1、硕 士 学 位 论 文随机理论及 Zipf 定律的研究及其在金融中的应用Study on Stochastic Theory and Zipfs law and Its Application in Finance作者：郭亚龙导师：王 军北京交通大学2011 年 5 月学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。（保密的学位论文在解密后适用本授权说明）学位论文作者签名： 导
2、师签名：签字日期： 年 月 日 签字日期： 年 月 日i中图分类号：O211.9UDC：XXXX 学校代码：10004密级：公开 北 京 交 通 大 学硕 士 学 位 论 文随机理论及 Zipf 定律的研究及其在金融中的应用Study on Stochastic Theory and Zipfs law and Its Application in Finance作者姓名：郭亚龙 学 号：09122141导师姓名：王 军 职 称：教授学位类别：理 学 学位级别：硕 士学科专业：概率论与数理统计 研究方向：金融数学北京交通大学2011 年 5 月ii致谢本论文的工作是在我的导师王军教授的悉心指导
3、下完成的，王军教授严谨的治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响。在此衷心感谢两年来王军老师对我的关心和指导。两年来，无论是在研究生的课程学习当中，还是在论文的选题，研究和定稿当中，王老师自始至终给了我无私的关怀和大力的帮助。两年的研究生生活之中，王老师渊博的知识，严谨的治学态度和认真负责的工作态度使我受益匪浅，并将受益终身。而跟随王老师学习以及课题研究也为我以后工作的发展打下良好的基础。在此，向王老师表示衷心的感谢。感谢我的父母对我多年的教育与培养，在我遇到各种困难时，他们总是在积极地鼓励我，支持我，给与我精神上的支持和物质上的帮助，使我能够全身心的投入到课题研究中去。在撰写论文期间，
4、潘活泼、余峣等同学对我论文中的研究工作给予了热情帮助，在此向他们表达我的感激之情。感谢我同门的师兄师姐和师弟师妹，和他们共同学习的过程中，收获颇多。另外也感谢我的朋友们，他们的理解和支持使我能够在学校专心完成我的学业。感谢各位学者，专家在百忙之中审阅我的文章，并给出批评意见。iii中文摘要摘要：本文研究了语言统计学中的 Zipf 定律，阐述了与之相关的基本理论及相关知识。在此及基础上，结合随机理论和金融学的有关知识，构造了新的证券价格波动模型和 -Zipf 模型。在新的证券价格波动模型中，我们引入了三个参数：(,)mkZipf 指数 ，时间尺度 ，预期收益率 。针对不同参数，我们给出了价格上涨
5、，价格下跌，价格稳定的绝对频率和相对频率，并进一步分析了中国证券投资者的心理行为特征。通过 MATLAB 以及 SPSS 编程，我们对上证综合指数的单日收益率序列进行了 Zipf 分析，通过计算 Zipf 指数找出大盘与个股之间，不同时间尺度之间价格波动的差异，并通过 KS 检验对其进行了正态性分析。在 -Zipf 模型中，我们引入了两个新的参数：字母子序列长度 ，字母(,)mk m序列所含不同字母个数 。我们讨论了当 取 2 和 3 时，不同 下的中国证券指kk数和国际主要证券指数价格波动情况。通过计算每个股指的 Zipf 指数，我们发现了中国证券市场与国际主要证券市场的价格波动差异。此外，
6、我们还对上证综合指数的单日及 5 日的各种不同收益序列进行了 R/S分析，借此分析了上证综合指数的长期记忆性问题。我们发现，不管是单日还是5 日收益，上证综合指数均存在着长期记忆性。另外，通过计算上证综合指数及其 50 支权重股的分形 Zipf 指数和 Hurst 指数，我们找出了中国证券市场两者之间的数学关系，从而将一个非时间序列与时间序列联系起来，有其一定的参考意义。关键词： Zipf 指数；收益率；相对频率；绝对频率；H 指数； -Zipf(,)mk分类号：0211.9ivABSTRACTABSTRACT:In this paper,we study the Zipf law in la
7、nguage statistics,and introduce the basic and relative knowledge on Zipf law.On the basic of Zipf law,we construct a new price fluctuation of stock model and -Zipf model,which applies the theories about (,)mkstochastic process and finance.In the new price fluctuation of stock model,we give three par
8、ameters:the Zipf exponent ,the time scale ,the expected rate of return . For different time scales and expected rates of return,we estimate the relative frequencies and absolute frequencies of prcies up,prices down and prcies stable.Moreover,we also analyze the psychological behavior of Chinese inve
9、stors.We apply the computer simulate the daily return series of Shanghai Composite Index by Zipf analysis.By estimating the Zipf exponent,we find the ties and differences between broader market and individual stocks.In -Zipf model,we give two new parameters:the length of sub-sequence of (,)mkalphabe
10、t sequence ,the number of different alphabets of alphabet sequence .We kdiscuss the price fluctuation of Chinese main stock index and the international main stock index when and ,and study the difference between them by estimating 2k3the Zipf exponent.In addition,we study the different return series
11、 of Shanghai Shanghai Composite Index by R/S analysis,and study the long-term memory of price fluctuation based on this.We find that the Shanghai Shanghai Composite Index exsit the long-term memory whatever daily return or 5-day return.Moreove,we find the mathematical relationship between Zipf expon
12、ent and H exponent by analyzing the Shanghai Shanghai Composite Index and its fifty heavyweight stocks,so that we can link the non-time series with the time series.KEYWORDS:Zipf exponent;return;relative frequency;absolutef requency;H exponent；-Zipf(,)mkCLASSNO.：0211.9目录中文摘要 .iiiABSTRACT .iv1 绪论 .71.
