1、Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 9 Determinate solution problem of equations YLMaPhys.FDU1下篇 数学物理方程物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法与特殊函数Chapter 9 数学物理方程的定解问题Abstracts: 1. 根据物理问题导出多变量数理方程偏微分方程；2. 给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件(自然条件，连接条件)和周期条件等，从而与数理方程一起构成定解问题；3. 数理方程的线性性导致解的叠加原理;4. 非齐次方程的齐次化方案。一、 数理方
2、程的来源（状态描述、变化规律）1. 翻译IClassical Newton Mechanics 质点力学 (Newton)，连续体力学(,)mrFt22()() (,)(,)0(31D,(,)0;v(,)(,),(,)Euler q.)urtattrtvrprtftt弹 性 定 律基 本 方 程 弦弹 性 体 力 学 杆 振 动 ： 波 动 方 程 ;膜流 体 力 学 ： 质 量 （ 流 ） 守 恒 律 ：热 力 学 物 态 方 程 ：II.Electrodynamic Mechanics (Maxwell equations); ;0;().,()DDElBsEBBHjHjDEuAu dd满
3、 足 波 动 方 程 。Lorenz力 公 式 力 学 方 程 ； Maxwel qs.+电 导 定 律 电 报 方 程 。III. Statistic Mechanics (Boltzmann-Gibbs statistics):特别: 稳态（ ）: (Laplace equation).20;.TktD热 传 导 方 程 ：扩 散 方 程 ： 0t2IV. Quantum Mechanics: Schr dingers equation (Schr dinger, Heisenberg, Dirac, Fermi, Einstein)Methods of Mathematical Phys
4、ics (2016.11) Chapter 9 Determinate solution problem of equations YLMaPhys.FDU22.uiVutm2. 分类物理过程 方 程 数学分类振动与波波动方程2210uat双曲线输运方程 2kt能 量 ： 热 传 导质 量 ： 扩 散 抛物线稳态方程 Laplace equation 20u椭圆型二、 数理方程的导出推导泛定方程的原则性步骤：(1) 定变量：找出能够表征物理过程的物理量作为未知数（特征量,科学思维上设为已知） ，并确定影响未知函数的自变量。（2）立假设：抓(取) 主要因素，舍（弃）次要因素，将问题“理想化”-“
5、无理取闹” （物理乐趣；大胆假设，小心求证） 。（3）取局部：从研究物体内部中找出微小的局部（微元） ，相对于此局部的一切高阶无穷小量均可忽略-线性化。（4）找作用：根据已知物理规律或定律，找出局部和邻近部分的作用关系。（5）列方程：根据物理规律在局部上的表现，联系局部作用列出微分方程。1弦的横振动方程（1+1D）一根张紧(interaction between particles)的柔软弦的微小横振动问题(1)定变量：取弦的平衡位置为 轴。表征横振x动的物理量为各点的横向位移 ，),(tu故速度为 和加速度为 .tut(2)立假设：1 ）弦的横振动是微小的，Methods of Mathem
6、atical Physics (2016.11) Chapter 9 Determinate solution problem of equations YLMaPhys.FDU3，1因此， ， ，又 ，sinta1costanux.1xu2) 弦是柔软的，即在它的横截面内不产生应力，则在拉紧的情况下弦上相互间的拉力即张力 始终是沿弦的切向(等),txT价于弦上相互间有小的弹簧相连最简单的相互作用！)。3) 所有外力都垂直于 轴，外力线密度为 .x),(tF4) 设（细长）弦的线密度为 ，重力不计。),(t(3)取局部：在点 处取弦段 , 是如此之小,以至可以把它看成质点(微xdx元)。 质量
7、： . t)弧长： （即这一小段的长度在xuxs d1d22振动过程中可以认为是不变的，因此它的密度 不随时间变化，t,另外根据 Hooke 定律 可知，张力 也不随时间变化，Fkx)(xT我们把它们分别记为 和 .)(T(4)找作用：找出弦段 所受的力。外力： ，垂直于 轴方向；dxxtFd),(x张力变化： , 方向紧绷，dcos|cos| ()xxT,d dsin|sin|dxxxxxTTuu垂直于 轴方向。(5)列方程：根据牛顿第二定律，因 方向无位移，故 .0)(d(xTx TxxT)(d(utFxutFu xt ),(d,) Methods of Mathematical Phys
