1、0“微积分”课程论文首页学 院 理学院 专 业 信息与计算科学 班 级 14-1学 号 14480010135 姓 名 周玮 成 绩论文题目 函数的极值与最值及其应用评语签 字：2015 年 6 月 日函数的极值与最值及其应用1周玮摘要：本文将通过函数极值与函数最值的定义、联系、区别及其求解方法，系统阐述函数极值与最值的概念和性质，然后通过运用相关知识解决问题的例子展示出极值与最值的应用在解决问题中的重要作用。关键词：极值；最值；条件极值；拉格朗日乘数法；应用。1.多元函数的极值及其求法1.1 多元函数的极值及最大值、最小值定义设函数 z= (x,y)的定义域为 D，P 0(x0,y0)为 D
2、 的内点 1。若存在 P0 的某个邻域 2U(P0)属于 D，是得对于该邻域内异于 P0的任何点(x,y)，都有(x,y)(x 0,y0)，则称函数 (x,y)在点(x 0,y0)有极大值 (x0,y0)，点(x 0,y0)称为函数 (x,y)的极大值点；若对于该邻域内异于 P0的任何点(x,y)，都有(x,y)(x 0,y0)，则称函数 (x,y)在点(x 0,y0)有极小值 (x0,y0)，点(x 0,y0)称为函数 (x,y)的极小值点。极大值、极小值统称为极值。使得函数取得极值的点为极值点。定理 1（必要条件 3）设函数 z= (x,y)在点 (x0,y0)具有偏导数 4，且在点 (x
3、0,y0)处有极限，则有x(x0,y0)=0， y(x0,y0)=0.定理 2（充分条件 5）设函数 z= (x,y)在点(x 0,y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又 x(x0,y0)=0， y(x0,y0)=0，令xx(x0,y0)=A， xy(x0,y0)=B， yy(x0,y0)=B，则 (x,y)在(x 0,y0)处是否取得极值的条件如下：（1） AC-B20 时具有极值，且当 A0 时有极大值，当 A0 时有极小值；（2） AC-B20 时没有极值；（3） AC-B20 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。1.2 条件极值 拉格朗日 6乘数法条件极值2设长方体的
4、三棱的长为 x,y,z,则体积 V=xyz。又因假定表面积为 a2，所以自变量 x,y,z 还必须满足附加条件 2(xy+yz+xz)=a2，像这种对自变量有附加条件的极值称为条件极值。拉格朗日乘数法要找函数 z= (x,y)在附加条件 (x,y)=0 下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数L(x,y)= (x,y)+(x,y)，其中 为参数。求其对 x 与 y 的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程(2)联立起来：x(x,y)+ x(x,y)=0,y(x,y)+ y(x,y)=0,(x,y)=0.由这方程组解出 x,y 及 ，这样得到(x,y)就是函数 (x,y)在附加条件 (x,y)=0 下的
5、可能极值点。2.极值与最值的应用2.1 极值与最值的例题例 1 求函数 (x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x 的极值。先解方程组x(x,y)=3x2+6x-9=0,y(x,y)=- 3y2+6y=0,求得驻点为(1,0)、(1,2)、(-3,0)、(-3,2)。在求出二阶偏导数xx(x,y)=6x+6， xy(x,y)=0， yy(x,y)=-6x+6.在点(1,0)处，AC-B 2=12*60，又 A0，所以函数在(1,0)处有极小值(1,0)=-5；在点(1,2)处，AC-B 2=12*(-6)0，所以 (1,2)不是极值；在点(-3,0)处，AC-B 2=-12*60，所以 (-
6、3,0)不是极值；在点(-3,2)处，AC-B 2=-12*(-6)0，又 A0，所以函数在(-3,2)处有极大值 (-3,2)=31。例 2 设生产某产品需要用原料 A 和 B，它们的单位价分别为 10 元，15 元，用 x3单位原料 A 和 y 单位原料 B 可生产-x+20xy-8y单位的该产品。现要以最低成本生产 112 单位的该产品，问需要多少原料 A 和 B？设成本函数 C（x，y）=10x+15y可以讲本题看成成本函数在条件-x+20xy-8y=112 下的条件极值问题。所以设 F（x，y）=10x+15y+（-x+20xy-8y-112）解方程组 F（x，y）对 x 的偏导数=
7、10-2x+20y=0，F（x，y）对 y 的偏导数=15-16y+20x=0，-x+20xy-8y=112联立三个方程组解得 x=4，y=2，y=-2 舍去。所以需要 4 单位 A 原料，2 单位 B 原料。2.2 极值与最值的应用1. 某三轮车厂没生产一副框架就要搭配三副轮胎，设轮胎数量为 x，价格为p1，框架数量为 y，价格为 p2，又设需求函数分别为 x=63-0.25p1与 y=60-1/3p2，成本函数为 C（x，y）=x 2+xy+y2+90，求该厂利润最大时的产出及价格。p1=(63-x)*4,p2=(60-y)*3,x=3y,利润：4x(63-x)+3y(60-y)-(x 2
8、+xy+y2+90)将 x=3y 带入得 12y(63-3y)+3y(60-y)-(9y2+3y2+y2+90)化简得-52(y-9) 2 +4122所以最大利润时生产轮胎 27 个，价格为 144 元，框架 9 个，价格为 153 元。2. 要造一个圆柱形无盖水池，容水 2000（派）m3 ，底部单位造价是周围单位造价的两倍，要使水池造价最低，问底半径与高各是多少？ 设底半径 r 米，高 h.r 2*h=2000h=2000/r 2水池侧面积=2r*h=2r*2000/r 2=4000/r设周围单位造价为 1，则底部单位造价为 2.故总造价=2*r2+4000/r=2(r2+2000/r)1
9、60(5r)且当 r2=2000/r 取得最小值。故 r=10*(2 的立方根)（米）h=2000/r2=2 的立方根(米）参考文献41 若某点及其邻域均属于某集合，则该点称为集合的内点。2 以 a 为中心的任何开区间称为点 a 的邻域，记作 U(a)。3 如果没有事物情况 A，则必然没有事物情况 B；如果有事物情况 A 而未必有事物情况B，A 就是 B 的必要而不充分的条件，简称必要条件。4 在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定(相对于全导数，在其中所有变量都允许变化)5 如果 A 能推出 B，那么 A 就是 B 的充分条件。其中 A 为 B 的
10、子集，即属于 A 的一定属于B，而属于 B 的不一定属于 A6 约瑟夫拉格朗日（Joseph Lagrange，1736 年 1 月 25 日1813 年 4 月 11 日） ，法国籍意大利裔数学家和天文学家。拉格朗日曾为普鲁士腓特烈大帝在柏林工作了 20 年，被腓特烈大帝称做“欧洲最伟大的数学家” ，后受法国国王路易十六的邀请定居巴黎直至去世。拉格朗日一生才华横溢，在数学、物理和天文等领域做出了很多重大的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。他的成就包括著名的拉格朗日中值定理，创立了拉格朗日力学等等。1813 年 4 月 3 日，拿破仑授予他帝国大十字勋章，但此时的拉格朗日已卧床不起，4 月 11日早晨，拉格朗日逝世。
