1、 九年级数学圆知识点祥解及习题检测一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线） ；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条
2、平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内 点 在圆内；drC2、点在圆上 点 在圆上；B3、点在圆外 点 在圆外；A三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；dr2、直线与圆相切 有一个交点；3、直线与圆相交 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图 1） 无交点 ；dRr外切（图 2） 有一个交点 ；相交（图 3） 有两个交点 ；内切（图 4） 有一个交点 ；r内含（图 5） 无交点 ；drddCBAO五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线
3、经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即： 是直径 弧 弧 弧ABABCDEBCD弧CD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在 中， O弧 弧ACBD六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，即： ； ；AOBDEA
4、B ； 弧 弧CF七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即： 和 是弧 所对的圆心角和圆周角AOBAB 2C2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在 中， 、 都是所对的圆周角OD C推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在 中， 是直径 或AB90COE DCBAOC DA BFEDC BAOCBAOD CBAOCB AO 是直径90CAB推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在 中，ABO 是直角三
5、角形或 90C注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在 中，O四边形 是内接四边形ABCD 180180E九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： 且 过半径 外端MNOAA 是 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；
6、垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即： 、 是的两条切线PAB 平分O十一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在 中，弦 、 相交于点 ，ABCDPCB AOEDCBANM AOPBAOPO DCBA PABCD（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在 中，直径 ，O 2E（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在 中， 是
7、切线， 是割线PAB 2C（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图） 。即：在 中， 、 是割线OE PBD十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图： 垂直平分 。12OA即： 、 相交于 、 两点2B 垂直平分1十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长： 中， ；12RtOC221AOC（2）外公切线长： 是半径之差； 内公切线长： 是半径之和 2。十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形 在 中 是正三角形，有关计算在 中进行：OABCRtBOD；:1:32D（2）正四边形同理，
8、四边形的有关计算在 中进行， ：RtAE:1:2AE（3）正六边形同理，六边形的有关计算在 中进行， .tOB:3OB十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式： ；180nRlO EDCB AD EC BPAOBAO1 O2 CO2O1BADCB AOECBA DOBAO（2）扇形面积公式： 21360nRSl：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积nRS2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图=2S侧表 底 2rh（2）圆柱的体积： V（2）圆锥侧面展开图（1） =侧表 底 2Rr（2）圆锥的体积： 13h九年级数学第二十四章圆测试题（A）时间：45 分钟 分数：
9、100 分一、选择题（每小题 3 分，共 33 分）1若O 所在平面内一点 P 到O 上的点的最大距离为 10，最小距离为 4 则此圆的半径为（ ）A14 B6 C14 或 6 D7 或 3 2如图 24A1，O 的直径为 10，圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3，则弦 AB 的长是（ ）A4 B6 C7 D83已知点 O 为ABC 的外心，若A=80，则BOC 的度数为（ ）A40 B80 C160 D1204如图 24A2，ABC 内接于O ，若A=40，则OBC 的度数为（ ）A20 B40 C50 D705如图 24A3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子
10、OA、OB 在 O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把 O 点靠在圆周上，读得刻度 OE=8 个单位，OF=6 个单位，则圆的直径为（ ）A12 个单位 B10 个单位 S lBAO周周周周周周周周 C1D1DCBA B1RrC BAO图 24A5图 24A1图 24A2图 24A3 图 24A4C1 个单位 D15 个单位6如图 24A4，AB 为O 的直径，点 C 在O 上，若B=60，则A 等于（ ）A80 B50 C40 D307如图 24A5，P 为O 外一点，PA、PB 分别切O 于 A、B，CD 切O 于点 E，分别交 PA、PB 于点 C、D，若 PA=5，则PCD
11、的周长为（ ）A5 B7 C8 D108若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为 4m，母线长为 3m，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是（ ）A B C D26m2621m219如图 24A6，两个同心圆，大圆的弦 AB 与小圆相切于点 P，大圆的弦 CD 经过点P，且 CD=13，PC=4，则两圆组成的圆环的面积是 （ ）A16 B36 C 52 D8110已知在ABC 中，AB=AC=13 ，BC=10，那么ABC 的内切圆的半径为（ ）A B C2 D33105111如图 24A7，两个半径都是 4cm 的圆外切于点 C，一只蚂蚁由点 A 开始依A、B、C、D、E、F、C
