1、 1 1 概率论与数理统计习题及答案 习题 一 1 .见教材习题参考答案 . 2.设 A， B， C 为三个事件，试用 A， B， C （ 1） A 发生， B， C 都不发生； （ 2） A 与 B 发生， C （ 3） A， B， C 都发生； （ 4） A， B， C （ 5） A， B， C 都不发生； （ 6） A， B， C （ 7） A， B， C 至多有 2 个发生； （ 8） A， B， C 至少有 2 个发生 . 【解】 （ 1） A BC （ 2） ABC （ 3） ABC （ 4） A B C= AB C A BC A BC A BC AB C ABC ABC= ABC
2、 (5) ABC = A B C (6) ABC (7) A BC A B C ABC AB C A BC A BC ABC = ABC =A B C (8) AB BC CA=ABC A B C A BC ABC 3. . 4.设 A， B 为随机事件，且 P（ A） =0.7,P(AB)=0.3，求 P（ AB ） . 【解】 P（ AB ） =1P（ AB） =1P(A)P(AB) =10.70.3=0.6 5.设 A， B 是两事件，且 P（ A） =0.6,P(B)=0.7, （ 1） 在 什么条件下 P（ AB （ 2） 在什么条件下 P（ AB 【解】 （ 1） 当 AB=A 时
3、， P（ AB）取到最大值为 0.6. （ 2） 当 A B=时， P（ AB）取到最小值为 0.3. 6.设 A， B， C 为三事件，且 P（ A） =P（ B） =1/4， P（ C） =1/3 且 P（ AB） =P（ BC） =0，P（ AC） =1/12，求 A， B， C 至少有一事件发生的概率 . 【解】 P（ A B C） =P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC) 2 =14 +14 +13 112 =34 7. 52 张扑克牌中任意取出 13 张，问有 5 张黑桃， 3 张红心， 3 张方块， 2 张梅花的概率是多少？ 【解】 p= 5 3
4、 3 2 1313 13 13 13 52C C C C / C 8. （ 1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （ 2） 求五个人 的生日都不在星期日的概率； （ 3） 求五个人的生日不都在星期日的概率 . 【解】 （ 1） 设 A1=五个人的生日都在星期日 ，基本事件总数为 75，有利事件仅 1 个，故 P（ A1） =517=（ 17 ） 5 （亦可用独立性求解，下同） （ 2） 设 A2=五个人生日都不在星期日 ，有利事件数为 65，故 P（ A2） = 5567=(67 )5 (3) 设 A3=五个人的生日不都在星期日 P（ A3） =1P(A1)=1(17 )5 9. .见教材习
5、题参考答案 . 10.一批产品共 N 件，其中 M 件正品 .从中随机地取出 n 件（ n30.如图阴影部分所示 . 2230 160 4P22. 0， 1）中随机地取两个数，求： （ 1） 两个数之和小于 65 的概率； （ 2） 两个数之积小于 14 的概率 . 【解】 设两数为 x,y，则 0x,y1. （ 1） x+y65 . 1 1 4 4 172 5 51 0.6 81 25p (2) xy=14 . 112 44 111 d d l n 242xp x y 23. P（ A ） =0.3,P(B)=0.4,P(A B )=0.5，求 P（ B A B ） 【解】 ( ) ( )
6、( )()() ( ) ( ) ( )P A B P A P A BP B A B P A B P A P B P A B 6 0.7 0.5 10.7 0.6 0.5 4 24. 15 个乒乓球，其中有 9 个新球，在第一次比赛中任意取出 3 个球，比赛后放回原盒中；第二次 比赛同样任意取出 3 个球，求第二次取出的 3 个球均为新球的概率 . 【解】 设 Ai=第一次取出的 3 个球中有 i 个新球 ， i=0,1,2,3.B=第二次取出的 3 球均为新球 由全概率公式，有 30( ) ( ) ( )iiiP B P B A P A 3 3 1 2 3 2 1 3 3 36 9 9 6 8
7、 9 6 7 9 63 3 3 3 3 3 3 31 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5C C C C C C C C C CC C C C C C C C 0.089 25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有 90%的可能考试及格，不努力学习的学生有 90%的可能考试不及格 .据调查，学生中有 80%的人是努力学习的，试问： （ 1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （ 2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 【解】 设 A=被调查学生是努力学习的 ，则 A =被调查学生是不努力学习的 .由题意知 P（ A） =0.8， P（ A ） =0
8、.2，又设 B=被调查学生考试及格 .由题意知 P（ B|A） =0.9， P（ B | A ） =0.9，故由贝叶斯公式知 （ 1） ( ) ( )()()() ( ) ( ) ( ) ( )P A P B AP A BP A BPB P A P B A P A P B A 0 . 2 0 . 1 1 0 . 0 2 7 0 20 . 8 0 . 9 0 . 2 0 . 1 3 7 即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占 2.702% (2) ( ) ( )()()() ( ) ( ) ( ) ( )P A P B AP A BP A BPB P A P B A P A P B A 0 .
