1、2015 年 江苏省高考数学模拟试题 一、填空题 1 已知集合 1,0,Aa ， | 0 1B x x ，若 AB ，则实数 a 的取值范围是 . 2 设等比数列 na 的公比 2q ，前 n 项和为 nS ，则 43Sa 的值为 . 3 已知复数 1 co s 2 3 sin 2 3zi和复数2 co s 3 7 sin 3 7zi，则 21 zz 为 . 4 等差数列 na 的首项为 1a ，公差为 d ，前 n 项和为nS 则 “ 1|da ”是 “ nS 的最小值为 1S ，且 nS 无最大值 ”的 条件 . 5 已知图象不间断的函数 )(xf 是区间 , ba 上的单调函数，且在区间
2、 (, )ab 上存在零点图 1 是用二分法求方程 ( ) 0fx 近似解的程序框图，判断框内可以填写的内 容有如下四个选择： 0)()( mfaf ； 0)()( mfaf ； 0)()( mfbf ； 0)()( mfbf 其中能够正确求出近似解的是 . 6 设函数 ( ) 2 c o s( )23f x x，若对于任意的 xR ， 都有 12( ) ( ) ( )f x f x f x，则 12xx 的最小值为 . 7 设 3()f x x x， xR . 若当 0 2 时， 0)1()s in( mfmf 恒成立，则实数 m 的取值范围是 . 8 已知 O 为坐标原点，点 M 的坐标为
3、 (,1)a （ 0a ），点 ( , )Nxy 的坐标 x 、 y 满足不等式开始 定义 ()fx 输入精确度 d 和区间 (, )ab 2abm bm是 否 |a b d 或 ( ) 0fm 是 否 输出 a 结束 图 1 am 组 1 033032y yxyx . 若当且仅当 30xy 时， OMON 取得最大值，则 a 的取值范围 是 . 9 已知函数321, ( ,1 12()1 1 1, 0 , 3 6 2x xxfxxx ，函数 xsinaxg 6 22 a(a0)，若存在120,1xx、 ，使得 12( ) ( )f x g x 成立，则实数 a 的取值范围是 . 10 已知双
4、曲线 12222 byax 左、右焦点分别为 21 FF、 ，过点 2F 作与 x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为 P ，且 621 FPF，则双曲线的渐近线方程为 11 对于命题： 若 O 是线段 AB 上一点，则有 .OBOAOAOB 0 将它类比到平面的情形是： 若 O 是 ABC 内一点，则有0 OCSOBSOAS O B AO C AO B C 将它类比到空间的情形应该是：若 O 是四面体 ABCD 内一点，则有 12 若关于 x 的不等式 02|2 txx 在区间 )0,( 上有解，则实数 t 的取值范围 是 . 13 已知函数 ( ) lnf x ax x()aR ，设 2( )
5、 2 2g x x x ，若对任意 1 (0, )x ，均存在 2 0,1x ，使得 12( ) ( )f x g x ，则 a 的取值 范围是 . . 14已知函数 2( ) ln ( 1)f x a x x ，若在区间（ 0， 1）内任取两个实数 p， q，且 pq ，不等式 ( 1) ( 1) 1f p f qpq 恒成立，则实数 a 的取值范围是 . .二 、解答题： 15 如图 3， ABC 中， ,AB,A B Cs in 2332 点 D 在线段 AC 上，且 3 34,2 BDDCAD （ ）求 BC 的长； （ ）求 DBC 的面积 . 16 如图，在正三棱柱 111 CBA
6、ABC 中，点 D 是棱 BC 的中点求证： （ 1） DCAD 1 ； （ 2） 1 /AB 平面 1ADC 17 要制作一个由同底圆锥和圆柱组成的储油罐（如图），设计要求：储油罐的高度和圆柱底面半径相等，都为 r 米 .市场上，圆柱侧面用料单价为每平方米 a 元，圆锥侧面用料单价分别是圆柱侧面用料单价和圆柱底面用料单价的 4 倍和 2 倍 .设圆锥母线和底面所成角为 （弧度），总费用为 y （元） . （ 1）写出 的取值范围； （ 2）将 y 表示成 的函数关系式； （ 3）当 为何值时，总费用 y 最小 ? DACB图 3 C B A A1 B1 C1 D 18 已知椭圆 22:1xy
7、C ab( 0)ab 的离心率为 22 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 20xy 相切 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）若过点 M (2， 0)的直线与椭圆 C 相交于两点 ,AB，设 P 为椭圆上一点，且满足OPtOBOA （ O 为坐标原点），当 PBPA 253 时，求实数 t 取值范围 19 已知 ( ) ln (1 ) ( )xf x e m x x R （ ）已知对于给定区间 (, )ab ，存在 0 ( , )x a b 使得 )()()(0xfab afbf 成立，求证： 0x 唯一； （ ）若 1 2 1 2,x x R x x， ，当 1m 时，比较 12
