1、教育杏坛：1三角函数的题型和方法一、思想方法1、三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如 1=cos2+sin 2=tanx cotx=tan45等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：= （+），= 2 等。（3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切） 。（5）引入辅助角。asin+bcos= 2basin(+ )，这里辅助角 所在象限由 a、b 的符号确定，角的值由 tan = ab确定。（6）万能代换
2、法。巧用万能公式可将三角函数化成 tan 2的有理式。2、证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4、解答三角高考题的策略。（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析” 。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。二、注意事项对于三角函数进行恒等变形，
3、是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面：1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。2、三角变换的一般思维与常用方法。注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如 21)()( 也要注意题目中所给的各角之间的关系。注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等。教育杏坛：2熟悉常数“1”的各种三角代换： 6sin24ta0cos2insecotansecosin2222 等。注意万能公式的利弊：它可将各三角函数
4、都化为 ta的代数式，把三角式转化为代数式但往往代数运算比较繁。熟悉公式的各种变形及公式的范围，如sin = tan cos ， 2cos1， 2tanicos1等。利用倍角公式或半角公式，可对三角式中某些项进行升降幂处理，如 2sinco1，2cosinsi1，2cosinsi1等从右到左为升幂，这种变形有利用根式的化简或通分、约分；从左到右是降幂，有利于加、减运算或积和（差）互化。3、几个重要的三角变换：sin cos 可凑倍角公式； 1cos 可用升次公式；1sin 可化为 2cos1，再用升次公式；insinbaba（其中 abtn）这一公式应用广泛，熟练掌握。4、单位圆中的三角函数线
5、是三角函数值的几何表示，四种三角函数 y = sin x、y = cos x、y = tan x 、y = cot x 的图像都是 “平移”单位圆中的三角函数线得到的，因此应熟练掌握三角函数线并能应用它解决一些相关问题5、三角函数的图像的掌握体现在：把握图像的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等） ；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图。6、三角函数的奇偶性结论： 函数 y = sin (x )是奇函数 kZ。 函数 y = sin (x )是偶函数 2。 函数 y =cos (x)是奇函数 k。 函数 y = cos (x)是偶函数 Z。7、三角函数的单
6、调性三、典型例题与方法题型一 三角函数的概念及同角关系式此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取。教育杏坛：31、三角函数的六边形法则。2、几个常用关系式：（1） ，三式知一求二。sin cos， sin cos， sincos（2）2sin1si。（3）当 0,2x时，有 intax。3、诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 。4、 。（ ） =（ 1） sin； cos（ ） =（ 1） cos， （ ）5、熟记关系式 sincoscos44xx； cossin4xx。【例 1】记 cos(80)k,那么 tan10（ ）A、
7、2B、2kC、 21k D、 21k解： 22sin801cos801cos(80),tatain.k。故选 B评注：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互化这一转化思想的应用。同时熟练掌握三角函数在各象限的符号。【例 2】 cos30（ ）A、 B、- 12 C、 D、 32解： 1cos30s60cos6评注：本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识。练习：1、sin585的值为（ ）A、 B、 C、 D、2232322、下列关系式中正确的是（ ）A、 B、 000sin1cosin168000sin168icos1C、 D、i in教育杏坛：43、若 ，则
8、 4sin,ta05cos4、 “ ”是“ ”的（ ）2()6kZ12A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件5、 cosin5,tan( )若 则A、 B、2 C、 D、1122题型二 化简求值这类题主要考查三角函数的变换。解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值。【例 3】已知 为第三象限的角， 3cos25,则 tan(2)4 。解： 为第三象限的角 k0,函数 y=sin(x+ 3)+2 的图像向右平移 34个单位后与原图像重合，则 的最小值是（ ）A、 23 B、 4 C、 2 D、3 解
9、： 将 y=sin( x+ )+2 的图像向右平移 4个单位后为 4sin()23yx4sin()2x3=2k , 即 3k又 0， k1教育杏坛：6故 32k ， 所以选 C评注：本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对三角函数图像知识灵活掌握的程度。【例 7】函数 的最小正周期为（ ）()13tan)cosfxxA、 B、 C、 D、 222【答案】A【解析】由 可得最小正周期为 ,()13tan)cos3sin2i()6fxxxx【例 8】函数 的最小值是_ 。2iy【答案】 1【解析】 ，所以最小值为：()cos2in12sin()14fxxx12【例 9】若
