1、案例分析与教师发展陕西师范大学数学系 罗增儒 邮编 710062电话 029-85308872 13609297766Emil：zrluosnnueducn我建议通过案例研究来促进教师的发展，既解决工作中的实际问题，又促进个人的专业发展期望： 体会三个名词：案例，案例教学，案例研究；参与一个行动：案例分析（校本教研的具体形式）；带走一个信念：我要进行案例研究，我能进行案例研究我将采用讲故事（教育叙事）和交流讨论的方式来进行，即通过教育事件的描述，发掘内隐于其背后的思想与意义记得我当中学教师时（1978-1986）常常问自己：有专业学者的功底吗？有教育理论家的修养吗？有教学艺术家的气质吗？有青年
2、导师的榜样形象吗？如果我们没有向这四个方向努力，我们怎能心安理得地面对充满求知渴望的孩子，又怎能问心无愧地面对我们的崇高职业和激情人生？我的体会是“案例研究”促进了我所有这四个方面的发展，所以，我今天选择了这样一个经验话题来与大家交流 1 案例研究的认识1-1 通过研究案例来说明案例研究先做两个数学练习（一个解题的、一个编题的），再讲两个教学故事（关于三角形内角和的教学），可以认为是学习“案例研究”概念的情境创设1-1-1 解题练习 1自行车问题目的：经历案例例 1-1 一个自行车新轮胎，若安装在前轮则行驶5000 后报废，若安装在后轮则行驶 3000 后报废如果kmkm行驶一定路程后交换前、
3、后轮胎，使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶多少 ？ k（“数学周报杯”2009 年全国初中数学竞赛第 6 题）请用方程或算术等多种解法求解解法 1 解法 2解法 3如果你不能求解请先做第 2 题 例 1-2 一件工程，平均分为前、后两段，甲工程队干前半段 5000 小时完成，乙工程队干后半段 3000 小时完成，如果两工程队同时动工，甲工程队干前段、乙工程队干后段一定时间后，甲、乙两工程队交换（交换时间不计） ，使前、后两段同时完工，问整个工程一共几小时完成？如果你能求解请返回做第 1 题；如果你也不能求解第2 题，没关系，请先做第 3 题 例 1-3 一件工程，甲工程队干一
4、半需 5000 小时，乙工程队干一半需 3000 小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？ 如果你不能求解第 3 题，请看第 4 题；如果你能求解请返回做第 2、1 题， 例 1-4 一件工程，甲工程队干需 10000 小时，乙工程队干需 6000 小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？ 提示（小时） 120150253708063最终至少要用两个解法完成第 1 题希望完成之后能谈谈感想，想说什么就说什么说明：以上，我们共同经历了一个解题案例.下面的事实说明，求解本例并洞察其深层结构不是很容易的，分析见案例 102009 年 9 月 27 日我们对 27 个初中教师的
5、 10 分钟的测试却只有 7 人通过（难度系数 026） ；2009 年 12 月 25日对 37 个初中教师的 10 分钟的最新测试却只有 4 人通过（难度系数 011） 2009 年 9 月我们就本例的化归对大学生进行测试，在第一节课上课时做例 1-1（10 分钟） ，在第二节课下课前做例 1-2（10 分钟） ，结果在正确求解例 1-2 的 85 人中，只有 42 人正确求解例 1-1，就是说，有 51%的数学系师范生即使能完成例 1-2 也还短时间内不能完成例 1-1这说明，短时间内（10 分钟）看透例 1-1 与例 1-2 的相同结构是有难度的，需要我们的启发与引导 1-1-2 案例
6、 1 根据图象编一个故事（编题）目的：经历案例研究第 1、事实的陈述（被教师称为：有可能封闭一辈子的题目）例 2-1 如图 1，表示某人从家出发任一时刻到家的距离（s）与所花时间（t）之间的关系，请根据图象编一个故事 （学员练习、讨论） 图 1讲解 （1）在新疆的一次听课中（2004 年） ，同学们说的故事很多，也得到教师的完全认可，但抽象出来的运动特征基本上都是： 在 上匀速直线运动；OP在 上静止；Q在 上匀速直线运动R课后与教师交流时，我问为什么“在 上静止？”，PQ教师认为，到家的距离不变，所以是静止我说，到家的距离不变就是“到定点（家）的距离为定长（不变）”，这样的点一定是定点吗？教
