1、3-7 复合关系和逆关系一、复合关系引例： a， b， c三人， a， b是兄妹关系， b， c是母子关系则 a， c是舅甥关系。设 R表示兄妹关系， S表示母子关系，则 R与 S的合成关系就是舅甥关系，而 S与 R合成是母女关系；如果 R是父子关系，R与 R合成是祖孙关系了。11. 概念定义： 设 R为 X到 Y的关系， S为从 Y到 Z的关系，则RoS称为 R和 S的 复合（或合成）关系， 表示为：RoS=xX,zZ,yY,使 R,S说明：R与 S能进行复合的必要条件是：R的值域所属集合 Y与 S定义域所属集合是同一个集合，否则就不能复合 。2例： A=1,2,3,4,5， B=3,4,5
2、,C=1,2,3， R是 A到 B的关系， S是 B到 C的关系：R=|x+y=6=,S=|y-z=2 =,求 A到 C的复合关系 RoS。解：从有序对中搜索： R, S, RoS R,S, RoS R,S, RoS从而 RoS=,另 可以用推导 : x+y=6,y-z=2,消去 y得 x+z=4 RoS=|x+z=4=,3例：集合 A=a,b,c,d,e， R=,，S=,， 求 RoS,SoR,RoR,SoS解： RoS=,， SoR= ,，RoR=,、 SoS=说明：关系的复合不满足交换律。 R是 A到 B的关系， S是 B到 C的关系， RoS是可以的， 而 SoR根本不能复合； 若 A
3、=C， 则 RoS是 A上的关系， SoR是 B上的关系，根本不可能相等； 若 A=B=C， 则 R、 S均为 A上的关系， RoS和 SoR也是 A上的关系，但一般地 RoSSoR， 从 例子中可以看出。4例：集合 A=0,1,2,3,4， R和 S是 A上的关系，R=|x+y=4=, S=y-x=1=,求 RoS、 SoR、 RoR、 SoS、 (RoS)oR、 Ro(SoR)解： RoS=,=x+y=5SoR=,=x+y=3RoR=,=x-y=0SoS=,=y-x=2(RoS)oR=,=x-y=1Ro(SoR)=,=x-y=152.复合关系的性质1) 若 Ran(R)Dom(S)= ，
4、则 RoS=。2) Dom(RoS)Dom(R)， Ran(RoS)Ran(S)。3) R是 X到 Y的关系，则 IXoR= RoIY =R， oR= Ro= 。设 R1是从集合 X到 Y的关系， R2,R3是从集合 Y到 Z的关系， R4是从集合 Z到 W 的关系。4) 若 R2R3， 则： R1oR2R1oR3， R2oR4R3oR45) R1o(R2 R3)=(R1oR2) (R1oR3) R1o(R2R3)(R1oR2)(R1oR3) (R2 R3)oR4=(R2oR4) (R3oR4) (R2R3)oR4(R2oR4)(R3oR4)6) (R1oR2 ) oR4=R1o(R2oR4
5、)6证明：在此只证明 5) 和 6）5） R1o(R2 R3) y Y, R1 (R2 R3) R1 ( R2 R3)( R1 R2) ( R1 R3) R1o R2 R1o R3 (RoS) (RoT)从而 R1o(R2 R3) (R1oR2) (R1oR3) 以上各步均可逆 ,从而 (R1oR2) (R1oR3) R1o(R2 R3) 成立。7说明： R1o(R2R3)(R1oR2)(R1oR3) (R2R3)oR4(R2oR4)(R3oR4)中是子集关系，不能改成等号。例如：令 A=a,b,c,d， R=,， S=，T=都是 A上的关系。则 Ro(ST)=R = 而 (RoS)(RoT)= 二者并不相等86）证明： (R1oR2 ) oR4z Z， R1oR2 ， R4y Y, R1, R2, R4 R1， R2oR4 R1o(R2oR4 ) ， (R1oR2 ) oR4 R1o(R2oR4 )类似可以证 R1o(R2oR4 ) (R1oR2 ) oR4从而 (R1oR2 ) oR4 = R1o(R2oR4 )9定理： R是集合 A上的关系， R有传递性的充要条件是 RoRR。证明： 设 RoR， 根据合成关系定义有z A， 使得 R且 R， R传递， R， RoRR 设 R， R， 根据合成关系定义有 RoR， RoRR， R， R传递10
