1、小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型） ，共边（含燕尾模型和风筝模型） ， 掌握五大面积模型的各种变形知识点拨一、等积模型等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图 12:Sab夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 ；ACDBS 反之，如果 ，则可知直线 平行于 ACDBS B等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积
2、比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比如图在 中， 分别是 上的点如图 (或 在 的延长线上，ABC ,DE,ABCDBA在 上)，E则 :():()ES EDCBAEDCBA图 图三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：baS2S1DCBAS4S3S2S1ODCBA 或者 1243:SS1324S1243:AOCSS蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边
3、形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： 213:Sab ；24:ab 的对应份数为 2四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF EAB CDAB CDE FG ；AEAC 2:DBSF ：所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的
4、底边长的一半相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形 中， ， ， 相交于同一点 ，那么ABCDBECFO:ABOS上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为 和 的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被AB CDObaS3S2 S1S4OFED CBA称为燕尾定理该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.典型例题【例 1】 如图，正方形 ABCD 的边长为 6
5、， 1.5， 2长方形 EFGH 的AECF面积为 _H_G_F_E_D_C_B_A _A_B _C_D_E_F_G_H【解析】 连接 DE， DF， 则长方形 EFGH 的面积是三角形 DEF 面积的二倍三角形 DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，,所以长方形 EFGH61.562624.5216.5DEFS面积为 33【巩固】如图 所 示 ， 正 方 形 的 边 长 为 厘 米 ， 长 方 形 的 长 为 厘ABCD8EBGF10米 ， 那 么 长 方 形 的 宽 为 几 厘 米 ？_A _B_G _C_E_F_D_A _B_G _C_E_F_D【解析】 本题主要是让学生会
6、运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半证明：连接 (我们通过 把这两个长方形和正方形联系在AAB一起)在正方形 中， 边上的高，BCDG12ABS (三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积12ABGAS的一半)同理， ABGEFBS正方形 与长方形 面积相等 长方形的宽ABCDEFGB(厘米)8106.4【例 2】 长方形 的面积为 36 ， 、 、 为各边中点， 为 边上2cmHAD任意一点，问阴影部分面积是多少？HGFEDCBA【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接 、 ，如下图：BH HGFED
7、CBA可得： 、 、 ，而12EHBAHS12BHBS12DGDHCS36ABCDAHBCDS即 ；()3618EBHFGAHBCHD而 ，DEFSSS阴 影111()()364.52228EBFSA所以阴影部分的面积是： 184.513.EBFS阴 影解法二：特殊点法找 的特殊点，把 点与 点重合，HHD那么图形就可变成右图：GAB CDEF(H)这样阴影部分的面积就是 的面积，根据鸟头定理，则有：D111363636361.5222ABCDAEBFCSSS阴 影【巩固】在边长为 6 厘米的正方形 内任取一点 ，将正方形的一组对ABDP边二等分，另一组对边三等分，分别与 点连接,求阴影部分面
8、积PDCBAAB CD(P)PDCBA【解析】 （法 1）特殊点法由于 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，P假设 点与 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴PA影三角形的面积分别占正方形面积的 和 ，所以阴影部分的面积为146平方厘米216()54（法 2）连接 、 PAC由于 与 的面积之和等于正方形 面积的一半，所以上、DBABCD下两个阴影三角形的面积之和等于正方形 面积的 ，同理可知14左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形 面积的 ，所以6阴影部分的面积为 平方厘米216()54【例 3】 如图所示，长方形 内的阴影部分的面积之和为 70， ，ABCD8AB，四边形
9、 的面积为 15ADEFGOOGFEDCBA【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形 、 和四边形AEDOG的面积之和，以及三角形 和 的面积之和，进而求出四EFGO边形 的面积由于长方形 的面积为 ，所以三角形 的面积为ABCD15820BC，所以三角形 和 的面积之和为 ；12034AOEDG31207204又三角形 、 和四边形 的面积之和为 ，所OEGF以四边形 的面积为 F3021另解：从整体上来看，四边形 的面积 三角形 面积 三角形EAFC面积 白色部分的面积，而三角形 面积 三角形 面积为长BDACBD方形面积的一半，即 60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面
