1、第三章中值定理应用 研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式 (第三节 )推广微分中值定理 与 导数的应用 目录 上页 下页 返回 结束 一、罗尔 ( Rolle )定理第一节二、拉格朗日 ( Lagrange )中值定理 三、柯西 (Cauchy)中值定理 中值定理 第 三 章 目录 上页 下页 返回 结束 费马 (fermat)引理一、罗尔 ( Rolle )定理且 存在证 : 设则费马 证毕目录 上页 下页 返回 结束 罗尔（ Rolle ） 定理满足 :(1) 在区间 a , b 上连续(2) 在区间 (a , b) 内可导(3) f
2、( a ) = f ( b )使证 : 故在 a , b 上取得最大值M 和最小值 m .若 M = m , 则因此在 ( a , b ) 内至少存在一点目录 上页 下页 返回 结束 若 M m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等 ,不妨设 则至少存在一点 使注意 :1) 定理条件条件不全具备 , 结论不一定成立 . 则由 费马引理得 例如 ,目录 上页 下页 返回 结束 使2) 定理条件只是充分的 . 本定理可推广为在 ( a , b ) 内可导 , 且在 ( a , b ) 内至少存在一点证明提示 : 设证 F(x) 在 a , b 上满足罗尔定理 . 目录 上页 下页 返回 结
3、束 例 1. 证明方程 有且仅有一个小于 1 的正实根 .证 : 1) 存在性 .则 在 0 , 1 连续 , 且由介值定理知存在 使即方程有小于 1 的正根2) 唯一性 .假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件 ,至少存在一点但 矛盾 , 故假设不真 !设目录 上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日中值定理(1) 在区间 a , b 上连续满足 :(2) 在区间 ( a , b ) 内可导至少存在一点 使思路 : 利用 逆向思维 找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然 , 在 a, b 上连续 , 在 (a, b)内可导 , 且证 : 问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即 定理结论成立 .拉氏 证毕目录 上页 下页 返回 结束 拉格朗日中值定理的 有限增量形式 :推论 : 若函数 在区间 I 上满足 则在 I 上必为常数 .证 : 在 I 上任取两点格朗日中值公式 , 得由 的任意性知 , 在 I 上为常数 .令 则目录 上页 下页 返回 结束 例 2. 证明等式证 : 设由推论可知 (常数 ) 令 x = 0 , 得又 故所证等式在定义域 上成立 .自证 :经验 : 欲证 时 只需证在 I 上