10、函数 ， ，则 的最大值为（ ）()3ta)cof 02()fxA、1 B、 C、 D、2313【答案】B【解析】因为 = =()3tan)cosfxxsinx2cos()x当 是，函数取得最大值为 2。 故选 B。练习：1、将函数 的图像向左平移 0 2 的单位后，得到函数 的图像，则sinyx()sin()6yx等于（ ）A、 B、 C、 D、 、65676162、若将函数 的图像向右平移 个单位长度后，与函数 的图像)0(4tanxy )6tan(xy重合，则 的最小值为（ ）A、 B、 C、 D、61131213、将函数 的图像向左平移 个单位，再向上平移 1 个单位,所得图像的函数解
11、析式是( )sin2yx4A、 B、 C、 D、co2cosyx)4sinxy 2sinyx4、已知函数 的最小正周期为 ， 的图像向左平移 个单)0,)(si()wRxf (fy|位长度，所得图像关于 y 轴对称，则 的一个值是（ ）教育杏坛：7A、 B、 C、 D、283485、已知函数 的最小正周期为 ，为了得到函数 的图像，()sin)(,0)4fxxR()cosgx只要将 的图像（ ）yA、向左平移 个单位长度 B、向右平移 个单位长度88C、向左平移 个单位长度 D、向右平移 个单位长度4 46、已知 是实数，则函数 的图像不可能是 ( )a()1sinfxax7、已知函数 =Ac
12、os( )的图象如图所示， ，则 =（ ）()fx2()3f(0)fA、 B、 C、 D、23231218、函数 （ 为常数， ）sin()yAx,A0,在闭区间 上的图像如图所示，则 = . ,09、已知函数 y=sin（ x+ ） （ 0, - ）的图像如图所示，则 =_教育杏坛：810、已知函数 的图像如图所示，则 。()2sin()fx712f11、已知函数 的图像如图所示，则 ()sin)(0fx12、已知函数 ， 的图像与直线 的两个相邻交()3sincos(0)fxx()yfx2y点的距离等于 ，则 的单调递增区间是（ ）A、 B、 5,12kkZ51,2kkZC、 D、 366
13、313、如果函数 的图像关于点 中心对称，那么 的最小值为（ ）sin()yx4(,0)3|A、 B、 C、 D、64214、已知函数 ，下面结论错误的是（ ）)(2si)(RxxfA、函数 的最小正周期为B、函数 在区间 上是增函数)(xf0,C、函数 的图像关于直线 0 对称xD、函数 是奇函数)(xf15、若 ，则函数 的最大值为 。423tan2yx16、已知函数 ()siifx（1 ）求函数 的最小正周期。（2 ）求函数 ()fx的最大值及 ()fx取最大值时 x 的集合。教育杏坛：917、已知函数 211()sincossin()0)22fxx，其图像过点 1(,)62。（）求 的
14、值；（）将函数 ()yfx的图像上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数 ()ygx的图像，求函数 ()g在 0,4上的最大值和最小值。18、设函数 。2cos()sin3fxx（1）求函数 的最大值和最小正周期。)（2） 。1, cos,(),sin324cABCBfCA设 为 的 三 个 内 角 ， 若 且 为 锐 角 求19、设函数 。2()sin)468xxf（1）求 的最小正周期。x（2）若函数 与 的图像关于直线 对称，求当 时 的最大值。()yg()fx1x40,3x()ygx20、设函数 的最小正周期为 。22sincoscs(0)fx2（1）求 的最小正周期。（2）
15、若函数 的图像是由 的图像向右平移 个单位长度得到，求 的单调增区()yg()yfx2()ygx间。21、已知函数 baxaxaxf cosin32cos的定义域为 20， ，值域为 5，1 ，求常数 a、b 的值。22、已知函数 y= 21cos2x+ sinxcosx+1（xR ） 。（1）当函数 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合；（2）该函数的图像可由 y=sinx(xR)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？题型四 三角函数与解三角形此类题主要考查在三角形中三角函数的利用. 解三角形的关键是在转化与化归的数学思想的指导下，正确、灵活地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式及三角形内角
16、和等公式定理。【例 10】在ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c，若 23abc， sin23siCB，则 A=（ ）A、 03 B、 06 C、 01 D、 015教育杏坛：10解：由正弦定理得 23cbcR所以 cosA=22+-abc= 332bc，所以 A=300评注：解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。通过恰当地使用正弦、余弦定理将有关的边角确定，从而解决问题。【例 11】在锐角三角形 ABC， A、B、C 的对边分别为 a、 b、 c， 6cosaC，则tantCAB=_。解： 26coscsbabb2223,a 2tntsinc
17、osincosins()1sina icoCBACABCA AB = 4212cab评注：三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现。这类题型难度比较低，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化。练习：1、在锐角 ABC中， 1,2,A则 cosC的值等于 ， AC的取值范围为 。2、在 中， 。ini,3,5（）求 AB 的值。 （）求 的值。)4sn(3、在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 ， 。ABC, ,abc25osA3BAC（I）求 的面积； （ II）若 ，求 的值64、在 中，角 的对边分别为 ， 。, ,3cB4s,5b（）求 的值；（）求 的面积sinAC5、在 中， 为锐角，角 所对的边分别为 ，且ABC、 、 、 ac、 、 510sin,siAB
