1、青岛科技大学本科毕业设计（论文）1前言聚合物材料以其优良的性能，越来越被广泛的应用于社会生活的各个方面。然而，大多数高分子材料受热过程中表现出多变的物理化学性质，给材料的科学研究和应用带来巨大的困难，这在客观上限制了高分子材料的研究和应用；同时，高分子的优良性能又促进其研究与应用。这为高分子的材料的热物性研究提供了可能性和必要性。对于高分子材料（固体聚合物）受热后的不稳定传热过程进行分析与模拟，是研究高分子材料的燃烧特性的一个重要方面。应用计算传热学知识来研究和解决材料复杂的实际传热问题，是一个有效方法与途径。传热过程包罗万象，十分复杂，给实验研究工作带来了很大的困难。长期以来，火灾科学研究工
2、作者一直在寻找一种能够比较准确且简便可行的测试方法来评估火灾中释放的热能，特别是热释放速率。真实火灾一般是处于一个开放的体系中，使用传统上测定燃烧体系温度的方法需要对燃烧体系进行绝热处理，仪器设计复杂，造价昂贵，而且使用起来往往也不很方便，因而进展一直不大。计算传热学是研究用数值方法求解传热问题的一门科学。它根据需要求解的实际问题建立合理的数学模型，利用离散化处理的数值方法，再通过使用计算机高级语言编程，以电子计算机作为工具来求解传热问题的，与工程实践具体相结合的一门应用基础科学。它的主要优点是：能以较少的费用和较短的时间预测出有实用意义的研究结果。对投资大、周期长的实验研究课题来说，这个优点
3、更为突出。计算传热学与实验传热学相结合，不仅有助于实验方案的设计和改进，减少实验工作量和缩短实验周期，而且推动和促进了实验传热学的研究，并可加深对物理概念和实验机理的理解。本文正是基于锥形量热仪实验方法，建立火灾环境中材料加热过程的数学模型，根据数学模型估算材料的热物性参数（导热系数） ，或者从现有手册中查出该材料另外一些热物性参数（主要是导热系数值） ，利用数值分析方法（如拉格朗日插值法或其他方法）来拟合关系式，应用计算机模拟计算，研究燃烧过程中材料的不稳定传热过程，应用计算传热学知识来研究和解决材料复杂的实际传热问题。作者利用传热的原理，通过对材料燃烧过程的前期阶段-聚合物材料导热系数估算
4、方法的研究2加热阶段进行分析和研究，建立物理传热模型，并在此基础上建立数学模型，采用有限差分的数值方法对其离散化，得到线性方程组，然后应用计算机高级语言进行诠释，得到了较为完善的模拟系统。大量成功的实例表明，计算机模拟与实验相结合，一方面可以推动实验方案的改进，减少实验的工作量，缩短设计周期；另一方面可以推动计算机模拟的技术更新，并为复杂传热过程的内在规律和机理的推断和验证提供了有效途径。青岛科技大学本科毕业设计（论文）31.综述对传热问题进行数值计算，和用其它理论求解方法一样，只有当实际的传热问题可以给出数学描述时，才能进行理论预测。因此，对给定的传热问题，首先是要写出它的控制方程和定解条件
5、，有了这个前提，才能利用正确的数值方法，借助于数字计算机，得到反映传热过程内涵的数值结果，获得其各种条件等对系统内的温度分布及其变化规律等的影响。应用计算传热学解决问题的步骤：（1） 建立传热问题的物理、数学模型。（2） 数学模型进行有效的离散化。（3） 对离散化后的数学模型采用计算机工具编程、模拟实现。1.1 传热问题的基本方程传热过程按其传热方式可分为三种：热传导、对流换热、热辐射。(1) 热传导：在没有相对运动的介质中，由于温度梯度的存在，引起了介质内部之间的能量传递，即所谓的热传导过程。传热过程中，通过某一截面的热流密度可用傅里叶定律表达，即：（式 1-1）nTkq式中：k 为介质的导
6、热系数；n 为截面的外法线方向；T 为温度。利用方程（式 2-2-1） ，就可推出系统的能量守恒方程为：（式 1-2）vtTqkc)(式中： 为介质的密度；c 为比热； 为单位容积的热产生率（内热源） 。v(2) 对流传热：指固体边界表面和运动流体之间的热量交换过程。对流传热的热流密度可用牛顿冷却定律计算，即：（式 1-3）)(边 界 温 度特 征 温 度 Tq式中： 为热流密度； 为对流传热系数。(3) 热辐射：处于一定温度下的物质所发射的能量，不需要物质媒介。聚合物材料导热系数估算方法的研究4一个表面所能发射的最大辐射能流密度由斯蒂芬-波尔兹曼定律给出：（式 1-44表 面 温 度Tq）式
7、中： 为热流密度； 为表面的绝对温度（K ） ； 为斯蒂芬-波尔表 面 温 度 兹曼常数（ =5.67*10-8W/(m2K4)） 。这样的表面称为黑体。真实表面发射的热流应用下式计算，即：（式 1-5）4表 面 温 度Tq式中： 为表面的发射率，其值在 0 和 1 之间。1.2 初始条件和边界条件为了使上述控制方程的解唯一地被确定下来，还必须给出相应于具体传热问题的初始条件和边界条件。初始条件就是待求的非稳态传热问题在初始时刻待求变量的分布，它可以是常值，也可以是空间坐标的函数。在非稳态过程一开始，初始条件的影响很大，但随时间的推延，它的影响将逐渐减弱，并最终达到一个新的稳态过程。在最终的稳