12、、G、A 的顺序沿着圆周上的 8 段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这 8段路径上不断爬行，直到行走 2006cm 后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（ ）AD 点 BE 点 CF 点 DG 点二、填空题（每小题 3 分，共 30 分）12如图 24A8，在O 中，弦 AB 等于O 的半径， OCAB 交O 于点 C，则AOC= 。13如图 24A9，AB、AC 与O 相切于点 B、C ，A=50 ，P 为O 上异于 B、C的一个动点，则BPC 的度数为 。14已知O 的半径为 2，点 P 为O 外一点，OP 长为 3，那么以 P 为圆心且与O 相切的圆的半径为 。15一个圆锥的底面半径为 3，高为
13、4，则圆锥的侧面积是 。16扇形的弧长为 20cm，面积为 240cm 2，则扇形的半径为 cm。17如图 24A10，半径为 2 的圆形纸片，沿半径 OA、OB 裁成 1：3 两部分，用得到图 24A6 图 24A7图 24A8 图 24A9 图 24A10的扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的底面半径分别为 。18在 RtABC 中，C=90 ，AC=5，BC=12，以 C 为圆心，R 为半径作圆与斜边 AB相切，则 R 的值为 。19已知等腰ABC 的三个顶点都在半径为 5 的O 上，如果底边 BC 的长为 8，那么 BC边上的高为 。20已知扇形的周长为 20cm，面积为 16cm2，那么扇形
14、的半径为 。21如图 24A11，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧 AC 的中点，OE 交弦 AC 于点 D。若 AC=8cm，DE=2cm ，则 OD 的长为 cm。三、作图题（7 分）22如图 24A12，扇形 OAB 的圆心角为 120，半 径为 6cm.请用尺规作出扇形的对称轴(不写做法,保留作图痕迹).若将此扇形围成一个圆锥的侧面(不计接缝),求圆锥的 底面积.四解答题（23 小题 8 分、24 小题 10 分， 25 小题 12 分，共 30 分）23如图 24A13，AD、BC 是O 的两条弦，且 AD=BC，求证：AB=CD。24如图 24A14，已知O
15、 的半径为 8cm，点 A 为半径 OB 的延长线上一点，射线 AC 切O 于点 C，BC 的长为 ，求线段 AB 的长。cm38图 24A11图 24A13图 24A12图 24A1425已知：ABC 内接于O，过点 A 作直线 EF。（1）如图 24A15，AB 为直径，要使 EF 为O 的切线，还需添加的条件是（只需写出三种情况）： ； ； 。（2）如图 24A16，AB 是非直径的弦， CAE=B，求证：EF 是O 的切线。九年级数学第二十四章圆 测试题（B）时间：45 分钟 分数：100 分一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1已知O 的半径为 4cm， A 为线段 OP 的中
16、点，当 OP=7cm 时，点 A 与O 的位置关系是（ ）A点 A 在O 内 B点 A 在O 上C点 A 在O 外 D不能确定2过O 内一点 M 的最长弦为 10 cm，最短弦长为 8cm，则 OM 的长为（ ）A9cm B6cm C3cm D cm413在ABC 中，I 是内心， BIC=130，则A 的度数为（ ）A40 B50 C65 D804如图 24B1，O 的直径 AB 与 AC 的夹角为 30，切 线CD 与 AB 的延长线交于点 D，若O 的半径为 3，则 CD 的长 为（ ）A6 B C3 D5如图 24B2，若等边 A1B1C1 内接于等边ABC 的内切圆，则 的值为（ ）
17、AB1A B C D1336如图 24B3，M 与 x 轴相切于原点，平行于 y 轴的直线交圆于 P、Q 两点，P 点在 Q 点的下方，若 P 点的坐标是（2，1） ，则圆心 M 的坐标是（ ）A （0，3） B （0， ） C （0，2） D （0， ）523图 24A15 图 24A16图 24B1图 24B2图 24B37已知圆锥的侧面展开图的面积是 15cm 2，母线长是 5cm，则圆锥的底面半径为（ ）A B3cm C4cm D6cmcm238如图 24B4，O 1 和O 2 内切，它们的半径分别为 3 和 1，过 O1 作O 2 的切线，切点为 A，则 O1A 的长是（ ）A2 B
18、4 C D359如图 24B5，O 的直径为 AB，周长为 P1，在O 内的 n 个圆心在 AB 上且依次相外切的等圆，且其中左、右两侧的等圆分 别与O 内切于 A、B，若这 n 个等圆的周长之和为 P2，则 P1 和P2 的大小关系是（ ）AP 1 P2 D不能确定10若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别是 S1、S 2、S 3，则下列关系成立的是（ ）AS 1=S2=S3 BS 1S2S3 CS 1S3S1二、填空题（每小题 3 分，共 30 分）11如图 24B6，AB 是 O 的直径， BC=BD，A=25，则BOD= 。12如图 24B7，AB 是 O 的直径，OD
19、AC 于点 D，BC=6cm，则 OD= cm.13如图 24B8，D、E 分别是O 的半径 OA、OB 上的点，CDOA，CEOB，CD=CE，则 AC 与 BC 弧长的大小关系是 。14如图 24B9，OB、OC 是O 的 半径，A 是O 上一点，若已知B=20 C=30,则BOC= .15 （2005江苏南通）如图 24B10，正方形 ABCD 内接于O，点 P 在 AD 上，则BPC= .图 24B4图 24B5图 24B6 图 24B7 图 24B8 图 24B9 图 24B10图 24B11 图 24B12 图 24B13 图 24B14 16 （2005山西）如图 24B11，已
20、知AOB=30 ，M 为 OB 边上一点，以 M 为圆心，2cm 长为半径作M，若点 M 在 OB 边上运动，则当 OM= cm 时，M 与 OA 相切。17.如图 24B12，在O 中，弦 AB=3cm，圆周角ACB=60，则O 的直径等于 cm。18如图 24B13，A、B、C 是O 上三点，当 BC 平分ABO 时，能得出结论： （任写一个） 。19如图 24B14，在O 中，直径 CD 与弦 AB 相交于点 E，若BE=3，AE=4，DE=2，则O 的半径是 。20 （2005潍坊）如图 24B15，正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 为 AB 的中点，以E 为圆心，1 为半径作圆，分别交 AD、BC 于 M、N 两点，与 DC 切于点 P，则图中阴影部分的面积是 。三、作图题（8 分）21如图 24B16，已知在 ABC 中， A=90，请用圆规和直尺作P，使圆心 P在 AC 上，且与 AB、BC 两边都相切。 （要求保留作图痕迹，不必写出作法和证明）四、解答题（第 22、23 小题每题各 10 分，第 23 小题 12 分，共 32 分）22如图 24B17，AB 是 O 的弦（非直径） ，C、D 是 AB 上的两点，并且 AC=BD。求证：OC=OD 。图 24B15图 24B16图 24B17
