1、知识框架数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是容斥原理问题。 在公务员考试中，根据集合的个数，容斥原理问题一般只有两集合容斥关系和三集合容斥关系两种类型，两集合容斥关系一般只要采用公式法就可轻松解决，三集合容斥关系又可分为标准型、图示标数型、整体重复型三类，对应解题方法分别是公式法、文氏图法、方程法。无论集合中的元素怎么变化，同学只要牢牢把握这两类型，就能轻松搞定容斥原理问题。 核心点拨1、题型简介 容斥原理是在不考虑重叠的情况下，先将所有对象的数目相加，然后再减去重复的部分，从而使得计算的结果既无遗漏又无重复。掌握容斥原理问题，可以帮助同学们解决多集合元素个数的问题。 2、核心知识 （1
2、）两个集合容斥关系 （2）三个集合容斥关系 A、标准型公式 B、图示标数型（文氏图法） 画图法核心步骤： 1 画圈图； 2 数字(先填最外一层，再填最内一层，然后填中间层)； 做计算。 C、整体重复型 A、B、C 分别代表三个集合（比如“分别满足三个条件的元素数量”）； W 代表元素总量（比如“至少满足三个条件之一的元素的总量”）； x 代表元素数量 1（比如“满足一个条件的元素数量”）； y 代表元素数量 2（比如“满足两个条件的元素数量”）； z 代表元素数量 3（比如“满足三个条件的元素数量”）。 3、核心知识使用详解 （1）容斥原理问题要清楚容斥原理公式中各项的实际含义，与题中的数据准
3、确对应。 （2）容斥原理问题的关键在于把文字转化为文氏图，在图中应准备反应题中集合之间的关系。 （3）容斥问题的难度在于题中集合可能较多，某些集合之间的关系可能不确定，这需要仔细的分析，抓住不确定的。 夯实基础1. 两个集合容斥关系 例 1：(2007 年中央第 50 题) 小明和小强参加同一次考试，如果小明答对的题目占题目总数的 ，小强答对了 27 道题，他们两人都答对的题目占题目总数的 ，那么两人都没有答对的题目共有（ ）。 A. 3 道B. 4 道C. 5 道D. 6 道【答案】 D【解析】 题钥 由于不知道这次考试题目的总数，所以可先设题目总数即元素总量为 。 “小明答对的题目占题目总
4、数的 ”，相当于集合 A 为 。 “小强答对了 27 道题”，相当于集合 B 为 27。 “他们两人都答对的题目占题目总数的 ”，相当于集合 。 “两人都没有答对的题目”，相当于求集合 。 解析 根据题意， 确定元素总量 W： ； 确定集合 A： ； 确定集合 B：27； 确定集合 ： ； 代入两集合公式： 因为 和 均为题数，须均为正整数，所以 必须为 12 的倍数，而且由选项知：36 当 W12 时， 16，不合题意； 当 W24 时， 5，不合题意； 当 W36 时， 6，符合题意。 所以，两人都没答对的题目为 6 道。 因此，选 B。2. 三个集合容斥关系 例 2：（浙江行测真题） 某
5、专业有学生 50 人，现开设甲、乙、丙三门选修课。有 40 人选修甲课程，36 选修乙课程，30 人选修丙课程，兼选甲、乙两门课的有 28 人，兼选甲、丙两门课的有 26 人，兼选乙、丙门课程的有 24 人，甲、乙、丙三门课程均选的有 20 人，问三课均未选的有多少人？( ) A. 1 人B. 2 人C. 3 人D. 4 人【答案】 B【解析】 题钥 “某专业有学生 50 人”，相当于元素总量 W 为 50。 “有 40 人选修甲课程”，相当于集合 A 为 40。 “36 选修乙课程”，相当于集合 B 为 36。 “30 人选修丙课程”，相当于集合 C 为 30。 “兼选甲、乙两门课的有 28
6、 人”，相当于集合 =28。 “兼选甲、丙两门课的有 26 人”，相当于集合 =26。 “兼选乙、丙门课程的有 24 人”，相当于集合 =24。 “甲、乙、丙三门课程均选的有 20 人”，相当于集合 =20。 “问三课均未选的有多少人?”相当于求集合 。 解析 根据题意， 确定元素总量 W：50 确定集合 A：40 确定集合 B：36 确定集合 C：30 确定集合 ：28 确定集合 ：26 确定集合 ：24 确定集合 ：20 代入三集合标准型公式： 50-（40+36+30-28-24-26+20） 2 因此，选 B。例 3：（国家行测真题） 某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，