9、8 0 . 1 4 0 . 3 0 7 70 . 8 0 . 1 0 . 2 0 . 9 1 3 即考试不及格的学生中努力学习的学生占 30.77%. 26. 将两信息分别编 码为 A 和 B 传递出来，接收站收到时， A 被误收作 B 的概率为 0.02，而B 被误收作 A 的概率为 0.01.信息 A 与 B 传递的频繁程度为 2 1.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是 A 的概率是多少？ 【解】 设 A=原发信息是 A，则 =原发信息是 B C=收到信息是 A，则 =收到信息是 B 由贝叶斯公式，得 7 ( ) ( )()( ) ( ) ( ) ( )P A P C AP A CP
10、A P C A P A P C A 2 / 3 0 . 9 8 0 . 9 9 4 9 22 / 3 0 . 9 8 1 / 3 0 . 0 1 27. 然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱【解】 设 Ai=箱中原有 i 个白球 （ i=0,1,2），由题设条件知 P（ Ai） =13 ,i=0,1,2.又设 B=抽出一球为白球 .由贝叶斯公式知 1111 20( ) ( )()()() ( ) ( )iiiP B A P AP A BP A BPB P B A P A 2 / 3 1 / 3 11 / 3 1 / 3 2 / 3 1 / 3 1 1 / 3 3 28. 96%是合格品，
11、检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为 0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为 0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率 . 【解】 设 A=产品确为合格品 ， B=产品被认为是合格品 由贝叶斯公式得 ( ) ( )()() ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B AP A BP A B P B P A P B A P A P B A 0 . 9 6 0 . 9 8 0 . 9 9 80 . 9 6 0 . 9 8 0 . 0 4 0 . 0 5 29. .统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为 0.05,0.15 和 0.30；如果“谨慎的
12、”被保险人占 20%，“一般的”占 50%，“冒失的”占 30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？ 【解】 设 A=该客户是“谨慎的” ， B=该客户是“一般的” ， C=该客户是“冒失的” ， D=该客户在一年内出了事故 则由贝叶斯公式得 ( ) ( ) ( | )( | ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P A D P A P D AP A D P D P A P D A P B P D B P C P D C 0 . 2 0 . 0 5 0 . 0 5 70 . 2 0 . 0 5 0 . 5 0 . 1 5 0 . 3
13、0 . 3 30.0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率 . 【解】 设 Ai=第 i 道工序出次品 （ i=1,2,3,4） . 4 1 2 3 41( ) 1 ( )iiP A P A A A A 1 2 3 41 ( ) ( ) ( ) ( )P A P A P A P A 8 1 0 . 9 8 0 . 9 7 0 . 9 5 0 . 9 7 0 . 1 2 4 31. 0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率 不小于 0.9? 【解】 设必须进行 n 次独立射击 . 1 (0.8) 0.9n 即为 (0.8) 0
14、.1n 故 n 11 至少必须进行 11 次独立射击 . 32. P（ A B） =P(A B )，则 A， B 相互独立 . 【证】 ( | ) ( | )P A B P A B 即 ( ) ( )() ()P AB P ABPB PB亦即 ( ) ( ) ( ) ( )P A B P B P AB P B ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( )P A B P B P A P A B P B 因此 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 故 A 与 B 相互独立 . 33. 15 ， 13 ， 14 ，求将此密码破译出的概率 . 【解】 设 Ai=第 i 人能破译 （ i=1,
15、2,3），则 3 1 2 3 1 2 31( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( )iiP A P A A A P A P A P A 4231 0.65 3 4 34. 0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为 0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为 0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率 . 【解】 设 A=飞机被击落 ， Bi=恰有 i 人击中飞机 ， i=0,1,2,3 由全概率公式，得 30( ) ( | ) ( )iiiP A P A B P B =(0.4 0.5 0.3+0.6 0.5 0.3+0.6 0.5 0.7)0.2+
