1、第二章 2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。 解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况， 12( , , )pX X X X 的联合分布密度函数是一个 p 维的函数，而边际分布讨论是 12( , , )pX X X X 的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于 p。 2.2 设二维随机向量 12()XX 服从二元正态分布，写出其联合分布。 解：设 12()XX 的均值向量为 12 ，协方差矩阵为 21 12221 2，则其联合分布密度函数为 1 / 2 12 221 1 2 1 1 2222 1 2 2 1 211( ) e x p ( ) ( )22f xx
2、x 。 2.3 已知随机向量 12()XX 的联合密度函数为 1 2 1 212 222 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )d c x a b a x c x a x cf x x b a d c 其中 1a x b， 2c x d。求 （ 1）随机变量 1X 和 2X 的边缘密度函数、均值和方差； （ 2）随机变量 1X 和 2X 的协方差和相关系数； （ 3）判断 1X 和 2X 是否相互独立。 （ 1）解：随机变量 1X 和 2X 的边缘密度函数、均值和方差； 1 1 2 1 21 222 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) (
3、) ( ) ( )dxcd c x a b a x c x a x cf x d xb a d c 1 2 2 1 222 2 2 22 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d dccd c x a x b a x c x a x cdxb a d c b a d c 1 2 12 2 2 202 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d dccd c x a x b a t x a t dtb a d c b a d c 221 2 12 2 2 2 02 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1( ) ( )
4、( ) ( ) dcdcd c x a x b a t x a tb a d c b a d c b a 所以 由于 1X 服从均匀分布，则均值为2ba，方差为 212ba 。 同理，由于 2X 服从均匀分布 2121 ,()0xx c dfx dc 其 它，则均值为 2dc ，方差为 212dc 。 （ 2）解：随机变量 1X 和 2X 的协方差和相关系数； 12cov( , )xx 1 2 1 21 2 1 2222 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 ( ) ( )dbca d c x a b a x c x a x ca b d cx x d x d xb a
5、d c ( )( )36c d b a 1212cov ( , ) 13xxxx （ 3）解：判断 1X 和 2X 是否相互独立。 1X 和 2X 由于 121 2 1 2( , ) ( ) ( )xxf x x f x f x ，所以不独立。 2.4 设 12( , , )pX X X X 服从正态分布，已知 其协方差矩阵 为对角阵，证明其分量是相互独立的随机变量。 解： 因为 12( , , )pX X X X 的密度函数为 1 / 2 11 11( , ., ) e xp ( ) ( )22 ppf x x x x 又由于21222p 2 2 212 p 212122111p 则 1(
6、,., )pf x x 211 / 2 22 2 2 121221111e x p ( ) ( )221ppp x x 2221 231112 2 2 212 ()()()1 1 1 1e x p . . .2 2 22 p ppp pxxx 2121 ()1 e xp ( ) . ( )22p iipi ii x f x f x 则其分量是相互独立。 2.5 由 于 多 元 正 态 分 布 的 数 学 期 望 向 量 和 均 方 差 矩 阵 的 极 大 似 然 分 别 为 1nii n X X1 ( ) ( )n iii n X X X X3 5 6 5 0 .0 01 2 .3 31 7
7、3 2 5 .0 01 5 2 .5 0X201588000. 00 38900. 00 83722500. 00 - 736800. 0 03 8 9 0 0 . 0 0 1 3 . 0 6 7 1 6 7 1 0 . 0 0 - 3 5 . 8 083722500. 00 16710. 00 36573750. 00 - 199875. 00- 7 3 6 8 0 0 . 0 0 - 3 5 . 8 0 0 - 1 9 9 8 7 5 . 0 0 1 6 6 9 5 . 1 0 注：利用 1 1pnn 1XX, S 1()n n nn11X I X其中 1001nI 在 SPSS 中求样本
8、均值向量的操作步骤如下： 1. 选择菜单项 Analyze Descriptive Statistics Descriptives，打开 Descriptives 对话框。将待估计的 四 个变量移入右边的 Variables 列表框中，如图 2.1。 图 2.1 Descriptives 对话框 2. 单击 Options 按钮，打开 Options 子对话框。在对话框中选择 Mean 复选框，即计算样本均值向 量，如图 2.2 所示。单击 Continue 按钮返回主对话框。 图 2.2 Options 子对话框 3. 单击 OK 按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出样本均值向量，如表 2
