1、2014 年高考山东卷 文 科数学真题 及参考答案 新东方在线 举国瞩目的 2014 高考 数学 科目的考试已结束，新东方在线高考名师团队第一时间对2014 高考 数学 真题进行了 解析 ，希望能对考生、家长有所帮助，也希望对 2015 高考考生提供借鉴。 以下是 济南 新东方高考 名师团队 老师 提供的 2014 高考山东卷 文 科数学真题及参考答案，供广大考生参考。 一选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分。在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。 （ 1）已知 iRba , 是虚数单位，若 ia bi2 ，则 2）（ bia （ A） i43 （ B） i43 （
2、 C） i34 （ D） i34 【解析】由 ia bi2 得， 12 ba ， ， 2）（ bia iiii 4344)2( 22 故答案选 A （ 2）设集合 ,41,02 2 xxBxxxA 则 BA （ A） (0,2 （ B） (1,2) （ C） 1,2) （ D） (1,4) 【解析】 4,1)20( BA ， ，数轴上表示出来得到 BA 1,2) 故答案为 C （ 3）函数1lo g1)( 2 xxf的定义域为 （ A） )20(， （ B） 2,0( （ C） ),2( （ D） )2 ， 【解析】 01log2 x 故 2x 。选 D （ 4）用反证法证明命题 “设 , R
3、ba 则方程 02 baxx 至少有一个实根 ”时要做的假设是 （ A）方程 02 baxx 没有实根 （ B）方程 02 baxx 至多有一个实根 （ C）方程 02 baxx 至多有两个实根 （ D）方程 02 baxx 恰好有两个实根 【解析】答案选 A，解析略。 （ 5）已知实数 yx, 满足 )10( aaa yx ，则下列关系式恒成龙的是 （ A） 33 yx （ B） yx sinsin （ C） )1ln()1ln( 22 yx （ D）1111 22 yx【解 析】由 )10( aaa yx 得， yx ，但是不可以确定 2x 与 2y 的大小关系，故 C、 D排除，而 xy
4、 sin 本身是一个周期函数，故 B 也不对， 33 yx 正确。 （ 6）已知函数 )10为 常 数 。其中()(lo g ,aaa ,ccxy a 的图像如右图，则下列结论成立的是 （ A） 11 ,ca （ B） 101 c,a （ C） 1,10 ca （ D） 1010 c,a 【解析】 由图象单调递减的性质可得 01a，向左平移小于 1 个单位，故 01c 答案选 C （ 7）已知向量 )3()31( ,m,b,a .若向量 a,b 的夹角为 6 ，则实数 m = （ A） 32 （ B） 3 （ C） 0 （ D） 3 【解析】： 22333c os , 2 923 3 3 9
5、3a b ma b a b a b mm m m rrr r r r r r答案： B （ 8）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床实验。所有志愿者的舒张压数据（单位： kPa）的分组区间为 12,13） , 13,14） ,14,15） ,15,16.将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组， ，第五组。右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组和第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为 （ A） 6 （ B） 8 （ C） 12 （ D） 18 【解析】：第一组与第二组频率之和为 0.24+0.16=0.4 20 0.4 50 50
6、 0.36 1818 6 12答案： C （ 9）对于函数 f(x) ，若存在常数 0a ，使得 x 取定义域内的每一个值，都有 a-x)f(f(x) 2 ，则称 f(x) 为准偶函数。下列函数中是准偶函数的是 （ A） xxf )( （ B） 2)( xxf （ C） xxf tan)( （ D） )1cos()( xxf 【解析】：由分析可知准偶函数即偶函数左右平移得到的。 答案： D （ 10）已知 x,y 满足的约束条件 ,x-y- ,x-y- 032 01当目标函数 )00( ,babyaxz 在该约束条件下取得最小值 52 时， 22 ba 的最小值为 （ A） 5 （ B） 4
7、（ C） 5 （ D） 2 【解析】： 102 3 0xyxy 求得交点为 2,1 ，则 2 2 5ab ，即圆心 0,0 到直线2 2 5 0ab 的距离的平方 2 225 245 。 答案： B 二填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分，答案须填在题中横线上。 11 执行 右面的程序框图，若输入的 x 的值 为 1， 则输出的 n 的 值为 。 【解析】：根据判断条 件 0342 xx ，得 31 x ， 输入 1x 第一次判断后循环， 11,21 nnxx 第二次判断后循环， 21,31 nnxx 第三次判断后循环， 31,41 nnxx 第四次判断不满足条件，退出循环，输出