7、师立即反应过来这里的认识封闭在于，面临“到一定点的距离为定长”的数学情景时，只想到静止、想不到运动（轨迹！圆周运动，空间为球），数与形的双向流动不够通畅从知识上看，可能还有“距离”与“路程”的混淆：随着时间的推移而路程不变，当然是静止，但随着时间的推移而距离不变，则可能是静止也可能是运动在 、 上也可以非直线运动，距离匀速便可.OPQR（2）值得注意的是，这是“一个很普遍的认识封闭现象”（被一些教师称为“可能会封闭一辈子”的问题），我们在杭州骨干教师培训班（2005 年）、本科生（选修课上）、中学生中进行过多次测试，能回答圆周运动（空间为球）的极为个别，每一次都“几乎全军覆没”（认识封闭 1）
8、并且，当我们进一步问会有多少种运动方式时，也存在认识封闭现象，也经常“几乎全军覆没”，普遍没考虑到在圆周上既可以运动又可以静止，既可以前进又可以来回走动，既可以原路返回又可以另路返回（认识封闭 2）这一认识封闭现象在书本或考试题中亦有反映，就是说“明确知识的认识封闭现象”专家也不能幸免请看例 2-2 （2003 年，陕西中考）星期天晚饭后，小红从家里出去散步， 如图 2 描述了她散步过程中离家的距离（米）与散步所用的时间 t（分）之间的函数关系依据s图象，下面描述符合小红散步情景的是（ ）（A）从家出发，到了一个公共阅读栏，看了一会儿报，就回家了（B）从家出发，到了一个公共阅读栏，看了一会儿报
9、后，继续向前走了一段，然后回家了（C）从家出发，一直散步（没有停留）， 然后回家（D）从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18 分钟后才开始返回图 2 这类试题源于课标与教材，设计了生活情景，考察了数学的核心知识函数，题目的预设答案为（B），然而怎样否定（C）和（A）呢？ 如图 3，前 4 分钟沿 直路匀速向前OP散步，然后拐弯沿圆弧 走 6 分钟，再转Q弯沿 向前走 2 分钟，最后沿 走 6 分钟QRR直路匀速回到家这个散步过程是“没有停留”的可见（C）不能否定如果散步 图 3不是按原路返回，那么从“公共阅读栏”出来，还可以走2 分钟到另一条弯路上，然后沿另一条路 6 分钟回到家这样一来，
10、（A）也否定不了！可见这道考题是道病题，与选择题“有且只有一个选项正确”矛盾，但当年数以万计的师生却没有提出异议（也许有深入思考的学生反而被判为扣分）这又一次说明这是“一个很普遍的认识封闭现象”第 2、案例的初步分析（1）题目自然涉及“圆”的概念和逻辑“或” ，触及“明确知识的认识封闭现象” ，并且在 PQ 上有明显的 3 个层次一种情况：在 PQ 上静止有静无动,能背熟圆的定义，面临圆（或球）的情景时看不见圆（或球） 两种情况：看到 PQ 静止时全静止，看到 PQ 运动时全运动有进无退，逻辑“或”对 PQ 的全程无数种情况看到 PQ 静止或圆周运动，可以前进也可以后退有静有动，有进有退，逻辑
11、“或”对 PQ 的每一点（2）考察了数学的核心知识函数，广泛涉及：函数的概念，包括定义域、值域、对应关系函数的表示方法，突出了一次函数的解析式与图象这两种表示法一次函数的增减性与图象形状的关系通过生活情景和图象很自然的出现分段定义函数考察学生分析实际情景，认识函数变化规律的基本能力（3）设计为开放题需要学生将一次函数的图象和性质赋予实际意义，而学生根据自己的生活体验和对数学知识的理解，编拟出来的实际情节将是不惟一的每个学生都可以回答问题，但不同的水平到达不同的层次第 3、对案例研究的启示以上我们共同经历一个“案例” ，共同进行了一次“案例研究” （1） “根据图象编一个故事”呈现了一个有启发性
12、的故事，这个故事就是一个案例，数学教育界习惯称数学案例为课例（2）我们现在介绍这个故事是想导出这样一个话题：数学教育中是否存在“明确知识的认识封闭现象” ，并认识数学教育研究的微型过程答案是：“明确知识的认识封闭现象”存在（顺便问一声：以 为判别式的二次方程是 24bac）（3）我们通过这个故事来启引大家认识案例，关注案例研究，体会案例教学的过程，感悟“我要进行案例研究，我能进行案例研究”的理念，实际上是在进行“案例教学” 讲这个有教育意义的故事、分析提炼内蕴于其背后的思想、意义与道理，有一个很时髦的词，叫做“教育叙事”即通过教育事件的描述，发掘内隐于其背后的思想与意义 （罗增儒教育叙事：圆的遭遇中学数学教学参考（初中版），2007，3）1-1-3 案例 2 在“三角形内角和定理”的课堂上（ 1）师 生 理 清 了 “三 角 形 内 角 和 ”的 证 明 思 路 之 后 ， 学 生脑 子 里 有 一 个 图 、 但 板 书 没 有 画 出 来 ， 写 出 证 明 如 下 ：证 明 在 三 角 形 外 部 作 ，ACE则 ， （内错角相等，两直线平行）/CEAB有 （两直线平行，同位角相等）D得 （等量代换）ACE （平角的定义） 180第 1、案例研究反 思 1（ 1） 对 这 个 证 明 你 有 什 么 看 法 ？