8、定状态中再也找不到初始条件影响的痕迹，而主要由边界条件决定。关于边界条件的给定，通常有三类：(1) 给出边界上的变量值，如： 。0w(2) 给出边界上变量的法向导数值，如： 。1Bnw(3) 给出边界上变量与其法向导数的关系式，如：。2021BAnw其中： ， 为常数， ， ， 可以是常值，也可以是时间的函数。12120当边界条件的一部分给出的是第一类边界条件，才能得到待求变量的绝对值。对边界上只有第二类或第三类边界条件的问题，数值求解也同样只能得到待求青岛科技大学本科毕业设计（论文）5变量的相对大小或分布，不能求得他的唯一解。几种需要特别注意的边界：(1) 绝热边界：第二类边界条件，此时有
9、1=0，即 。0wnT(2) 对称边界：法向导数等于零，即 ；切向导数不一定为零。0wn(3) 非滑动边界：流函数值为常数。(4) 有对流和辐射换热的边界：典型的第三类边界条件，可以表达为 （式 1-6）)()(4环 境 温 度环 境 温 度 TFTxkc 式中： 为一常值它与边界表面和环境的发射率、空间角系数以及它们F的面积比等因素有关。由于上式是非线性关系式，将它线性化为：（式 1-7）)()( 环 境 温 度环 境 温 度 TTnTkrc 式中： ，若边界温度和环境温度相差不大，则2ssrF； 为包括对流和辐射在内的换热系数。34srT(5) 耦合边界：一般在处理复合材料、固液（或气液）
10、两相等问题时，将它们作为整体求解，但在必须分开计算时，保证材料性质在边界处变量值唯一，且流量值唯一。1.3 离散化方法微分方程的数值解就是用一组数字表示待定变量在定义域内的分布，离散化方法就是对这些有限点待求变量建立待求方程组的方法。根据实际研究对象，可以把定义域分为若干个有限的区域，在定义域内连续变化的待求变量场，由每个有限区域上的一个或若干个点的待求变量值来表示，这就是离散化的基本思想。由于所选取得结点间变量的分布形式不同，推导离散化方程的方法也各不相同，在各种数值计算方法中，最常见的是有限差分和有限元法。一、几种常用的离散化方法：聚合物材料导热系数估算方法的研究6(1) 泰勒级数展开：如
11、图 2.1 所示的结点组。结点 j 的两侧分别是结点j - 2 ，j - 1 ，j + 1 ，j + 2 。如果各点间的距离都是 h ，则用泰勒级数展开时，有：(式 1-8)jjjjjj dxxhdxxh )(24)(6)()( 321 (式 1-9)jjjjjj )()()()( 4321当只取两式的左端和右端前三项，并进行相加或相减，便得到中心差分的近似式：(式 1-10)(2)(21hOdxjjj (式 1-11)()( 22112jjjj 略去截断误差 后，便得到二阶精度的差分近似式：)(h(式 1-12)dxjjj2)(1(式 1-13)2112)(hjjjj 类似可得到略去截断误差
12、 的一阶精度差分近似式如下：)(O向前差分式： (式 1-14)hdxjjj1)(向后差分式： (式 1-15)jjj1)(四阶精度差分近似式如下：(式 1-16)8(12)( 212jjjjjhdx青岛科技大学本科毕业设计（论文）7(式 1-17)163016(12)( 222 jjjjjjhdx (2) 变分原理：也称瑞利-里兹法，它是从求泛函极值出发的一种离散化方法。(3) 权余法：即加权余数法，用近似值代替严格值代入原微分方程后产生的余量与选择的加权函数在定义域内作内积，并要求所选用的加权函数能使内积为零；这时域内任意点的近似值便是离散化的数值解。包括配置法、最小二乘法、矩量法、伽辽金
13、法。(4) 控制容积法：着眼于控制容积的积分平衡，并以结点作为控制容积的代表离散化方法。由于需要在控制容积上作积分，所以必须先设定待求变量在区域内的变化规律，即先假定变量的分布函数，然后将其分布代入控制方程并在控制容积上积分，便可得到描述结点变量与相邻结点变量之间关系的代数方程。由于是出自控制容积的积分平衡，所以得到离散化方程将在有限尺度的控制容积上满足守恒原理。也就是说，不论网格划分的疏密情况如何，它的解都能满足控制容积的积分平衡。二、模型确保得到物理上真实解的四个基本原则：通用离散化方程为：(式 1-18)bjjj 11（1）控制容积界面上的相容性：在控制容积的任何一个界面上的流量（如热量
