1、二、二阶导数的应用4.5 函数极值的判定定理 4.6如果函数 f(x)在 x0附近有连续的二阶导数f“(x)， 且 f(x0) 0， f“(x)0 ， 那么 若 f“(x0) 0， 则函数 f(x)在点 x0处取得极大值 若 f“(x0) 0， 则函数 f(x)在点 x0处取得极小值例 4.11 求下列函数的极值 f(x) 2x3 3x2 f(x) sinx cosx， x0,2解： f(x) 6x2 6x， f“(x) 12x 6令 6x2 6x 0， 得驻点为 x1 1， x2 0f“(1) 6 0， f“(0) 6 0把 x1 1， x2 0代入原函数计算得 f(1) 1、f(0) 0
2、当 x 1时， y极小 1， x 0时， y极大 0例 4.11 求下列函数的极值 f(x) sinx cosx， x0,2解 : f(x) cosx sinx， 令 cosx sinx 0，得驻点为 x1 ， x2 ， 又 f“(x) sinx cosx，把 x1 ， x2 代入原函数计算得f( ) 、 f( ) 。 所以当 x 时，y极大 ， x 时， y极小 注意 如果 f(x0) 0， f“(x0) 0或不存在，本定理无效，则需要考察点 x0两边 f(x)的符号来判定是否为函数的极值点。4.6 函数的凹凸性和拐点1. 曲线的凹凸性设函数 y f(x)在区间 (a,b)内可导，如果对应的
3、曲线段位于其每一点的切线的上方，则称曲线在(a,b)内是凹的，如果对应的曲线段位于其每一点的切线的下方，则称曲线在 (a,b)内是凸的。从图象上来看，曲线段向上弯曲是凹的，曲线段向下弯曲是凸的。定理 4.7设函数 y f(x)在 (a,b)内具有二阶导数，如果在(a,b)内 f“(x) 0， 那么对应的曲线在 (a,b)内是凹的，如果在 (a,b)内 f“(x) 0， 那么对应的曲线在(a,b)内是凸的。例 4.13 判定曲线 y 的凹凸性解： y f(x) ， f“(x) ，无拐点但有间断点 x 0当 x 0时， f”(x) 0， 曲线在 ( ,0) 内为凸的，当 x 0时， f“(x) 0
4、， 曲线在 (0, ) 内是凹的。例 4.14 判定曲线 y cosx在 (0,2) 的凹凸性解： y sinx， y“ cosx，令 y“ 0， 得 x1 ， x2 当 x(0, )时， f”(x) 0， 曲线在 (0, )内为凸的，当 x( )时， f”(x) 0， 曲线在 ( )内是凹的，当 x( ,2) 时， f”(x) 0， 曲线在 ( ,2) 内为凸的。2. 曲线的拐点曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。因此拐点一定是使 f“(x) 0的点，但是使 f“(x) 0的点不一定都是拐点。求拐点的一般步骤 求二阶导数 f“(x)； 求出 f“(x) 0的全部实根； 对于每一个实根 x0，
5、检查 f”(x) 在 x0左右两侧的符号，如果 x0两侧 f“(x)的符号不同，则点 (x0,f(x0)是曲线的拐点；如果 x0两侧 f”(x) 的符号相同，则点(x0,f(x0)不是曲线的拐点 。例 4.15 求曲线 y x3 4x 4的凹凸区间和拐点解： y x2 4， y“ 2x,令 2x 0， 得 x 0当 x 0时， y” 0， 曲线在 ( ,0) 内为凸的，当 x 0时， y“ 0， 曲线在 (0, ) 内是凹的。在 x 0的左右两侧， y” 由正变负，所以 (0,4)为曲线上的拐点。例 4.16 讨论曲线 y x4 1的凹凸性和拐点解： f“(x) 12x2 当 x0 时， f“
6、(x) 0， 而 f“(0) 0因此曲线 y x4 1在 ( , ) 内都是凹的，点 (0, 1)不是拐点。4.7 函数图象的描绘利用函数的一、二阶导数的性质，我们可以较准确地用描点法描绘函数的图象。一般步骤为： 确定函数的定义域、奇偶性、周期性，求出函数图象和两坐标轴的交点； 计算 f(x) ， 令 f(x) 0求出 f(x)的驻点、极值点和增减区间； 计算 f“(x) ， 令 f”(x) 0求出 f(x)的拐点和凹凸区间； 计算驻点、拐点处的函数值； 列表，描绘函数的图象。三、高阶导数的应用4.8 用多项式近似表达函数 泰勒公式如果我们能用一个简单的函数来近似地表示一个比较复杂的函数，这样将会带来很大的方便。一般地说，多项式函数是最简单的函数。那么我们怎样把一个函数近似地化为多项式函数呢 ?
