1、高等代数第三版（王萼芳 石生明） 习题解答 首都师范大学 数学科学学院 1100500070第 1 页 共 27 页 1高等代数习题答案（一至四章）第一章 多项式 习题解答1、 （1）由带余除法，得 17(),39qx26()9rx（2） ，2()qx5r2、 （1） ， （2）由 得 或 。0pm2()01mpq1mpq23、 （1） 43()26190,qxx()37rx（2）q（x）= ，(52)ii8i4、 （1）有综合除法： 23451()(1)5()(1)fxxx（2） 234()14()()fx（3） 23475()()()ixiixixi5、 （1）x+1 （2）1 （3） 2
2、16、 （1）u（x）=-x-1 ，v（ x）=x+2 （2） ，1()3ux2()13vxx（3）u（x）=-x-1, 3()7、 或02t3t8、思路：根具定义证明证：易见 d（x）是 f（x）与 g（x）的公因式。另设 是 f（x）与 g（x）的任意公因式，下证()。()由于 d（x）是 f（x）与 g（ x）的一个组合，这就是说存在多项式 s（x）与 t（x） ，使d（x）=s（x） f（x）+t （x）g（x） 。从而 ， ，可得 。即证。()xf()g()d9、证：因为存在多项式 u（x） ，v（x）使（f（x） ，g（x） ）=u（x）f （x）+v （x）g（x） ，所以（f（
3、x） ，g（x） ）h（x）= u（x）f （x）h（x）+v（x）g（x）h（x） ，上式说明（f （x） ，g（x） ）h（x）是 f（x）h（x）与 g（ x）h（x）的一个组合。另一方面，由 知 。同理可得(),()ff,()()ff从而 是 与 的一个最大公因式，(),f ,gxhx()gxh高等代数第三版（王萼芳 石生明） 习题解答 首都师范大学 数学科学学院 1100500070第 2 页 共 27 页2又因为 的首相系数为 1，所以 。(),()fxgh(),()(),()fxhgxfgxh10. 证 存在 u（x） ，v（ x）使 有因为 f（x） ，g（x）不全为0，所以
4、，由消去律可得()0f所以 。11.由上题结论类似可得。12. 证 由假设，存在 使 （1）（2） ，将（1） （2）两式相乘得所以 (),()fxgh13. 证 由于反复应用第 12 题结论，可得 同理可证从而可得14. 证 有题设知 ，所以存在 v（x） ，v（x）使 u(x)f(x)+v(x)g(x)=1 从而(),1fxgu(x)f(x)-v(x)f(x)+v(x)g(x)+v(x)g(x)=1 即u(x)-v(x)f(x)+v(x)f(x)+g(x)=1 所以同理 再有 12 题结论，即证(),()f(),()1gf1xgfx15、 。13i16、 （1）由 x-2 得三重因式 （2
5、）无重因式。高等代数第三版（王萼芳 石生明） 习题解答 首都师范大学 数学科学学院 1100500070第 3 页 共 27 页 317、当 t=3 时有三重根 x=1,；当 t= 由二重根 。15412x18、 32470pq19、a=1，b=-2 。20、证 因为 f（x）的导函数 所以 于是从而 f（x）无重根。21、证 因为 ， ，由于 a 是 的 k 重根，故 a是 的 k+1 重根。代入验算知 a 是 g（x）的根。所以 s-2=k+1 s=k+3，即证。22、证 必要性：设 是 f（x）的 k 重根，从而是 的 k-1 重根，是 的 k-2 重根。 。 。 。 。 ，是0的一重根
6、，并且 不是 的根。于是 ，而。充分性 由 而 ，知 是 的一重根。又由于 ，知 是0x 0x的二重根，以此类推，可知 是 f（x）的 k 重根。23、解：例如：设 ，那么 以 0 为 m 重根。1()mfx()f24、证 要证明 ，就是要证明 f（1）=0 （这是因为我们可以把 看做为一个变量。nx有题设由 ，所以 也就是 f（1 ）=0，即证。25、当 n 为奇数时， 12122221()()().()nnnxxxxx当 n 为偶数时27、 （1）利用1212222()()().()nnn 剩余除法试根：有一有理根：2（2）有两个有理根： ，（3）有五个有理根：3，-1，-1 ，-1，-1
