1、勾股定理（畢氏定理，商高定理）定義在 直角三角形 中，兩直角邊的平方 和等於斜邊的平方。勾股定理是初等幾何中的一個基本定理。這個 定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國（希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等）對此定理都有所 研究。希臘著名數學家畢達哥拉斯（前 580至 568- 前 501至 500）曾對本定理有所研究，故西方國家均 稱此定理為畢達哥拉斯定理，據說畢達哥拉斯十分喜愛這個定理， 當他在公元前 550前年左右發現這 個定理時，宰殺了百頭牛羊以謝神的默示。但畢達哥拉斯對勾股定理的證明方法已經失傳。畢氏定理的外國史著名的希 臘數學家歐幾里得（前 330-前 275）在巨著幾何原本（第 卷，
2、命題 47）中給出一個很好的證明 （如圖 1）： 分別以直角三角形的直角邊 AB， AC及斜邊 BC向外作正方形，ABFH， AGKC及 BCED， 連 FC， BK， 作 AL DE。 則歐幾里得通過 BCF及 BCK為媒介。證明了正方形 ABFH與矩形 BDLM及正方形 ACKG與 矩形 MLEC等積，於是推得 AB2+AC2=BC2 。有興趣的讀者可參以下之網址 分別以直角三角形的直角邊 AB，AC及斜邊 BC向外作正方形， ABFH， AGKC及 BCED， 連 FC， BK，作 AL DE。 則歐幾里得通過 BCF及 BCK為媒介。證明了正方形ABFH與矩形 BDLM及正方形 ACK
3、G與 矩形 MLEC等積，於是推得AB2+AC2=BC2。在我國，這個定理的敘述最早見於周髀算經 （大約成書於公元前一世紀前的西漢時期）， 書中有一段 商高（約前 1120）答周公問中有 勾廣三 ，股修四，經隅五 的話， 意即直角三角形的兩條直角邊是 3及 4、則斜邊是 5。 書中還記載了陳子（ 前 716）答榮方問若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，並而開方除之、得邪至 日，古漢語中邪作斜解，因此這一句話明確陳述了勾股定理的內容。商高定理的我國史至 三國的趙爽（約 3世紀）， 在他的數學文獻 勾股圓方圖 中（作為周髀算經的注文，而被保留於該書之中）。運用弦圖， 巧妙的證明了勾股定
4、理， 如圖 2。他把三角形塗成紅色，其面積叫朱實，中間正方形塗成黃色叫 做中黃實，也叫差實。他寫道按弦圖，又可勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股 之差相乘為中黃實，加差實，亦稱弦實。若用現在的符號，分別用 a、 b、 c記勾、股、弦之長，趙 爽所述即 2ab+(a-b)2=c2， 化簡之得 a2+b2=c2。 他把三角形塗成紅色，其面積叫朱實，中間正方形塗成黃色叫做中黃實，也叫差實。他寫道按弦圖，又可勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股 之差相乘為中黃實，加差實，亦稱弦實。若用現在的符號，分別用 a、 b、 c記勾、股、弦之長，趙爽所述即 2ab+(a-b)2=c2， 化簡之得 a2+b
5、2=c2。 12世紀印度的婆什迦羅 (1114 -1185） 的書中 也有一個類似的圖， 和弦圖不同的是沒有外邊的正方形 ，也沒有其它說明，只在旁邊寫著請看！ 二字。 畢達哥拉斯 在 公元前 550年 左右 發現這個定理，故西方國家均 稱此定理為 畢達哥拉斯定理 。在中國 ，這個定理的敘述最早見於 周髀算經 （ 大約成書於公元前一世紀前的西漢時期 ），書中有一段 商高 （ 約公元前 1120年 ）答周公問中有勾廣三 ，股修四，經隅五的話，意即直角三角形的兩條直角邊是 3及 4、則斜邊是 5。即是勾股定理 。中外有關畢氏定理的不同從以上一些西方國家和中國對於畢氏定理 (勾股定理 )發現時間中的分別中，可以清晰知道這個定理的敘述最早是發現在 中國 的。從以上的資料知道西方國家和中國對於畢氏定理 (勾股定理 )的 證明方法 也有不同之處 (見下頁 )。分別以直角三角形的直角邊 AB， AC及斜邊 BC向外作正方形， ABFH， AGKC及 BCED， 連 FC， BK，作 AL DE。 則歐幾里得通過 BCF及 BCK為媒介。證明了正方形 ABFH與矩形 BDLM及正方形 ACKG與 矩形 MLEC等積，於是推得AB2+AC2=BC2。外國證明法