8、ics (2016.11) Chapter 9 Determinate solution problem of equations YLMaPhys.FDU4即 ，其中 是单位质量所受外力。),(txfuTxt),(),(txFtf如果弦是均匀的，即 为常数，则可写 为弦振动的传播速度，则Ta.),(2txfuxt对于自由运动，即无源 ，这个方程简化为齐次方程： .0f20txua在有界实空间的适当边界条件下，通过分离变量和求解本本征值问题，得到与 啊相关的本征值，再与实验频率相比较，即可求得材料的a .怎么运动：源（非齐次）驱动或边界驱动和初始驱动。2杆的纵振动方程（1+1D）一根弹性(li
9、near interaction between particles)均匀细杆的微小纵振动问题(1)定变量：取细长杆的放置为 轴。表x征纵振动的物理量为各点 离开平衡位置的纵向位移 .),(tu(2)立假设：1) 振动方向与杆的方向一致。2) 均匀细杆，同一横界面上各点的质量密度 ，横截面面积 与杨氏模量 （应力与SY应变之比值）都是常量（常数） 。3) 杆有弹性，服从 Hooke 定律：应力 与相对伸长成正比，即P, 其中 :单位横截面上的内力（相互xtuYtxP)(),( (,)xt作用） ，方向沿 轴正方向，但是力 是沿该截面(,)FrtS法向（外向）的。 施给 截面的力（拉力）的方向：
10、 ；xx同理 为 中 施给 截面方(,)|uPxtSYSxMethods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 9 Determinate solution problem of equations YLMaPhys.FDU5向的力（拉力） ，其方向: （这种取法类似于紧绷弦的受力x分析） 。4) 外力与杆的方向一致，各点时刻 单位横截面上的外力为t（例如每个弹簧都用绳子牵引着） ，重力不计。),(txF(3)取局部：在点 处取杆微段 , 是如此之小，以至可以把它看成质dx点。质量： .xSt),(绝对伸长： ,xxu相对伸长： （应力） 。(4)
11、找作用：找出杆的这个微段所受的力。外力： ；xStFd),(应力变化： .YuSYuxxxxd (5)列方程：根据牛顿第二定律 tFxuSxt),(d即， ，其中 .,tfYxt),(),(txFtf令 为杆振动的传播速度，则 .a ),(2tfuaxt自由振动：齐次方程; 受迫振动：非齐次方程。注意：杆中应力与相对位移成正比，因而做纵振动；虽然弦中位移在 轴方向为零，但是粒子之间的相ux互作用力即张力 使得弦紧绷着，因而做T横振动。3薄膜的横振动方程 (不要求)（张紧的柔软膜的微小振动问题）定变量：各点的横向位移 ，从而速度为),(tyxu，加速度为 .tutMethods of Mathe
12、matical Physics (2016.11) Chapter 9 Determinate solution problem of equations YLMaPhys.FDU6立假设：1) 膜是柔软的，即在它的横界面内不产生应力，膜上任一点的表面张力 必在过这一点的切平面内。),(tyxT2) 膜振动是微小的，张力的仰角 ，因此，1.sintau un3) 所有外力都垂直于 面，外力面密度为 .0xy),(tyxF4) 膜是均匀的，即，密度 为常数。取局部：在点 处取一小块模 ，质量： .yx,SdStd),(找作用：找出膜所受的力。外力： ，垂直于 面；(,)Fxyt0xy张力变化：
13、,llunTSu yxuyxuxy llnlnux Sxlll d dd),sin(),sin(),cos(),cos(d 列方程：根据牛顿第二定律，即SuTtFyxt d),(，其中 .),(tfuTuyxt (,)(,)Fxytft令 ，则 .a2(,)taufxyt应力张量 ，其中 是作用于垂直于 轴的平面上的力，123Tklk其方向沿 轴，如 是 面上沿 轴的力lxyzx(,12,3).l刚体 ,转动惯量张量 ,0JI123IMethods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 9 Determinate solution problem
14、of equations YLMaPhys.FDU72213d()(1),klkl klImxx为对 的转动惯量, 为惯量积。213d()Imx 2221ddIImxReview: 在上述振动问题中存在弹性力，一来有恢复力 二来有加速,uk度所以是简谐振动的谐波。下面的输运现象是非可逆的，有,tu .t4热传导方程(3+1D 热传导现象,热传导定律和能量守恒)(1)定变量：点 在 时刻的温度为 （热量无法直接测量） 。(zyxt ),(tzyxu(2)立假设：1) 已知两个物理量:物质密度 单位体积的质量; 比),(z热 在单位质量中增加单位温度所产生的热量。),(zyxc2) 给定物质内部的