7、 。高等代数第三版（王萼芳 石生明） 习题解答 首都师范大学 数学科学学院 1100500070第 4 页 共 27 页428、 （1）因为 1 都不是它的根，所以 在有理数域里不可约21x（2）利用爱森斯坦判别法，取 p=2，则侧多项式在有理数域上不可约。（3）不可约（4）不可约（5）不可约第二章 行列式 习题解答1、均为偶排列2、 （1）i=8，k=3 （2）i=3 k=63、4、当 n=4k，4k+1 时为偶排列当 n=4k+2,4k+3 时为奇排列5、 (1)2nk6、正号7、 ， ，1234a12341a4231a8、 （1）原式= ， （2） （3）()!n()!n(1)2!n9、
8、解：行列式展开得一般项可表示为 ，列标 只可以在 1,2,3,4,5 中取不同值，故12345jjja345j三个下标中至少有一个要取 3,4,5 列中一个数，从而任何一个展开式中至少要包含一个零元素，故所给行列式中每一项的乘积必为 0，因此行列式只为零。10、解：含有 的展开项中只能是 ，所以 的系数为 2；同理，含有 的张开项中只能是4x1234a4x3x，所以 的系数为-1。1234a311、证：有题设，所给行列式的展开式中的每一项的绝对值为 1。而行列式的值为 0，这说明带正号与带负号的项数相同。根据行列式定义，其展开式中的每一项的符号是由该乘积中各因子下表排列的逆序数所决定的，即当该
9、乘积中各因子的第一个下标排成自然顺序，且第二下标所成排列为偶排列时，该项前面所带符号为正，否则为负号。所以，由带正号的项与带符号的项数相等即说明奇偶排列各半。12、解（1）因为所给行列式的展开式中只有第一行含有 x，所以若该行列式的第一行展开时含有 的对1nx应项系数恰为 乘一个范得蒙行列式 于是，由 为互不相同1()n 22112211.nnnaa 1231,.na的数即知含有 的对应项的系数不为零，因而 p（x）为一个 n-1 次的多项式。1nx高等代数第三版（王萼芳 石生明） 习题解答 首都师范大学 数学科学学院 1100500070第 5 页 共 27 页 513、 （1） （2） （
10、3）48 （4）160 （5） （6）059403()xy2xy14、提示：将第二列，第三列的同时加到第一列。15、 （1） =-6， =0， =0， =0， =12， 6， =0， =0， =15， =-1A1213A14212A2324A3132A6， =-3， =0， =7， =0， =1， =-234 434（2） =7， =-12， =3， =6， 4， =-1， =-5， =5， =5， =0。112132122313233416、 （1）1 （2） （3）-483 （4）817、 （1）按第一行展开，原式= 。1()nnxy（2）从第二列起个人列减去第一列：当 n 3 时，原式=
11、0，当 n=2 时，原式= ，当 n=1 时，原式=2121()ab1ab（3） 11()(nixm（4） （-2） （n-2）！（5）各列加到第一列得： 1()()!2n18、提示：（1）分别将第 i（ i=2,3.n+1）行乘以加到第一行 1ia（2）从最后一行起，分别将每一行乘以 x 后加到起前一行。（3）导出递推关系式（4）同（3）（5）解：高等代数第三版（王萼芳 石生明） 习题解答 首都师范大学 数学科学学院 1100500070第 6 页 共 27 页619、 （1） =-70， =-70， =-70， =-70， =-70d12d34d=1 =1 =1 =1xxxx（2） =32
12、4， =324， =648， =-324， =-6481234=1 =2 =1 =-2dxxdxdx（3） =24， =96， =-336， =-96， =-168， =31212345=4 =-14 =-4 =-7 =13 1dx2x3dx4dx5dx（4） =665， =1507， =-1145， =703， =-395， =2121234 5= = =- = = xd0576xd913xd754xd79135dx21620、证明：由 得这是一个关于 的线性方程组，且他的系数行列式为一个范得蒙行列式。由已知该行列式不为零，故线性方程组只有唯一解，即所求多项式时唯一的。21、13.56 13
