1、1第三章 多维随机变量及其分布在实际应用中, 有些随机现象需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述. 例如, 研究某地区学龄前儿童的发育情况时, 就要同时抽查儿童的身高 、体重H, 这里, 和 是定义在同一个样本空间上的两个随机变量. 又如, 考察某次WH射击中弹着点的位置时，就要同时考察弹着点的横坐标 和纵坐标 . 在这种情况XY下，我们不但要研究多个随机变量各自的统计规律，而且还要研究它们之间的统计相依关系，因而还需考察它们的联合取值的统计规律，即多为随机变量的分布. 由于从二维推广到多维一般无实质性的困难, 故我们重点讨论二维随机变量.第一节 二维随机变量一、 二维随机变量及分布函数1
2、定义:由随机变量 构成的有序数 ，称 为二维随机变量或二维随机,XY),(YX),(向量.注： ,在 几 何 上 ， 二 维 随 机 变 量 可 看 作 平 面 上 的 随 机 点 的 坐 标 2 定义:设 是二维随机变量, 对任意实数 , 二元函数)(YXyx)()( yYXPYxXPyxF记 为称为二维随机变量 的分布函数或称为随机变量 和 的联合分布函数.),3 二元分布函数的几何意义 (,)(,)XYXY若 将 二 维 随 机 变 量 看 成 是 平 面 上 随 机 点 的,Fxy的 坐 标 则 分 布 函 数 就 表 示 随 机 点 落 在 以 点()xy为 顶 点 的 左 下 方
3、的 无 限 矩 形 域 内 的 概 率4 随机点 落在矩形区域: (,)XY1212,xXyY内的概率为1212,Pxy212211(,)(,)(,)(,)FFxy25 分布函数 的性质:(,)Fxy（1） 且对任意固定的 对任意固定的10,y,0),(F,0),(xF;),(,),(2) 关于 和 均为单调不减函数, 即yxy对任意固定的 当, ),(),(1212yxFx对任意固定的 当,x;,y(3) 关于 和 均为右连续, 即 ),(yxFy ).0,(),(,0(),( yxFyxy有4（ ） 对 任 意 的 121212(),xx2(,),()xyFy注：上述四条性质是二维随机变量
4、分布函数的最基本的性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四条性质；更进一步地，我们还可以证明：如果某一二元函数。具有这四条性质，那么，它一定是某一二维随机变量的分布函数破坏之一，则不是。二、 二维离散型随机变量及其概率分布1 定义：若二维随机变量 只取有限对或可数对值, 则称 为二维离散型随)(YX ),(YX机变量.结论： 为二维离散型随机变量当且仅当 均为离散型随机变量.),(YXY,2 定义：若二维离散型随机变量 所有可能的取值为 则称),( ),(jiyx,21,21,(,jipyYxXPijji为二维离散型随机变量 的概率分布(分布律), 或 的联合概率分布(分布), YX与律)
5、.有时也将联合概率分布用表格形式来表示, 并称为联合概率分布表: Y X1y 2 jy ip 1x pjp11221 2 2 2 ix1i 2i ij ip jp1 2p jp 33 二维离散型随机变量联合分布律的性质：1) 12ijij对 任 意 的 ， ， ， ， ， 0ijijpPXxYy，2) 1ijip，4 二维离散型随机变量的联合分布函数设二维离散型随机变量 的联合概率分布为(,)XY12ijp， ， ，于是， 的联合分布函数为(,)XY(,), FxyPXxYy , , , ij ijij ij ij ijxy xyxyPx p 注：对离散型随机变量而言, 联合概率分布不仅比联合
6、分布函数更加直观, 而且能够更加方便地确定 取值于任何区域 上的概率，即),(YXD,yxijjipP),(),(特别地, 由联合概率分布可以确定联合分布函数: .,),( ,yxijiYyxF例1:从一只装有3只黑球和2只白球的口袋中取球两次，每次任取一只，不放回，令 , 0,1 X第 一 次 取 出 白 球第 一 次 取 出 黑 球 0,1 ,第 二 次 取 出 白 球第 二 次 取 出 黑 球求 的概率分布),(Y解 的所有可能取值为 (0,),(),0 21,0540PXPXY1 311Y0,011 2540PXPXY4例 2：设随机变量 服从参数为 的指数分布，随机变量 定义如下：Y
7、1kX求 的联合概率分布.0,(,2)1kkX12X和解： 的分布函数为Y,0()yeFy12(,)4,(1),(,)X可 能 取 的 值 只 有 对 ： 及 102PPYPYFe12,01212()X e212,21PPYPYF所以 的联合概率分布为三、二维连续型随机变量及其概率密度1 定义：设 为二维随机变量, 为其分布函数, 若存在一个非负的二元函)(YX)(yxF数 , 使对任意实数 , 有 )(yxf )(yx (,),yxfuvd则称 为二维连续型随机变量, 并称 为 的概率密度(密度函数), ),(fYX 2X10 10 1e01 225或 的联合概率密度(联合密度函数).YX,