10、积，即 ，所以四边形的面积为 120756051【巩固】如图，长方形 的面积是 36， 是 的三等分点， ，ABCDEAD2AED则阴影部分的面积为 OAB CDENMOAB CDE【解析】 如图，连接 E根据蝶形定理， ，所以1:1:2OECDCAEDNSS；12OENOEDS，所以 1:1:42BABDEAMSS5OEMOEAS又 ， ，所以阴影部分面积为：1334OEDCS矩 形 26OOED62.75【例 4】 已知 为等边三角形，面积为 400， 、 、 分别为三边的中点，AB EF已知甲、乙、丙面积和为 143，求阴影五边形的面积(丙是三角形)HC丙丙丙HNMJI FEDCBA【解
11、析】 因为 、 、 分别为三边的中点，所以 、 、 是三角形DEFDEF的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABC和三角形 的面积都等于三角形 的一半，即为 200NACAB根据图形的容斥关系，有 ，ABCNAMCAHNSSS丙即 ，所以 40 20MHNS丙 AH丙又 ，所以ADFA乙甲阴 影143043ADFSS乙甲 丙阴 影【例 5】 如图，已知 ， ， ， ，线段 将图形分成两部5C7E56FGAB分，左边部分面积是 38，右边部分面积是 65，那么三角形 的面DG积是 GFEDCBAABC D E F G【解析】 连接 ， AF根据题意可知， ； ；5712F715
12、628所以， ， ， ，12BECBFSSECBFCSAEGADGS，728AEDADGS于是： ； ；156287ADGCBFSS71238287ADGCBFSS可得 故三角形 的面积是 4040【例 6】 如图在 中， 分别是 上的点，且 ，B ,E, :2:5A， 平方厘米，求 的面积:4:7AEC16ADS ABC EDCBAEDCBA【解析】 连接 ， ，E:2:5(4):ADEBSA ，所以 ，设:47()ABCS :(24):75ADEBCS 份，则 份， 平方厘米，所以 份是 平方厘米，8D 35C 16DES 1份就是 平方厘米， 的面积是 平方厘米由此我们得到一3570 7
13、0个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【巩固】如图，三角形 中， 是 的 5 倍， 是 的 3 倍，如果三ABCADACE角形 的面积等于 1，那么三角形 的面积是多少？ADEABCEDCBAAB CD E【解析】 连接 3ECA BES又 5D ， 15AABCS15ABCADES【巩固】如图，三角形 ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分， ， ，乙部分面积是甲部分面积的几倍？4B3E6丙丙ED CBAAB CDE丙 丙【解析】 连接 A ，36 ，E3ABDESA又 ，4C ， ， 2ABSA6CBDSAA5S乙 甲【例 7】 如图在
14、 中， 在 的延长线上， 在 上，且 ， EAC:5:2BAD， 平方厘米，求 的面积:3:2EC12ADES BEDCBAEDCBA【解析】 连接 ， E:2:5(3):ADESA ，:3()(ABCS 所以 ，设 份，则 份，2:6:B 6ADES 25ABCS平方厘米，所以 份是 平方厘米， 份就是 平方厘米，12DE 1250的面积是 平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定 50理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 8】 如图，平行四边形 ， ， ， ， ，ABCDEAB2CF3GDC4HAD平行四边形 的面积是 ， 求平行四边形 与四边形 的2A
15、BEFG面积比HG A BCD EF HG A BCD EF【解析】 连接 、 根据共角定理B在 和 中， 与 互补，A E ABFE 13CFBES又 ，所以 A FBES同理可得 ， ， 8GC 5DHG 8AEHS所以 15+326EFHABFCDS 所以 2136ABDG【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？ODCBA13 13121213 131212【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形 绕顶点 逆时针旋转，使长为 的两条边重合，此时三OAB13角形 将旋转到三角形 的位置.这样，通过旋转后
16、所得到的新OCD图形是一个边长为 的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边12形的面积.因此，原来四边形的面积为 .(也可以用勾股定理)124【例 10】 如图所示， 中， ， ， ，以 为一边向ABC903AB5CA外作正方形 ，中心为 ，求 的面积ABDEO53OAB CDEF53OAB CDE【解析】 如图，将 沿着 点顺时针旋转 ，到达 的位置O90O由于 ， ，所以 而 ，90AC90A180AOAB所以 ，那么 、 、 三点在一条直线上18FF由于 ， ，所以 是等腰直角三角形，且斜BCB边 为 ，所以它的面积为 5321864根据面积比例模型， 的面积为 OB50【例 11】 如图，以正方形的边 为斜边在正方形内作直角三角形 ，A ABE， 、 交于 已知 、 的长分别为 、 ，求90AEBCDAEB3cm5三角形 的面积OABCDOEFABCDOE【解析】 如图，连接 ，以 点为中心，将 顺时针旋转 到 的位A90B置那么 ，而 也是 ，所以四边90EAFBFEBEB形 是直角梯形，且 ，3A所以梯形 的面积为：( )1352cm又因为 是直角三角形，根据勾股定理，ABE，所以 ( )222354217ABDS2cm那么 ( )，5BDEABEADFESS
