B、45 C、30 D、15例 3、如图 1 和图 2，MN 是 O 的直径，弦 AB、CD 相交于 MN上的一点P， APM=CPM（1）由以上条件，你认为 AB 和 CD 大小关系是什么，请说明理由（2）若交点 P 在 O 的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由BA CEDPONMFBACEDPNMF(1) (2)解题思路：（1）要说明 AB=CD，只要证明 AB、CD 所对的圆心角相等解：（1）AB=CD理由：（2）作 OEAB，OFCD，垂足为 E、F例 4如图，AB 是 O 的直径，BD 是O 的弦，延长 BD 到 C，使 AC=A
5、B，BD 与 CD 的大小有什么关系？为什么？解题思路：BD=CD，因为 AB=AC，所以这个 ABC 是等腰，要证明 D 是 BC 的中点， 只要连结 AD 证明 AD 是高或是 BAC 的平分线即可解：BD=CD理由是：- 3 -BAC知识点四、圆与三角形的关系1、不在同一条直线上的三个点确定一个圆。2、三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆。3、三角形的外心：三角形三边垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心。4、三角形的内切圆：与三角形的三边都相切的圆。5、三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。例 1 如图，通过防治“非典” ，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活
6、垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图 2449 所示，A 、B、C 为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见， 要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址BA C解题思路： 连结 AB、BC，作线段 AB、BC 的中垂线，两条中垂线的交点即为垃圾回收站所在的位置例 2 如图，点 O 是ABC 的内切圆的圆心，若 BAC=80，则BOC= （ ）A130 B100 C50 D65例 3 如图，RtABC ， C=90，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点 C 的距离为（ ） A5 cm B2.5cm C3cm D4cm解题思路
7、：直角三角形外心的位置是斜边的中点 知识点五、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离当直线和圆相交时，dr；反过来，当 dr 时，直线和圆相交。 来源:Zxxk.Com当直线和圆相切时，dr；反过来，当 dr 时，直线和圆相切。当直线和圆相离时，dr；反过来，当 dr 时，直线和圆相离。切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径- 4 -切线的判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这点的连线平分两条切线的夹角。例 1、 在 中
8、，BC=6cm， B=30，C=45 ，以 A 为圆心，当半径 r 多长时所作的A 与直线 BC 相切？相交？相离？解题思路：例 2如图，AB 为 O 的直径，C 是O 上一点，D 在 AB 的延长线上，且DCB= A（1）CD 与 O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由（2）若 CD 与 O 相切，且 D=30，BD=10 ，求 O 的半径解题思路：（1）要说明 CD 是否是O 的切线，只要说明 OC 是否垂直于 CD，垂足为 C， 因为C 点已在圆上由已知易得：A=30，又由DCB= A=30得：BC=BD=10解：- 5 -知识点六、圆与圆的位置关系重点：两个圆的五种
9、位置关系中的等价条件及它们的运用难点：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题外离：两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的外部相离：内含：两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的内部相切：外切：两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的外部内切：两圆只有一个公共点，除公共点 外一个圆上所有的点都在另一个圆的内部相交：两圆只有两个公共点。设两圆的半径分别为 r1、r 2，圆心距（两圆圆心的距离）为 d，则有两圆的位置关系，d 与 r1和 r2之间的关系外离 dr1+r2外切 d=r1+r2相交 r1r 2dr1+r2内切 d=r1r 2内含 0dr1r 2
10、（其中 d=0，两圆同心）例 1两个同样大小的肥皂 泡黏在一起，其剖面如图 1 所示（点 O，O是圆心） ，分隔两个肥皂泡的肥皂膜 PQ 成一条直线， TP、NP 分别为两圆的切线，求 TPN 的大小（1） (2)解题思路：要求TPN，其实就是求 OPO的角度，很明显， POO是正三角形，如图 2 所示解：- 6 -例 2如图 1 所示，O 的半径为 7cm，点 A 为O 外一点，OA=15cm，求：（1）作A 与 O 外切，并求A 的半径是多少？AO(1) (2)(2）作A 与O 相内切，并求出此时 A 的半径解题思路：（1）作A 和O 外切，就是作以 A 为圆心的圆与O 的圆心距 d=rO
