1、系泊系统的设计摘要本题要求观测近海观测网的组成，建立模型对其中系泊系统进行设计，在不同风速和水流的情况下确定锚链，重物球，钢管及浮标等的状态，从而使通讯设备的工作效果最佳。求解的具体流程如下：针对问题一，分别对系统中的受力物体在水平方向和竖直方向上的力进行分析，找出锚链对锚无拉力时的临界风速，运用力矩平衡求出钢管与钢桶的倾斜角度。对于锚链，将其等效为悬链线模型，根据风速不同判断锚链的状态，从而求出结果。针对问题二，需要调节重物球的质量，使通讯设备在 时能够正常工36作。为了确定重物球的质量，首先将实际风速与临界风速进行比较，判断此时系统中各物体的状态，与题目中已知数据进行比较。在钢桶倾斜角度达
2、到临界角度时，计算锚链与海床的夹角并于题中数据进行比较，计算重物球的质量。在浮标完全没入海面时，计算相应条件下重物球的质量，从而确定满足条件的重物球的质量范围。针对问题三，要求在不同条件下，求出系泊系统中各物体的状态。以型号 I锚链为例， 当水流方向与风速方向相同时，系统条件最差，分析在不同水深条件下的系泊系统设计。由题中已知条件确定系统设计的限制条件，对系统各物体进行受力分析，以使整体结果最小，即可得出最优的系泊系统设计。关键词：悬链线 多目标非线性规划一、问题重述近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图 1 所示） 。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径 2m、
3、高 2m 的圆柱体，浮标的质量为 1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为 600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共 4 节，每节长度 1m，直径为 50mm，每节钢管的质量为 10kg。要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过 16 度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。水声通讯系统安装在一个长1m、外径 30cm 的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为 100kg。钢桶上接第 4 节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶的倾斜角度（
4、钢桶与竖直线的夹角）超过 5 度时，设备的工作效果较差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。问题 1 某型传输节点选用 II 型电焊锚链 22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。现将该型传输节点布放在水深 18m、海床平坦、海水密度为1.025103kg/m3 的海域。若海水静止，分别计算海面风速为 12m/s 和 24m/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。问题 2 在问题 1 的假设下，计算海面风速为 36m/s 时钢
5、桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过 5 度，锚链在锚点与海床的夹角不超过 16 度。问题 3 由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于 16m20m 之间。布放点的海水速度最大可达到 1.5m/s、风速最大可达到 36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。二、模型假设1.不考虑流体对锚链的作用，忽略锚链本身的伸长，锚链沿长度均匀分布；2.假设风是二维的，只存在平行于水平面的风速，不存在垂直方向上的分量；三、符号说明符号 含义浮 0浮标的浮力