8、()2xxf 和 12( ) ( )2f x f x 大小，并说明理由； （ ）设 A、 B、 C 是函数 ( ) l n (1 ) ( , 1 )xf x e m x x R m 图象上三个不同的点， 求证： ABC 是钝角三角形 20 已知每项均是正整数的数列 A ： 1 2 3, , , , na a a a ，其中等于 i 的项有 ik 个 ( 1,2,3 )i ， 设 jj kkkb 21 ( 1,2,3 )j ， 12() mg m b b b n m ( 1,2,3 )m . （ ）设数列 :1,2,1,4A ，求 (1) , ( 2 ) , ( 3 ) , ( 4 ) , (
9、5 )g g g g g； （ ）若数列 A 满足 12 100na a a n ，求函数 )(mg 的最小值 . 江苏省 2011 年高考数学模拟试题（ 3） 参考答案 一、填空题 1 (0,1) 21543i23214充分不必要 5 、 6 2 7 )1,( 8 1( , )29 14 , 2310 xy 2 11 ODVOCVOBVOAV A B COA B DOA C DOB C DO 12 9( ,2)413 31ea. 14 15, ) 二 、解答题： 15 解：（ ） 因为 332sin ABC ，所以313121 A B Cc o s . 在 ABC 中，设 bACaBC 3,
10、 ， 则由余弦定理可得 aab 3449 22 在 ABD 和 DBC 中，由余弦定理可得bbA D B331643164c o s2 ， babB D C338316c o s22 因为 B D CA D B c o sc o s ， 所以有babbb338316331643164 222 ，所以 6322 ab 由 可得 1,3 ba ，即 3BC （ ）由（ ）得 ABC 的面积为 223 223221 ， 所以 DBC 的面积为322 （注：也可以设 bBCaBA , ，所以 baBD 3231 ，用向量法解决；或者以 B 为原点， BC 为 x 轴建立平面直角坐标系，用坐标法解答；或
11、者过 A 作 BC 平行线交BD 延长线于 E ，用正余弦定理解答具体过程略） 16.（ 1）因为三棱柱 111 CBAABC 是正三棱柱，所以 CC1 平面 ABC ， 又 AD 平面 ABC ，所以 ADCC 1 ， 又点 D 是棱 BC 的中点，且 ABC 为正三角形，所以 AD BC ， 因为 1BC C C C ，所以 AD 平面 11BBCC ， 又因为 1DC 平面 11BBCC ，所以 DCAD 1 (2)连接 CA1 交 1AC 于点 E ，再连接 DE 因为四边形 11ACCA 为矩形， 所以 E 为 CA1 的中点， 又因为 D 为 BC 的中点， 所以 1/ED AB
12、. 又 1AB 平面 1ADC ， ED 平面 1ADC ， 所以 1 /AB 平面 1ADC 17 C B A A1 B1 C1 D E 18 解：（ ）由题意知 22ce a ， 所以 2 2 2222 12c a be aa 即 222ab 又因为 2 111b，所以 2 2a ， 2 1b 故椭圆 C 的方程为 12 22 yx （ ）由题意知直线 AB 的斜率存在 . 设 AB ： ( 2)y k x， 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ， ( , )Pxy ， 由 22( 2),1.2y k xx y 得 2 2 2 2(1 2 ) 8 8 2 0k x k x
13、k . 4 2 26 4 4 ( 2 1 ) ( 8 2 ) 0k k k ， 2 12k . 212 2812kxx k， 212 28212kxx k . OPtOBOA ， 1 2 1 2( , ) ( , )x x y y t x y ， 21228(1 2 )xx kx t t k ， 12 12 214 ( ) 4 ( 1 2 )yy ky k x x kt t t k . 点 P 在椭圆上， 2 2 22 2 2 2 2 2( 8 ) ( 4 )22(1 2 ) (1 2 )kkt k t k， 2 2 216 (1 2 )k t k. PBPA 253 ， 212 251 3k
14、 x x ， 221 2 1 2 20(1 ) ( ) 4 9k x x x x 4222 2 26 4 8 2 2 0(1 ) 4 (1 2 ) 1 2 9kkk ， 22( 4 1)(1 4 1 3 ) 0kk ， 2 14k . 21142k， 2 2 216 (1 2 )k t k， 22221 6 881 2 1 2kt kk ， 262 3t 或 26 23 t ， 实数 t 取值范围为 )2,3 62()3 62,2( . (注意：可设直线方程为 2xmy ，但需要讨论 0m 或 0m 两种情况 ) 19 解：（ ）证明：假设存在 ，使得，且 0000 ),(, xxbaxx )