16、(0.4 0.5 0.3+0.4 0.5 0.7+0.6 0.5 0.7)0.6+0.4 0.5 0.7 =0.458 35. 25%，为试验一种新药是否有效，把它给 10 个病人服用，且规定若 10 个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效， 求： （ 1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到 35%，但通过试验被否定的概率 . 9 （ 2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率 . 【解】 （ 1） 3 101 1 00 C ( 0 .3 5 ) ( 0 .6 5 ) 0 .5 1 3 8k k kkp (2) 10 102 1 04 C ( 0 .2 5 ) ( 0 .7
17、5 ) 0 .2 2 4 1k k kkp 36. 6 位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层 .试求下列事件的概率： （ 1） A=“某指定的一层有两位乘客离开”； （ 2） B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （ 3） C=“恰有两位乘客在同一层离开”； （ 4） D=“ 至少有两位乘客在同一层离开” . 【解】 由于每位乘客均可在 10 层楼中的任一层离开，故所有可能结果为 106 种 . （ 1） 2466C9() 10PA，也可由 6 重贝努里模型： 2246 19( ) C ( ) ( )1 0 1 0PA （ 2） 6 个人在十层中任意六层离开，故 6106P()10P
18、B（ 3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有 110C 种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有 26C 种离开方式 .其余 4 人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式： 4 人中有 3 个人在同一层离开，另一人在其余8 层中任一层离开，共有 1 3 19 4 8CCC 种可能结果； 4 人同时离开，有 19C 种可能结果； 4 个人都不在同一层离开，有 49P 种可能结果，故 1 2 1 3 1 1 4 61 0 6 9 4 8 9 9( ) C C ( C C C C P ) / 1 0PC （ 4） D=B .故 6106P( ) 1 ( )
19、1 10P D P B 37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （ 1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （ 2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率； （ 3） 如果 n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率 . 【解】 （ 1） 1 11p n 10 (2) 2 3 !( 3) ! ,3( 1) !npnn (3) 12( 1 ) ! 1 3 ! ( 2 ) !; , 3!nnp p nn n n 38. 0， a 【解】 设这三段长分别为 x,y,axy.则基本事件集为由 0xa,0ya,0axya 所构成的图形，有利事件集为由 ()x y a x yx a
20、 x y yy a x y x 构成的图形，即 02022axaya x y a 如图阴影部分所示，故所求概率为 14p . 39. 某人有 n 把钥匙，其中只有一把能开他的门 .他逐个将它们去试开（抽样是无放 回的） .证明试开 k 次（ k=1,2, ,n） 才能把门打开的概率与 k 无关 . 【证】 11P 1 , 1, 2 , ,Pknknp k nn 40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有 i 面涂有颜色的概率 P（ Ai）（ i=0,1,2,3） . 【解】 设 Ai=小立方体有 i 面涂有颜色 ， i=0,1,2,3. 在
21、 1 千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有 8 个 .只有位于原立方体的棱上（除 去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有 12 8=96 个 .同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有 8 8 6=384 个 .其余 1000（ 8+96+384） =512 个内部的小立方体是无色的，故所求概率为 015 1 2 3 8 4( ) 0 . 5 1 2 , ( ) 0 . 3 8 41 0 0 0 1 0 0 0P A P A , 249 6 8( ) 0 . 0 9 6 , ( ) 0 . 0 0 81 0 0 0 1 0 0 0P A P A . 41.对任意的随机事件 A， B， C P（ AB） +P（ AC） P（ BC） P(A). 【证】 ( ) ( ) ( )P A P A B C P A B A C ( ) ( ) ( )P A B P A C P A B C