6、浮 钢管的浮力浮 1 钢桶的浮力浮 2重物球的浮力风近海风荷载0浮标近海水流力1钢桶近海水流力2重物球近海水流力0浮标重力钢管重力1钢桶重力2重物球重力3锚链重力浮浮标游动区域h 浮标吃水深度四、问题分析4.1 问题一分析问题一对于系泊系统的受力物体进行分析，分别对系统中的受力物体在水平方向和竖直方向上的力进行分析，找出锚链对锚无拉力时的临界风速，运用力矩平衡求出钢管与钢桶的倾斜角度。对于锚链，将其等效为悬链线模型，根据风速不同判断锚链的状态，从而求出结果。4.2 问题二分析问题二需要调节重物球的质量，使通讯设备在 时能够正常工作。为36了确定重物球的质量，首先将实际风速与临界风速进行比较，判
7、断此时系统中各物体的状态，并与已知数据进行比较。在钢桶倾斜角度达到临界角度时，计算锚链与海床的夹角并与题目要求进行比较，计算重物球的质量。在浮标完全没入海面时，计算相应条件下重物球的质量，综合确定满足条件的重物球的质量范围。4.3 问题三分析问题三要求在不同条件下，求出系泊系统中各物体的状态。以型号 I 锚链为例， 当水流方向与风速方向相同时，系统条件最差，分析在不同水深条件下的系泊系统设计。由题中已知条件确定系统设计的限制条件，对系统各物体进行受力分析，以使整体结果最小，即可得出最优的系泊系统设计。五、模型建立与求解5.1 问题一模型5.1.1 问题分析 问题一, 系泊系统整体受力平衡，浮标
8、受到恒定风力时，分别对系统中的受力物体在水平方向和竖直方向上的力进行分析，找出锚链对锚无拉力时的临界风速，运用力矩平衡求出钢管与钢桶的倾斜角度。对于锚链，将其等效为悬链线模型，根据风速不同判断锚链的状态，最后利用力矩平衡求出钢管与钢桶的倾斜角度,从而求出结果。5.1.2 模型建立Step1.系泊系统受力分析对于浮标，它受到水的浮力，自身重力，风载荷及第一根钢管对浮标的力。此题中海水静止，故所有近海水流力为 0。将钢管对浮标的力在分别水平方向和竖直方向上进行分解，具体受力如图所示，由浮标所受的力平衡得到：图 浮标受力分析图,0=风 +0 （ 水平方向 ）,0=浮 00 （ 竖 直方向 ） 式中，
9、 、 分别为钢管对浮标的力再水平方向和竖直方向的分立。,0,0对于钢管，将第一节钢管对浮标的力设为 ，后续第 节钢管对第 k 节0 +1钢管的力为 ，将钢管的力进行分解，钢管的受力情况如图所示，因此： 图 钢管受力分析图 ,=,+1+ （水平方向）,+浮 =,+1+ （ 竖 直方向） 式中， 为钢管收到的浮力，由于钢管体积较小，在水中钢管的浮力与重浮力相比很小，可忽略不计； ， 分别为第 k 跟钢管对前一根钢管在水平方,向和竖直方向的分力。对于钢桶，它受到第四根钢管的力，水的浮力，自身重力以及锚链的拉力和重物球的拉力，具体受力如图所示，则：图 钢桶受力分析图 ,+1=,+1 （水平方向）浮 1
10、+浮 2+,=,+1+1+2 （ 竖 直方向） 式中， 和 分别表示锚链的拉力在水平方向和竖直方向上的分力。,+1 ,+1对于系泊系统，由浮标、钢管和钢桶得水平受力分析可得：风 =,0=,1=,2=,3=,4=,5=0.6252其中，S 为物体在风向法平面的投影面积，v 为风速。由竖直方向受力分析得： ,0=浮 00,0=,1+,1=,2+,2=,3+,3=,4+浮 1+浮 2+,4=,5+1+2设浮标的吃水深度为 h，则：浮 0=20=0=2=2浮 1=220浮 2=2重其中， 为海水密度，题中为 ； 为重力加速度，本题取1.0251033 ； 为浮标底面积半径，本题中为 ； 为浮标质量，为
11、 ；9.82 10 1000为每节钢管的质量，为 ； 为重物球的质量，本题中为 ， 为 102 12002钢桶底面半径， 为钢桶的长度，钢管长度与钢桶相等。0将重物球当作铁球处理，则重物球的密度为 ，由题重 =7.861033中已知条件可知，可以递推出：,0=21000,1=21010,2=21020,3=21030,4=21040,5=211402+2重 +220Step2. 悬链线模型对于锚链，假设其质量分布均匀，可以将锚链作为悬链线处理，从而做出以下分析,由静力学平衡条件可知，在坐标系中，锚链水平分立和垂直分力的代数和为 0，可以得到：=3+= 图 锚链受力分析图式中， 表示锚链对钢桶的