15、()()( 0xfab afbf ， )()()( 0xfab afbf ，即 )()( 00 xfxf . )()(1)( xfxgmeexfxx ，记， ,)(,0)1()( 2 baxfeexg xx 是上的单调增函数（或者通过复合函数单调性说明 )( xf 的单调性） . 0000 xxxx ，这与 矛盾，即 x 是唯一的 . （ ） 1 2 1 2( ) ( )( ) ,22x x f x f xf 原因如下： (法一 )设 , 2121 xxRxx ，且 则 12121 2 1 221 2 1 2( ) ( ) 2 ( ) l n ( 1 ) l n ( 1 ) 2 l n ( 1
16、 ) 22xxxxx x x xf x f x f e e x x e 1212 22l n (1 ) (1 ) l n (1 )xxxxe e e 121 2 1 2 1 22l n ( 1 ) l n ( 1 2 )xxx x x x x xe e e e e . 221 21212121 22,0,0 xxxxxxxx eeeeexxee ，且. 1+ 21212111 221 xxxxxxxx eeeee ， 121 2 1 2 1 2121 2 1 2 1 222l n ( 1 ) l n ( 1 2 ) ,l n ( 1 ) l n ( 1 2 ) 0 .xxx x x x x x
17、xxx x x x x xe e e e ee e e e e 1 2 1 2 1 212 ( ) ( )( ) ( ) 2 ( ) , ( )2 2 2x x x x f x f xf x f x f f . （法二）设 2 )()()2()( 22 xfxfxxfxF ，则 2 )()2(21)( 2 xfxxfxF 由（ ）知 )( xf 单调增 所以当 2xx 即 xxx 2 2 时，有 02 )()2(21)( 2 xfxxfxF 所以 2xx 时， )(xF 单调减 当 2xx 即 xxx 2 2 时，有 02 )()2(21)( 2 xfxxfxF 所以 2xx 时， )(xF
18、单调增 所以 0)()( 2 xFxF ，所以 2 )()()2( 2121 xfxfxxf （ ）证明：设 321332211 ),(),(),( xxxyxCyxByxA ，且，因为 1m Rxxfemmeexfxxx 是， )(01111)( 上的单调减函数 1 2 3( ) ( ) ( )f x f x f x ),()(,(),()(,( 23232121 xfxfxxBCxfxfxxBA )()() ) ()()( 23212321 xfxfxfxfxxxxBCBA ,0)()(,0)()(,0,0 23212321 xfxfxfxfxxxx BBBCBA ,0c o s,0 为钝
19、角 . 故 ABC 为钝角三角形 20 解：（ 1）根据题设中有关字母的定义， 1 2 3 42 , 1 , 0 , 1 , 0 ( 5 , 6 , 7 )jk k k k k j 1 2 3 42 , 2 1 3 , 2 1 0 3 , 4 , 4 ( 5 , 6 , 7 , )mb b b b b m 1121 2 31 2 3 41 2 3 4 5(1 ) 4 1 2( 2 ) 4 2 3 ,( 3 ) 4 3 4 ,( 4 ) 4 4 4 ,( 5 ) 4 5 4 .gbg b bg b b bg b b b bg b b b b b （ 2）一方面， 1( 1 ) ( ) mg m
20、g m b n ，根据 “数列 A 含有 n 项 ”及 jb 的含义知 1mbn ， 故 0)()1( mgmg ，即 )1()( mgmg 另 一方面，设整数 12m a x , , , nM a a a ，则当 mM 时必有 mbn ， 所以 ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( ) ( 1 )g g g M g M g M 所以 ()gm的最小值为 ( 1)gM . 下面计算 ( 1)gM 的值： 1 2 3 1( 1 ) ( 1 )Mg M b b b b n M 1 2 3 1( ) ( ) ( ) ( )Mb n b n b n b n 2 3 3 4 4 5( ) ( ) ( ) ( )M M M Mk k k k k k k k k k 23 2 ( 1 ) Mk k M k 1 2 3 1 2( 2 3 ) ( )MMk k k M k k k k 1 2 3()nMa a a a b