13、.48 第三章 线性方程组 习题解答1、 （1）无穷多解 （2）无解 （3） （-8,3,6,0 ） （4）无穷多解 （5）无解 （6）无穷多解2、 （1） （2）13451413高等代数第三版（王萼芳 石生明） 习题解答 首都师范大学 数学科学学院 1100500070第 7 页 共 27 页 73、证 有题设，可以找到不全为零的数 使 显然 。事实上，若 ，而 不全为 0，使 成立，这与 线性无关的假设成立，即证 。故 即向量 可由 线性表出。4、证 设有线性关系 带入分量，可得方程组由于 ，故齐次线性方程组只有零解，从而 线性无关。12,.n5、证：设有线性关系 则当 r=n 时方程组中
14、的未知量个数与方程个数相同，且系数行列式为一个范德蒙行列式，即由定理得：方程组有唯一解，就是说 线性无关。当 rn 时，令则由上面（1）的证明可知 是线性无关的。而 是的延长向量所以 也线性无关。6、证：由线性关系， 则高等代数第三版（王萼芳 石生明） 习题解答 首都师范大学 数学科学学院 1100500070第 8 页 共 27 页8。再由题设知 线性无关，所以解得 ，所以 线性无关7、证：设 是 中任意 r 个线性无关向量组，如果能够证明任意一个向量都可由 线性表出就可以了。事实上，向量组 是线性无关的，否则原向量组的秩大于 r，矛盾。这说明，再由 得任意性，即证。8、证：有题设知 所以，
15、且等于 r。又因为 线性无关，故而的一个极大线性无关组。9、证： 将所给向量组用（1）表示，它的一个极大线性五官向量组用（2）表示。若向量组（1）中每一个向量都可以由向量组（2）线性表出，那么向量组（2）就是向量组（1）的极大线性无关组。否则，向量组（1）至少有一个向量 不能由向量组（2）线性表出，此时将 添加到向量组（2）中去，得到向量组（3） ，且向量组（3）是线性无关的。进而，再检查向量组（1）中向量是否皆可由向量组（3）线性表出。若还不能，再把不能由向量组（3）线性表出的向量添加到向量组（3）中去，得到向量组（4） 。继续这样下去，因为向量组（1）的秩有限，所以只需经过有限步后，即可得
16、到向量组（1）的一个极大线性无关组。10、证（1）由于 的对应分量不成比例，因而 线性无关。（2）因为 且由 可解得 所以线性无关。再令 带入已知向量后，由于相应的其次线性方程组的系数行列式为 0，因而该齐次方程组存在非零解，即 线性相关，所以 可由 线性表出。11、解（1）高等代数第三版（王萼芳 石生明） 习题解答 首都师范大学 数学科学学院 1100500070第 9 页 共 27 页 9对矩阵 A 做初等行变换，可得：所以 的秩为 3，且 即为所求极大线性无关组。（2）同理可得 为所求极大线性无关组，且向量组的秩为 3.13、设 的秩为 r n，因而 的秩为 n，有题设和上题知 n r1
17、2,.n 从而 r=n。故 线性无关。,.14、证：必要性。设 线性无关，但是 n+1 个 n 维向量 必线性相关，于是12,.n对于任意 n 维向量 ，他必可由 线性表出。12,.n充分性：任意 n 维向量 可由线性表出，特别的单位向量 可由 线性12,.n 12,.n表出，于是有上题结果即证 线性无关。,15、证:充分性:有克莱姆法则即证.必要性:记 , 则原方程组可表示成,有题设知,任意向量 都可由 表出,因此由上题结果可12,.n知 线性无关.12,n进而,下述线性关系, ,仅有唯一零解,故必修有 ,即证.16.由于 与 有相同的秩，因此他们的最大线性无关组所含向量个数必定相等，这样
18、的最大线性无关组也必为 的极大线性无关组，从而他们有相同的最大线性无关组。17、证：只要证明向量组等价即可。有题设，知 可由 线性表出。高等代数第三版（王萼芳 石生明） 习题解答 首都师范大学 数学科学学院 1100500070第 10 页 共 27 页10现在把这些等式统统加起来，可得 于是 ，（i=1,2， 。 。 。r ）即证 也可由 线性表出，从而向量组 与等价。18、 （1）4 （2）3 （3）2 （4）3 （5）519、 （1） =1 时 无穷多解 =-2 时无解 1 且 -2 时方程组解唯一， 21231(1),xx0 且 1 时方程组解唯一 ：323321 25919419,()()()xxx（3）当行列式 D 0 时，即 a 1 且 b 0 时，方程组有唯一解，且为 123,()()bxxa当 D=0 时若 b=0 无解 若 a=1 时无解 当 a=1，b= 时方程有无穷多解。1220、 （1）无穷多解 123(,0,)(1,0,)(5,60,)（2）无穷多解 7（3）无穷多解 3(,)214（4）无穷多解 1250(,0,1)421、 （1） （4）其中 k 为任意常数。 其中 为任意常数。（6）