8、2 概率密度函数 的性质:),(yxf;0),(1f ;1),(),(2Fdxyf(3) 设 是 平面上的区域,点 落入 内的概率为GxOy,YXG(,)(,)Pxyfxyd(4) 若 在点 连续, 则有 ),(yxf)( .,2fF3 在几何上 表示空间的一个曲面， 的值等于以 为底，,z(,)PxyG以曲面 为顶的柱体体积()fxy四、二维均匀分布设 是平面上的有界区域,其面积为 .若二维随机变量 具有概率密度函数GA),(YX，则称 在 上服从均匀分布.其 它,0)(1),(GyxAyxf ),(YXG例 3：设二维随机变量 的密度函数为),(20,xykefy，其 它(2)分布函数 (
9、3) 求 常 数 k； ,Fxy1PXY，(5) (4)012PXY求 ，解：（1） fxyd， 20xyked200xyke k所 以 ， , (2)FyPXY， ， 00xyFxy当 或 时 ， ，x当 且 时 ， F， PXY，yxfuvd， 21xye2100xyeFxy，所 以 ， ， 其 它61201xyPXYdyed(3)， 21()e04 ， 012xyfxyd， ，120xyed1200ed14eXOYxyG5)把 位 于 平 面 的 直 线 上 方 的 区 域 记 为(,)(,)dGPyfx2 2001ee3xy xy练习1：设随机变量 在 1,2,3,4 四个数中等可能地
10、取值，另一个随机变量 在 X Y1X中等可能地取一整数值。试求 的分布律。),(YX解： 1,|,1,234.4PiYjPijiijii其 中2 设二维随机变量的联合概率分布为YX20 110.3 0.1 0.11 0.05 0.2 02 0.2 0 0.05X 1 2 3 ip 4 0 0 0 41 2 81 81 3 12 12 12 0 41 4 6 6 6 16 jp 4825 4813 487 483 7求 及0,1YXP).,(F解 1, 1,0,YXPYXP.402.01. ,1,),( YXPF .40.33 设 的概率分布由下表给出，求 ,YXPYXP|.|,0yYX10 2
11、0 0.1 0.2 01 0.2 0.05 0.12 0.15 0 0.1解 0,YXP ,2,YXPYXP ,05.1321,| ,.61.第二节 边缘分布一、边缘分布函数1 定义：二维随机向量 作为一个整体, 有分布函数 ，其分量 与 都()XY(,)FxyXY是随机变量，有各自的分布函数，分别 分别称为 的边缘分布函(),XYx记 为数和 Y 的边缘分布函数；称 为的联合分布函数。(,)2 求法： (,)(,)XYFxy已 知 二 维 随 机 变 量 的 分 布 函 数 ， 则8(),lim(,)(,)X yFxPxXxYFx同理 ,Y xyPy(),(,)XYFxy故 边 缘 分 布
12、函 数 可 由 的 分 布 函 数 所 确 定注： 与 的边缘分布函数实质上就是一维随机变量 或 的分布函数。称其为XY边缘分布函数的，是相对于 的联合分布而言的。(,)同样地， 的联合分布函数 是相对于 的分量 与 的分(,)Y(,)Fxy(,)XY布而言的。例 1: X设 二 维 随 机 变 量 ， 的 联 合 分 布 函 数 为,arctnarctn23xyFxyABCxy，试 求 ： 常 数 、 、 ； Y 及 的 边 缘 分 布 函 数 解： 由 分 布 函 数 的 性 质 ， 得 12FABC，0arctn2xFxABC， rta3yy，由 以 上 三 式 可 得 ， 212ABC
13、， ，X 的 边 缘 分 布 函 数 为limyFxxy， 21liarctnarctn23xy1arctn2x，Y同 理 ， 的 边 缘 分 布 函 数 为limYxFyy， 21liarctnarctn23xxy91arctn2y，二、离散型随机变量的边缘概率分布1 边缘分布函数对于二维离散型随机变量 ,已知其联合概率分布为()XY,其分布函数为12ijijPXxYyP， ， ， ， (,)ijijxyFp则它关于 X 的边缘分布函数为 1(,)iXijxjFxp它关于 Y 的边缘分布函数为 1(,)jY ijiyy2 边缘概率分布随机变量 的概率分布X. 12ii ijiiijijjPx
14、PxYypp ，Y同 理 ， 随 机 变 量 的 分 布 律 为.j j ijijiyXxy，3 已知联合概率分布求边缘概率分布的边缘概率分布可由下表表示XY以 及Y X1y 2 jy ip 1x p1jp11221 2 j2 2 ix1ip 2i ijp ip j1 2 j 10例 2 设二维随机变量的联合概率分布为YX 20 110.3 0.1 0.11 0.05 0.2 02 0.2 0 0.05求 的边缘分布律。,XY解：YX 20 1iiPXxp10.3 0.1 0.1 0.51 0.05 0.2 0 0.252 0.2 0 0.05 0.25ijPyp0.55 0.3 0.15例 3：设随机变量 12X和 的 分 布 律 分 别 为120,PX12且 求 和 的 联 合 分 布 律解: 因 故 ,0PX因事件 是互不相容的事件 与 的和，1212,12,X所以 即12,PX 30p由 的联合概率分布及边缘概率分布表：12,2X1-1 0 1ip0 1p1213210 1P2X1 0 1P 424