15、热源强度 在单位时间单位体积),(tzyxQ内产生的热量。例如热核反应或者内部加热。3) 物质内部热交换过程遵从 Fourier 定律（热传导定律）：流过物质内部任意曲面的热流强度（在单位时间内垂直通过单位面积的热量） 与温度梯度成正比，即 ，其中，q ukq称为导热系数。 为辅助量。0k(3)取区域：体积元 ，它的边界面为 .VS(4)找作用：在单位时间内，通过整个 面流入的热量为（*）S;qqVdd中物质产生的热量为 ;VVQ温度升高所需热量为 .tucVd(5)列方程：由物质内部热交换过程的能量守恒定律，有Methods of Mathematical Physics (2016.11)
16、 Chapter 9 Determinate solution problem of equations YLMaPhys.FDU8d()ddVVVucqQtAA热 增 （ 吸 热 ） （ 热 源 ） .（*）：例如上图中 方向、通过 截面在 时间内体积元 吸热：xyztV| (,)().x uqyztqtqxktx同理可得另外两个方向的结果。上式首个等式的三维形式正好是高斯公式（将面积分化为体积分） ，末个等式用到了热传导定律。由于 是任意的，因此，V.QqtucQuktc2如果 是常数，令 ，则和 a2, 其中 .),(2tzyxfuat(,)frtc稳定态 (Piosson eq.);0
17、):t22a无外源 (Laplace eq.）.(f5扩散方程（扩散现象、扩散定律和质量守恒）特征量：particle density .(,)rt辅助量：current density (在单位时间流过单位面积的质量)。j扩散定律： 为扩散系数。(.jDv微元：进入体积元 内的质量V()()()().xyz xyzjjtDDVt扩 散定 律质量增加： .（为何没有空间导数？在微元内！）t质量守恒： ()()().t xyzVt均匀系统： .20tD有源（例如核反应或者内部粒子产生源）：: (,)mtfrtV2;tDfMethods of Mathematical Physics (2016.
18、11) Chapter 9 Determinate solution problem of equations YLMaPhys.FDU9稳定： 无源: .2;Df2061）静电场方程：又因为 ，必有 ，0,/,ExyzEzyxu,(Piosson eq.).20,/,uxyz2）真空中 Maxwell Equations：000,.EBtBjEt3）EM Wave Equations:无源： 2201,Bttct2,BEEt They are just the EM Wave Equations220.Ect7Schr dinger方程.o2().uiVrutmSchr dinger方程不是
19、输运方程。 如果方程和边界条件均可分离变量，.o则分离变量法：设 取此特解形式，可得 是振荡函数，(,)()urtRTt ()Tt而与 无关， 是幅度函数，与 无关,将此 代入方程，即得r (,urt2() ()().irttVRtm等式两端除以 就有 (),RTt2 ().()Ttri E后一个方程在适当条件下构成本征值问题，从而可解得本征值 再解另外.n一个方程得 如果 则 Schr dinger方程是波/()0.niEtnTteRe,nnE.o01,cMethods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 9 Determinate solut
20、ion problem of equations YLMaPhys.FDU10动方程。 如果 则特解是 当ReIm,nnnEiEIm/Re/()0.nnEtitnTt时，它指数衰减（衰竭） ，当 时，它指数增加（爆炸） 。Im0nI三、二阶线性偏微分方程的分类和化简 (不要求)a) 两个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式.0221211 fcubuauayxyxyxb) 自变量变换时方程的性质设 ， （这时可唯一解出 ）,),(yx0),(yx雅克比行列式： ,(,),xyyx这儿仅为 0,0,.xyxy于是 （变换后的函数仍用同一符号 ）),(),(uu,02211 AA其中， ,21yyxxaa,2212,yxyxxA21，其中，FCuBu21,yxyxyx baa2121,1 , .cCfF结论：二解线性偏微分方程经过自变量的可逆变换后，仍为二解线性偏微分方程。变换的确定：变换的目的是化简方程，便于求解。为此，令 ，01A