7、准备参加注册会计师考试的有 63 人，准备参加英语六级考试的有 89 人，准备参加计算机考试的有 47 人，三种考试都准备参加的有 24 人，准备选择两种考试参加的有 46 人，不参加其中任何一种考试的有 15 人。问接受调查的学生共有多少人？( ) A. 120B. 144C. 177D. 192【答案】 A【解析】 题钥 观察题目，属于三个集合容斥关系中的标数型问题，可采用文氏图法求解。 解析 本题属于标数型问题，可采用文氏图法求解，如下图所示。 图中，黑色部分是准备参加两种考试的学生，灰色部分是准备参加三种考试的学生。计算总人数时，黑色部分重复计算了一次，灰色部分重复计算了两次，所以接受
8、调查的学生共有： 6389472424615120 人。 因此，选 A。例 4：(浙江 200420) 某班有 35 个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外活动小组。现已知参加英语小组的有 17 人，参加语文小组的有 30 人，参加数学小组的有 13 人。如果有 5 个学生三个小组全参加了，问有多少个学生只参加了一个小组？( ) A. 15 人B. 16 人C. 17 人D. 18 人【答案】 A【解析】 题钥 “某班有 35 个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外活动小组”，相当于元素总量 W 为 35。 “参加英语小组的有 17 人”，相
9、当于集合 A 为 17。 “参加语文小组的有 30 人”，相当于集合 B 为 30。 “参加数学小组的有 13 人”，相当于集合 C 为 13。 “如果有 5 个学生三个小组全参加了”，相当于元素数量 3 为 5。 “问有多少个学生只参加了一个小组？”，此类题目属于整体重复型问题，可采用方程法求解。 解析 根据题意，设： 参加一个小组的人数为 x，即元素数量 1 为 x； 参加两个小姐的人数为 y，即元素数量 2 为 y； 确定元素总量 W：38 确定集合 A：17 确定集合 B：30 确定集合 C：13 确定元素数量 3：5 代入公式，列方程： 因此，选 A。进阶训练1.两个集合容斥关系 例
10、 5：某校学生参加数学竞赛的有 120 名男生，80 名女生，参加英语竞赛的有 120 名女生，80 名男生。已知该校总共有 260 名学生参加竞赛，其中 75 名男生两科竞赛都参加了，那么参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生人数是多少人?( ) A. 15B. 20C. 25D. 30【答案】 A【解析】 题钥 假设 260 名学生当中有 m 名男生、n 名女生，同时参加了教学和英语竞赛的女生人数为 x。 对于男生： “m 名男生”，相当于元素总量 为 m。 “参加数学竞赛的有 120 名男生”，相当于集合 为 120。 “参加英语竞赛的”，“80 名男生”，相当于集合 为 80。 “其中 75 名男生两科竞赛都参加了”，相当于集合 为 75。 对于女生： “n 名女生”，相当于元素总量 为 n。 “参加数学竞赛的”、“80 名女生”，相当于集合 为 80。 “参加英语竞赛的有 120 名女生”，相当于集合 为 120。 同时参加了教学和英语竞赛的女生人数，相当于集合 为 x。 “已知该校总共有 260 名学生参加竞赛”，可知 260 名学生都参加了竞赛，没有“数学竞赛和英语竞赛都没参加”的情况。相当于集合 、集合 为 0。 解析 根据题意，设： 260 名学生当中有 m 名男生、n 名女生； 同时参加了教学和英语竞赛的女生人数为 x。 对于男生：