12、拉力， 、 分别表示锚链的水平分力与竖直 分力， 表示锚链的重力， 为锚链任一点与水平方向的夹角。因此，可推导出：3 =+= 表示锚链单位长度的质量，即线密度； 为锚链在水中未触碰海底的长度。 由曲线几何关系和力学关系及悬链线模型可求得，导线任一点的斜率为： =+= 11+(+ )2=+1+(+ )2式中,x、y 分别表示锚链在水平方向和竖直方向的投影长度。对两式分别进行积分，并用临界点数据( )来确定积分常数，则可得，=0,=0=1(+ )01=( 1+(+ )21)+2进一步可求得方程：=()=0(0+1)+2其中0=1=1()2=0(1)Step3.力矩分析平衡对于钢管，由于钢管的力矩平
13、衡，可以得到： 02(,+,+1)=02(,+,+1+,水 )其中， 表示分别表示第 k 根钢管的倾斜角度， 为水流对钢管的力，则： ,水=,+,+1+,水,+,+1即为：1=,0+,1+1,水,0+,12=,1+,2+2,水,1+,23=,2+,3+3,水,2+,34=,3+,4+4,水,3+,4式中， 分别是钢管的倾斜角度（k 取 1，2，3，4） ，根据题中的数值，可以得到以下公式：1= 风210052= 风210153= 风210254= 风21035代入数值后可求出钢管相应的倾斜角度。对于钢桶，由钢桶的力矩平衡，可以得到： 025(,+,+1+2浮 2)=025(,+,+1+,水 )
14、其中， 表示分别表示钢桶的倾斜角度，于是：55= ,4+,5+1,4+,5+2浮 2带入数值得：5= 风2100+2重 +220式中 ， 是钢桶的倾斜角度，由题中给出的数据可以计算出钢桶的倾斜角5度。5.1.3 模型求解求解不同风速条件下系泊系统的状态，需要先求出系统的临界条件，即锚链与海床相切时的风速，然后将此临界风速与题目中所给风速进行比较，判断锚链的状态，最终求出不同风速下系泊系统的状态。Step1.临界条件当系统处于临界状态时，锚链与海床底部相切，此时，锚链全部抬起且对锚无拉力， 。取锚链以上的部分进行受力分析，设锚链以上部分竖=22.05直高度为 ，由受力分析模型得： =+01+02
15、+03+04+05由模型中的公式可以得到，此式是关于临界风速 的表达式。0设锚链的竖直高度为 y，可以得到：=2+()2由题中已知条件可知，水深为 ,则：18+=18取锚以上部分进行分析，由系统受力平衡可得，锚以上部分重力与浮力相等，由此可得： 0+4+1+2+3=浮 0+浮 1+浮 2将题中各数值代入公式，编程可求得 。0=23.985984Step2.风速为 时12由于风速 小于临界速度 的值，所以当风速为1=12 0=23.985984时，锚链与海底接触。此时，竖直方向上的受力 ，可以得到：12 =0=+2由悬链线模型可以得到，=,5,5=1()01解得：=22340+2重 +220因此
16、：=2+()2由题中已知条件可知，水深为 ,则：18+=18由锚链与海底深度的关系，编程求得浮标吃水深度 h=0.688994。浮标的游动区域由锚链在水平方向的投影长度，以及钢管和钢桶在水方向的投影长度能共同决定，设浮标游动区域为 则可以得到：浮浮 =+01+02+03+04+05由锚链在水平方向的投影长度及钢管、钢桶的倾斜角度可以求得，浮标游动区域大小 。由钢管与钢桶的受力分析可以求得，四节钢管与浮 =14.354904钢桶的倾斜角度分别如表所示。表 12m/s 时钢管及钢桶倾斜角度物体 倾斜角度第一节钢管 1.136638第二节钢管 1.146308第三节钢管 1.155913第四节钢管 1.165680钢桶 1.109907Step3. 风速为 时24由于风速 大于临界速度 的值，所以当风速为2=24 0=23.985984时，锚链完全倾斜。此时，锚链倾斜的长度 。由临界条件中24 =22.05锚以上部分重力与浮力相等，即： 0+4+1+2+3=浮 0+浮 1+浮 2代入数值得：1000+40+100+1200+=2+2重 +220可求得 的值。由浮标，钢桶，钢管水平受力分析可得：=风 =0.6252由悬链线模型可得：=1(+ )01