14、、质量）都应该只有一个确定值，为了防止相容性被破坏，可以设想界面上的流量是由相邻控制容积共同确定的。（2）所有系数都是正值：在通用离散化方程中的系数 、 、 都1jj1j应该同号，并都取正值。因为，若有负有正，则往往不能确保得到物理上真实的解。（3）原项具有负的斜率： 要求是负值或零。j（4）临近系数之和规则：当基本方程中只包含变量的二阶微商项时，必须满足 ，即 是临近结点的系数的总和。也就是说，当不存在依banjj赖于变量 的原项和非稳态项时， 只能是临近结点变量值的加权平均值。j聚合物材料导热系数估算方法的研究8以上四个原则广泛用来判别离散化方程的合理性，对数值计算能否得到合理的解有着重要
15、的作用。1.4 计算机工具的选择C+是一门高效实用的程序设计语言，它既可以进行过程化程序设计，也可以进行面向对象程序设计。C+强调队高级抽象的支持，其实现了类的封装、数据隐藏、继承及多态，使得其代码容易维护即高度可重用。在科学计算功能上，它比 Fortran 更为可靠和方便；在小规模控制应用上，C+的效率比之 C毫不逊色；在大规模软件开发上，以 Windows 环境为代表的 C+类库以及组件（组合类库）在迅速发展，它触及各个领域。C+Builder 是 Borland 公司为编写 C+应用程序而开发的快速开发产品（Rapid Application Development） 。C+Builde
16、r 是一个面向对象的可视化编程平台，可以创建 Win32 控制台应用程序或 Win32GUI(图形用户界面)程序，利用 C+Builder 编程，可以用最小的代码开销编写出高效率的 W i n d o w s 应用程序。本软件模拟系统中，主要实现的是数据计算功能、数据库存储数据，要求软件界面的友好美观、系统稳定。因此，选择作为计算机模拟工具。本文所述的实际材料传热物理模型为：高分子材料（PMMA）样品在固定的热通量下，在点燃前材料表面及内部各点温度值的变化。对此物理模型转化为数学模型的过程中需满足以下条件：样品本身假设为不可压缩固体、密度值不变；材料的传热作一维不稳定传热过程假设；样品上表面为
17、受热表面，考虑固定热通量的热传导、物质间的热辐射及对流传热，其它影响忽略；样品的下表面为非受热表面，作绝热状态假设。其它相关情况为：实验测量结果为材料表面及内部各点温度值，实验测量仪器为锥形量热仪；由物理模型得到的数学模型为偏微分方程，化简方法采用泰勒级数；计算机计算过程中采用逐差法逐渐缩小模拟所得值与实验值之间差值，得到一个符合模拟条件的导热系数值，通过拉格朗日拟合法拟合成线性共识，从而为未知数据的获得提供一个科学的依据；计算机编程工具采用 C+Builder，数据库采用本地数据库 Paradox，操作系统为 Win2000；软件开发符合软件工程的标准，采用原型化开发方法，最后得到模型嵌入的
18、模拟软件及相关数据库；软件界面为图形窗口界面（GUI） ，软件本身为交互式数据输入与选择操作方式，方便易用，软件源代码具有高度青岛科技大学本科毕业设计（论文）9的可读性与重用性，便于软件的维护、升级。2.模型的建立和推导2.1 能量方程的推导图 2-1 一维膨胀模型示意图Fig.2-1 Configuration of one-dimensional model for intumescence during swelling process能量方程是以热力学第一定律即能量守恒定律为基础导出的。按照拉格朗日观点，在运动流体中选择某一固定质量的流体微元，微元在流体中随波逐流过程中只有内能发生变化
19、：当流体微元运动时，改微元与其它微元无相对速度，故无动能交换，同时位能相同。而微元与环境流之间的热交换只有以分子传递形式进行的导热。还有辐射传热及表面应力对流体微元所作的功率等。文字方程为： 作 的 功 率表 面 应 力 对 流 体 微 元 所加 入 流 体 微 元 的 热 速 率 聚合物材料导热系数估算方法的研究10上述文字方程用随体导数形式表达，即：(式 2-1)DtWQtU式中各项单位为 J/kgs；U-每 kg 流体的内能；Q-对每 kg 流体加入的热量；W-表面应力 -对每 kg 流体作功时而转变微流体内能的部分。若每瞬时流体微元的密度为 、体积为 ，则其质量为 。则dxyzdxyz
20、得到：(式 2-2)DtWdxyztQdxyzDtU各项单位 J/s。那么，只考虑一维情况的方程为：(式 2-3)ttt在无内热源的情况下，加入流体微元的热能有两种，一种为由环境流体导入流体微元的热能，另一种是辐射传热。设总流入热能为 q，则：上侧面流入： (式 2-4)xAq)/(下侧面流出： (式 2-5)/(/ dxAqx由环境流体导入流体微元的热速率为：(式 2-6)dxqdxqAqxx )/()/()/()/(热通量 可采用傅立叶定律表达：x/(式 2-7)Tkq)(因此，导入流体微元的热速率为：(式 2-8)2xkDtQ作用在流体表面上的应力是由于流体微元表面受到与它毗邻流体的压力和粘性应力的作用产生的，一共有九项。由于是不可压缩的固体导热，在此简化
