1、中国教育学会中学数学教学专业委员会2014 年全国初中数学竞赛试题一 二 三题 号15 610 11 12 13 14总 分得 分评卷人复查人答题时注意：1用圆珠笔或钢笔作答；2解答书写时不要超过装订线；3草稿纸不上交一、选择题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分每道小题均给出了代号为A，B， C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得 0 分）1设非零实数 a， b， c满足 234abc， ， 则 22abc的值为（ ） （A） 12（B） 0（C） 12（D） 12已知关于 x的不等式组 253xt，恰有 5个整数解，
2、则 t的取值范围是（ ） （A） 6 t 12（B） 6t 12（C） （D） 3如图，在 RtABC 中，已知 O 是斜边 AB 的中点，CDAB ，垂足为 D，DEOC，垂足为 E若 AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段 OD，OE，DE，AC 的长度中，不一定是有理数的为（ ） （A）OD （B） OE（C） DE （D）AC4如图，已知ABC 的面积为 24，点 D 在线段 AC 上，点 F 在线段 BC 的延长线上，且 4CF，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ） （A）3 （B） 4（C） 6 （D）85对于任意实数 x，y ，z，定义运算“*”为： 32345
3、160yxy，且 xyzz，则 20 的值为（ ） （A） 6079（B） 8967（C） 543967（D） 163897二、填空题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）6设 3a， b是 a的小数部分， c是 2a的小数部分，则 (4)bc的值为 7一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数 1，2，3，4，5，6掷这个正方体三次，则其朝上的面的数和为 3 的倍数的概率是 8已知正整数 a，b，c 满足 20abc， 280abc，则 abc的最大值为 9实数 a，b，c ，d 满足：一元二次方程 2xd的两根为 a，b，一元二次方程 20x的两根为 c，d，则所有满足条件的数组 (
4、)， ， ，cd为 10444222131910的值为 三、解答题（共 4 题，每题 20 分，共 80 分）11如图，抛物线 y23axb，顶点为 E，该抛物线与x轴交于 A， B 两点，与 轴交于点 C，且 OBOC3OA直线13y与 轴交于点 D求DBCCBE12设 的外心、垂心分别为 ，若 共圆，对于所ABCOH、 BCO、 、 、有的 ，求 所有可能的度数13如图，设点 D 在ABC 外接圆上，且为 ABC的中点，点 X在 AB上，E 是 AX的中点，过ABC 的内心 I 作直线 RT平行于DE，分别与 BC，AX 交于点 R，T，设直线 DR 与 ET 交于点S证明：点 S 在AB
5、C 的外接圆上14如果将正整数 M 放在正整数 m 左侧，所得到的新数可被 7 整除，那么称 M 为 m 的 “魔术数” （例如，把 86 放在 415 的左侧，得到的数 86415 能被 7整除，所以称 86 为 415 的魔术数） 求正整数 n 的最小值，使得存在互不相同的正整数 ，满足对任意一个正整数 m，在 中都至12naa， ， ， 12naa， ， ，少有一个为 m 的魔术数中国教育学会中学数学教学专业委员会2013 年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1A解：由已知得 ，(234)(23)0abcbcabc故 于是 ，所2()0abc1以 2212C解：根据题设知不等式组有解
6、，解得， 32tx0由于不等式组恰有 个整数解，这 个整数解只能为 ，5515， ， ， ，因此 ，解得167819432t1 63D解：因 AD，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OAOBOC是有理数于是，ODOAAD 是有理数2AB由 Rt DOERtCOD ，知 ， 都是有理数，而2ODECOAC 不一定是有理数ADB4C解：因为 DCFE 是平行四边形，所以 DE/CF，且 EF/DC连接 CE，因为 DE/CF，即 DE/BF，所以SDEB = SDEC ，因此原来阴影部分的面积等于ACE 的面积连接 AF，因为 EF/CD，即 EF/AC，所以SACE = SACF 因为 ，所