11、+rA；（2 ）作 OA 与O 相内切，就是作以 A 为圆心的圆与 O 的圆心距 d=rAr O例 3如图所示，点 A 坐标为（ 0，3） ，OA 半径为 1，点 B 在 x 轴上（1）若点 B 坐标为（4， 0） ， B 半径为 3，试判断 A 与B 位置关系；（2）若B 过 M（2，0）且与A 相切，求 B 点坐标_A_y_x_O- 7 -知识点七、正多边形和圆重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、 边长之间的关系难点：使学生理解四者：正多边形半径、中心角、 弦心距、边长之间的关系 来源:学,科,网正多边形的中心：所有对称轴的交点；正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。正
12、多边形的边心距：正多边形内切圆的半径。正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角。正 n 边形的 n 条半径把正 n 边形分成 n 个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。例 1如图，已知正六边形 ABCDEF，其外接圆的半径是 a， 求正六边形的周长和面积解题思路：要求正六边形的周长，只要求 AB 的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接 OA，过 O 点作 OMAB 垂于 M，在 RtAOM中便可求得 AM，又应用垂径定理可求得 AB 的长正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的解：例 2在直径为 AB 的半圆内，划
13、出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为 AB，顶点 C在半圆圆周上，其它两边分别为 6 和 8，现要建造一个内接于ABC 的矩形水池 DEFN，其中 D、E 在AB 上，如图 2494 的设计方案是使 AC=8，BC=6 （1）求ABC 的边 AB 上的高 h（2）设 DN=x，且 DNFAB，当 x 取何值时，水池 DEFN 的面积最大？（3）实际施工时，发现在 AB 上距 B 点 185 的 M 处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最FDECBAOM- 8 -大矩形水池能避开大树hFD ECB
14、ANG解题思路：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值 （3）的设计要有新意， 应用圆的对称性就能圆满解决此题解：知识点八、弧长和扇形、圆锥侧面积面积重点：n的圆心角所对的弧长 L= 180nR，扇形面积 S 扇=2360nR、圆锥侧面积面积及其它们的应用难点：公式的应用1n 的圆心角所对的弧长 L= 180nR2圆心角为 n的扇形面积是 S 扇形=236- 9 -3.全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的，所以全面积= rL+r2例 1操作与证明：如图所示，O 是边长为 a 的正方形 ABCD 的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角
15、的扇形纸板的圆心放在 O 处，并将纸板绕 O 点旋转，求证：正方形 ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值 a解题思路：如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边 AB、AD 分别交于点 M、N，连结OA、OD 四边形 ABCD 是正方形OA=OD， AOD=90，MAO=NDO，又MON=90 ，AOM=DON AMODNOAM=DN AM+AN=DN+AN=AD=a特别地，当点 M 与点 A（点 B）重合时，点 N 必与点 D（点 A）重合，此时 AM+AN 仍为定值a故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值 a例 2已知扇形的圆心角为 120，面积为 300cm2（1）求扇形的弧
16、长；（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？解题思路：（1）由 S 扇形 =2360nR求出 R，再代入 L= 180nR求得 （2）若将此扇形卷成一个圆锥，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面是一个以底是直径， 圆锥母线为腰的等腰三角形来源:学。科。网 Z。X。X。K解：- 10 -考查目标一、主要是指圆的基础知识，包括圆的对称性，圆心角与弧、弦之间的相等关系，圆周角与圆心角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，以及垂径定理等内容。这部分内容是圆的基础知识，学生要学会利用相关知识进行简单的几何推理和几何计算例 1、如图，AB 是O 的直径，BC 是弦，ODBC 于 E，交 BC于 D(1)请写出五个不同类型的正确结论；(2)若 BC=8，ED2，求O 的半径解题思路：运用圆的垂径定理等内容解：例 2.已知：如图等边 ABC 内接于O ，点 P是劣弧 PC 上的一点（端点除外） ，延长 BP至 D，使 BDAP，连结 （1）若 过圆心 ，如图，请你判断 DC 是什么三角形？并说明理由（2）若 不过圆心 ，如图， 又是什么三角形？为什么？解题思路：（1） PDC 为等边三角形 理由：AOCDPB图AOCDPB图