9、.1， 即样本均值向量为 （ 35.3333， 12.3333， 17.1667， 1.5250E2）。 表 2.1 样本均值向量 在 SPSS 中计算样本协差阵的步骤如下： 1. 选择菜单项 Analyze Correlate Bivariate，打开Bivariate Correlations 对话框。将三个变量移入右边的 Variables 列表框中，如图2.3。 图 2.3 Bivariate Correlations 对话框 2. 单击 Options 按钮，打开 Options 子对话框。选择Cross-product deviations and covariances 复选框，
10、即计算样本离差阵和样本协差阵，如图 2.4。单击 Continue 按钮，返回主对话框。 图 2.4 Options 子对话框 3. 单击 OK 按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出相关分析表 ，见表 2.2。表中 Covariance 给出样本协差阵 。（另外， Pearson Correlation 为 皮尔逊相关系数矩阵， Sum of Squares and Cross-products 为 样本离差阵。 ） 2.6 渐近无偏性、有效性和一致性； 2.7 设总体服从正态分布， ( , )pNX ，有样本 12, ,., nX X X 。由于 X 是相互独立的正态分布随机向量之和，所以
11、 X 也服从正态分布。又 1 1 1() n n niii i iE E n E n n X X X 221 1 111() n n niii i iD D n Dn n n X X X 所以 ( , )pNX 。 2.8 方法 1： 11 ( ) ( )1 n iiin X X X X11 1 n iii nn X X X X11( ) ( )1 n iiiE E nn X X X X 11 1 n iii E n En X X X X 111 ( 1 )ni nnn n n 。 方法 2：1 ()niii S X - X )(X - X1 (niii X- X ) X - X )11( )
12、 ( ) 2 ( ) ( ) ( )nni i iii n X- X- X- X- X )(X X 1 ( ) ( ) 2 ( ) ( )niii nn X- X- X )(X X )(X 1 ( ) ( ) ( )niii n X- X- X )(X 11( ) ( ) ( ) ( )11 n iiiE E nnn S X- X- X )(X 11 ( ) ( ) ( )1 n iii E n En X- X- X )(X 。 故 1nS 为 的无偏估计。 2.9.设 (1) (2) ( )nX , X ,., X是从多元正态分布 ( , )pNX 抽出的一个简单随机样本，试求 S的分布。
13、证明： 设 * * * * *()* * *1 1 1ijn n n为一正交矩阵，即 I 。 令 1 2 n 1 2 n = ( ) = X X X ， ( 1 , 2 , 3 , 4 , ) ,iniX 由 于 独 立 同 正 态 分 布 且 为 正 交 矩 阵 所以 12() n 独 立 同 正 态 分 布。且有 11 nniin ，11( ) ( )nniiE E nn ， ()Var nZ 。 1( ) ( ) ( 1 , 2 , 3 , , 1 )na a j jjE E r a n 11n ajjn n r 1 0naj njin r r 1( ) ( )na aj jjV ar
14、V ar r 2211nna j j a jjjr V a r r 所以 1 2 1n 独立同 (0, )N 分布。 又因为1 ( ) ( )njj iS X X X X1njjj n X X XX因为1111nni i n niin n n nnn X X X X Z Z又因为 nnnjjjXXXXXXXX 21211 121 2 nnXXX X X X 121 2 nnZZZ Z ZZ所以原式nnnj jjnnnj jj ZZ ZZZZXX 111 1 2 2 . nn nnZ Z Z Z Z Z - 故 11njjj S，由于 1 2 1, , , nZ Z Z 独立同正态分布 (0,
15、)pN ，所以 11 ( 1, )nj j pj Wn S2.10.设 ()iiX n p 是来自 ( , )p i iN 的简单随机样本， 1,2,3, ,ik ， （ 1）已知 2 . k 1 且 2 . k 1 ，求 和 的估计。 （ 2）已知 2 . k 1 求 2, ,., k1 和 的估计。 解：（ 1）11121 . ank aiaikn n n x x， 1112 .ank aaiiaikn n n x x x x (2) 1ln ( , , , )kL 2111l n ( ) e x p 2 anknp a ai a i aai2 -1 (x - ) (x - ) 1111l
16、 n ( ) l n ( ) l n2 2 2 ank aai a i aainL p n 2 -1 , ( x - ) ( x - ) 21111l n ( , ) 1 ( ) ( ) 022 ank aai a i aaiLn X X 11l n ( , ) ( ) 0 ( 1 , 2 , ., )jnjij jijL jk X 解之，得 11 jnj j ijijn xx， 1112 .jnkjjjikn n n i j i jx x x x 第三章 3.1 试述多元统计分析中的各种均值向量和协差阵检验的基本思想和步骤。 其基本思想和步骤均可归纳为： 答： 第一，提出待检验的假设 和 H
17、1； 第二，给出检验的统计量及其服从的分布； 第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临值，从而得到否定域； 第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（ 拒绝或接受）。 均值向量的检验： 统计量 拒绝域 在单一变量中 当 2 已知 0()Xzn /2|zz 当 2 未知 0()XtnS /2| | ( 1)t t n （ 2211 ()1 n iiS X Xn 作为 2 的估计量 ） 一个正态总体 00H ： 协差阵 已知 2 1 20 0 0( ) ( ) ( )T n p X X 220T 协差阵 未知 2( 1 ) 1 ( , )( 1 )np T F p n pnp 2( 1)npTF （ 21 00( 1 ) ( ) ( ) T n n n X SX ） 两个正态总体 0 1 2H ：