13、1 引言 .71.2 选题背景 .81.2.1 金融数学的发展 .81.2.2 股票指数介绍 .91.2.3 幂律与肥尾 .101.3 随机过程与时间序列 .111.4 收益和风险 .121.4.1 收益率 .131.4.2 收益率过程 .141.4.3 风险的度量 .142 利用 Zipf 理论构造股市波动过程及理论分析 .162.1 Zipf 定律 .162.2 模型构造 .182.3 模型的实证研究 .202.4 非随机预期收益率 下的 Zipf 分布 .232.5 证券收益率的 Zipf 实证研究 .242.5.1 KolmogorovSmirnov 检验 .242.5.2 一日收益率
14、的 Zipf 分析 .252.5.3 不同时间尺度的收益率的 Zipf 分析 .273 基于(m,k)-Zipf 分析的证券市场统计特征 .293.1 (,)mk-Zipf 模型的构造 .293.2 -Zipf 的实证研究 .294 中国股市分形结构研究 .344.1 分形理论 .344.1.1 分形布朗运动 .344.1.2 时间序列的长期记忆性 .344.2 RS 分析方法 .354.2.1 经典 RS 分析方法 .354.2.2 修正 R/S 分析方法 .374.3 证券市场的 R/S 分析 .384.4 分形的 Zipf 指数与赫斯特指数间的关系 .405 结论 .42参考文献 .43
15、作者简历 .46独创性声明 .471 绪论1.1 引言在经济不断发展的今天，随着经济及科学技术的迅猛发展，在全球经济一体化不断加速以及市场经济的不断完善的今天，数学被越来越多的应用的经济金融领域。尤其是在我国加入 WTO 后，金融市场得到了迅猛发展，数学思想在证券、期货、基金、保险等领域得到了广泛的应用，并形成了金融数学这一门学科。金融数学又称数理金融学、数学金融学、分析金融学，是指采用高等数学的方法研究金融资产及其衍生资产定价、复杂投资技术与公司金融政策的一门交叉学科。要求我们利用数学工具研究金融，进行数学建模、理论分析、数值计算等定量分析，以求找到金融内在规律并用以指导实践。金融数学也可以
16、理解为现代数学与计算技术在金融领域的应用，是目前十分活跃的前沿学科之一。由于金融市场的不确定性，金融市场上的价格波动现象可归结为随机数学的问题，如我们常常假设证券市场中证券价格的波动服从某一个随机过程，像几何布朗运动，然后进行随机分析。在对金融市场的统计特性进行分析时，我们采用的最多是利用时间序列来对金融市场的大量数据进行数学建模和分析，而在本文中，我们将引入一种新的分析方法Zipf（齐普夫）分析。近些年来，尤其是 20世纪 90 年代以后，源于语言统计学的 Zipf 定律被广泛的应用到金融市场中来，以 H.E. Stanley、N.Vandewalle、M.Ausloos 为首的学者在这方面
17、做了大量工作，见文献1-6。通过 Zipf 分析，我们将时间序列转换成离散的非时间序列。本文为了研究国内证券市场与西方发达国家证券市场在价格波动方面的异同，我们以证券市场每天的收盘价为研究对象，应用 Zipf 定律与随机函数及分形理论的结合，构造不同的价格波动模型，着重对 Zipf 指数进行分析。根据 1991 年 4月至 2010 年月各股指的大盘收盘价，应用 MATLAB（文献78）及 SPSS（文献9 ）对构造的随机模型进行分析。1.2 选题背景1.2.1 金融数学的发展金融数学是一门方兴未艾的交叉学科，是通过数学的理论以及方法来研究金融市场运行规律的一门新兴学科。金融数学也可以看做是现
18、代数学方法与计算机技术在金融领域中的应用,其研究的主要问题包括资资产定价问题、证券投资组合问题、证券市场价格波动及预测问题等等。金融数学的历史可以追溯到 20 世纪初, 法国学者 Louis Bachelier 在他的博士论文投机理论中详细讨论了数学在金融中的应用问题, 这也宣告了金融数学作为一门学科的诞生。这篇论文把股票价格的变动描述为布朗运动, 这也是第一次给布朗运动以严格的数学描述, 这一理论为金融数学的发展以及现代期权理论的建立奠定了基础。到了 20 世纪 50 年代，与数学理论相结合的现代金融理论正式形成。1952 年，随着 Markowitz 的资产组合的风险模型（文献 10）推出
19、，数理工具被第一次运用于金融研究中的定量检验和预测。Markowitz 的风险模型是假设投资者的预期效用函数是包含均值和方差两个变量的函数。Markowitz 也因此获得了 1990 年诺贝尔经济学奖。到了 20 世纪 60 年代，在 Markowitz 工作的基础上，Sharpe、Mossin、Lintner 也分别年独立地对任一证券组合收益与某个共同参数的关系进行了研究，从而得到了资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model， CAPM） 。其中主要运用了带参数的随机二次规划理论，并研究在一定风险水平下达到最佳收益的投资组合问题。这一时期，另一个影响深远的理论是Samuelson 与 Fama 在 1965 年提出的有效市场假说（Efficient Market Hypothesis，EMH） ，其中包括理性投资者、随机游走和有效市场等三个方面。该假说表明了证券价格不可能通过历史价格和其他信息来预测，另外一个信息机制和功能完备的资本市场的资产价格动态规律可以用鞅来进行描述。有效市场假说对于套利定价理论、期权定价公式、资产组合理论等证券投资理论的证明有着极其重要的意义。20 世纪 70 年代，金融理论的研究重点转移到对金融衍生产品诸如期权期货
