1、 电动力学 第 13讲第二章 静电场（ 5）2.5 格林函数法教师姓名： 宗福建单位： 山东大学物理学院2016年 10月 25日山东大学物理学院宗福建2上一讲复习 拉普拉斯（ Laplace）方程的通解可以用分离变量法求出。先根据界面形状选择适当的坐标系，然后在该坐标系中由分离变量法解拉普拉斯方程。最常用的坐标系有球坐标系和柱坐标系。这里我们写出用球坐标系得出的通解形式（见附录 ）。球坐标用（ R， ， ）表示， R为半径， 为极角， 为方位角。山东大学物理学院宗福建3上一讲复习 拉氏方程在球坐标系中的通解为 式中 anm,bnm,cnm和 dnm为 任意常数，在具体 问题 中有 边 界条件
2、定出。 Pmn(cos )为缔 和勒 让 德 (Legendre)函数。山东大学物理学院宗福建4上一讲复习 若 该问题 中具有 对 称 轴 ，取此 轴为 极 轴 ， 则电势 不依赖 于方位角 ， 这 情形下通解 为 Pn（ cos ）为勒让德函数， an和 bn由 边 界条件确定。 山东大学物理学院宗福建5上一讲复习 Pn（ cos ）为勒让德函数山东大学物理学院宗福建6上一讲习题解答：补充题：用分离变量法求解接地金属球外一个点电荷的势，和电像法相比较，并证明其两个解是完全相同的。山东大学物理学院 宗福建 7上一讲习题解答： 由 Q和 镜 像 电 荷 Q 激 发 的 总电场 能 够满 足在 导
3、 体面上 = 0 的 边 界条件。因此是空 间 中 电场 的正确解答。球外任一点 P的 电势为 ， 式中 r为 由 Q到 P点的距离， r 为 由 Q到 P点的距离， R为 由球心 O到 P点的距离， 为OP与 OQ的 夹 角。 r rP山东大学物理学院 宗福建 8上一讲习题解答： 如 图 所示的球坐 标 系 ，取球心为坐标原点，球心到点电荷所在位置的连线为极轴，点电荷到球心的距离为 a，空间任意一点 P到点电荷的距离为 r，到球心的距离为 R，极角为 。rP山东大学物理学院 宗福建 9上一讲习题解答： 由于 电势 具有 轴对 称性，考 虑 到无 穷远处 的 电势为 0，泊松方程的解 为 ：rP山东大学物理学院 宗福建 10上一讲习题解答： 在金属球壳表面：rP