7、以 SABC = 4SACF 故阴影部分的面积为 64BCF5C解：设 ，则2013m，43 3297459160m于是 201329 3233 6097二、填空题62解：由于 ，故 ， 所以213a1ba2c2 3(4)(14)(1)2bc a7 3解：掷三次正方体，朝上的面的数和为 3 的倍数的是3，6，9，12，15，18，且3111，6114123222，9126135144225234333，12156246255336345444，15366456555，18666记掷三次正方体面朝上的数分别为 ， ， 则使 为 3 的倍数xyzxyz的（ ， ， ）中，3 个数都不相等的有 8
8、组，恰有两个相等的有 6 组，3 个xyz数都相等的有 6 组故所求概率为8326138 2013解：由已知 ， 消去 c，20abc2380ab并整理得 由 a 为正整数及 66，可得 1a38626a若 ，则 ，无正整数解；1259若 ，则 ，无正整数解；2a40b若 ，则 ，于是可解得 ， 3281b5（i）若 ，则 ，从而可得 ；16c362013ac（ii）若 ，则 ，从而可得 5b39综上知 的最大值为 a2019 ， （ 为任意实数）(12)， ， ，()， ， ，tt解：由韦达定理得 ， ，abcd由上式，可知 bac若 ，则 ， ，进而 0d1db2dac若 ，则 ，有 （
9、为任意实数） ()(0)， ， ， ， ， ，ctt经检验，数组 与 （ 为任意实数）满足条件(2)， ， ， ， ， ，t10 90解：设 ，那么k4422(1)22(1)k121()kk上式对 ，2，99 求和，得k原式 12192900三、解答题11解：将 分别代入 ， 知，D (0，1)，0xy13x23yaxbC(0， )，所以 B(3，0) ，A( ，0)直线 过点 B3 1将点 C(0， )的坐标代入 ，得 y()ax5 分抛物线 的顶点为 (1， )于是23yxE4由勾股定理得BC ，CE ，BE 25因为 BC2CE 2BE 2，所以，BCE 为直角三角形， 90BCE10
10、分因此 tan = = 又 tanDBO= ，则DBO B1313ODBCBE所以， 45DCECC20 分12解：分三种情况讨论（i）若 为锐角三角形AB因为 ，所以由 ，可得1802HCOCA， BHCO，于是 180265 分（ii）若 为钝角三角形ABC当 时，因为 ，所以由90 1802180HABOCA，可得 ，于是 ；当180BHCO3180180A120A时，不妨假设 ，因为 ，所以由90A9BBHCO，O可得 ，于是 3186015 分（iii ）若 为直角三角形ABC当 时，因为 为边 的中点， 不可能共圆，所以90OBCHO， ， ，不可能等于 ；当 时，不妨假设 ，此时
11、点 B 与 H 重合，9090于是总有 共圆，因此 可以是满足 的所有角H， ， ， AA综上可得， 所有可能取到的度数为所有锐角及 A1220 分13证明：如图，设 DR 与ABC 的外接圆交于点 ，AX 与 交于点 ，SET连接 由 D 为 的中点知，A ，I ，D 三点共线，且SCDAE， ， ， ， BC ， ，所以RSR， 即 2CDSR5 分由 E 为 的中点知， ， ，所以AXAETASET， S即 2AEST由 ，知 IRDE180IRDAE又因为 ，所以 ，则有SIRS IS10 分由 为 的内心，连接 CI，由IABCIDIACDBCID知 由式，得I，SE即 DCSA由式
12、，得 2RET由式，得，SD15 分于是 又 ，故点 与 重合，即点 在直线 上从而，RTDERTTSET点 与 重合，即点 S 在 的外接圆上SABC20 分14解：若 n6，取 1，2，7，根据抽屉原理知，必有m中的一个正整数 M 是 7 的公共的魔术数，即 7|(12aa， ， ， (ij， ij)，7|( )则有 7|( )，但 0 6，矛盾0Mi0j故 n710 分又当 为 1，2，7 时，对任意一个正整数 m，设其为 位12naa， ， ， k数（ 为正整数） 则 （ ，7）被 7 除的余数两两不同若不k0kimi， ，然，存在正整数 ， 7 ，满足 7|( ，即i(jj)10)()kkji，从而 7| ，矛盾7|10()kj)i