8、 3n 答案： 3 12 函数 23 sin 2 c os2y x x的 最小 正周期为 。 【解析】： 23 3 1 1 1sin 2 c o s sin 2 c o s 2 sin 22 2 2 2 6 2y x x x x x 22T . 答案： T 13 一个六 棱锥的体积为 23， 其底面 是 边长为 2 的 正六边形 ， 侧棱长 都相等 ，则 该六 棱锥的侧面积为 。 【解析】：设六棱锥的高为 h ，斜高为 h ， 则由体积 11 2 2 sin 6 0 6 2 332Vh 得： 1h ， 2 232hh 侧面积为 1 2 6 122 h . 答案： 12 14 圆心 在直线 20
9、xy上 的圆 C 与 y 轴 的正半轴相切，圆 C 截 x 轴 所 得的弦 的 长 23，则圆 C 的 标准方程为 。 【解析】 设圆心 ,02aaa，半径为 a . 由勾股定理 22 232a a得： 2a 圆心为 2,1 ，半径为 2， 圆 C 的 标准方程为 222 1 4xy 答案： 222 1 4xy 15 已知 双曲线 2222 1 0 , 0xy abab 的 焦距为 2c ， 右顶点为 A ， 抛物线 2 20x py p的 焦点为 F ， 若双曲线截抛物线的准线所得线段长 为 2c ， 且 FA c ，则双曲线的渐近线 方程 为 。 【解析】 由题意知 222P c a b
10、， 抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为 ,2Pc， 即 ,cb 代入双曲线方程为 22221cbab，得 22 2ca， 渐近线方程为 yx ， 22 11bcaa . 答案： 1 三解答题：本大题共 6小题，共 75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （ 16）（本小题满分 12 分） 海关对同时从 ,ABC 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所 示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6件样品进行检测。 地区 A B C 数量 50 150 100 （ ）求这 6 件样品中来自 ,ABC 各地区样品的数量； （ ）若在这
11、6 件样品中 随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同地区的概率。 （ 16） 【解析】： （ ）因为工作人员是按分层抽样抽取商品，所以各地区抽取商品比例为： : : 5 0 : 1 5 0 : 1 0 0 1 : 3 : 2A B C 所以各地区抽取商品数为： 1:6 16A ， 3:6 36B ， 2:6 26C ； （ ）设各地区商品分别为： 1 2 3 1 2, , , , ,A B B B C C 基本时间空间 为： 1 2 3 1 2 1 2 1 3, , , , , , , , , , , , ,A B A B A B A C A C B B B B 1
12、 1 1 2 2 3 2 1 2 2 3 1 3 2 1 2, , , , , , , , , , , , , , ,B C B C B B B C B C B C B C C C，共 15 个 . 样本时间空间为： 1 2 1 3 2 3 1 2, , , , , , ,B B B B B B C C 所以这两件商品来自同一地区的概率为： 415PA . （ 17）（本小题满分 12 分） 在 ABC 中，角 ,ABC 所对的边分别是 cba, 。已知 .2,36c o s,3 ABAa （ ）求 b 的值； （ ）求 ABC 的面积。 （ 17） 【解析】： （ ）由题意知： 2 3s i
13、n 1 c o s 3AA ， 6sin sin sin c o s c o s sin c o s2 2 2 3B A A A A ， 由正弦定理得： s i n 32s i n s i n s i na b a BbA B A （ ）由余弦定理得： 2 2 2 2126c o s 4 3 9 0 3 , 3 3 ,23b c aA c c c cbc 又因为 2BA 为钝角，所以 bc ，即 3c ， 所以 1 3 2sin .22ABCS a c B（ 18）（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P ABCD 中， ,/, BCADP C DAP 平面 ADBCAB 21 , FE,
14、分别为线段 PCAD, 的中点。 （ ）求证： BEFAP 平面/ （ ）求证： PACBE 平面 【解析】：（ ）连接 AC 交 BE 于点 O，连接 OF，不妨设 AB=BC=1,则 AD=2 ,/, BCADBCAB 四边形 ABCE 为菱形 APOFPCACFO /, 中点，分别为 又 B E FAPB E FOF 平面，平面 / （ ） CDAPP C DCDP C DAP ,平面，平面 CDBEB C D EEDBCEDBC /,/ 为平行四边形， , PABE ACBEA B CE 为菱形，又 P A CACPAAACPA 平面、又 , , PACBE 平面 （ 19）（本小题满
15、分 12 分） 在等差数列 na 中，已知 2d ， 2a 是 1a 与 4a 等比中项 . （ ）求数列 na 的通项公式； （ ）设 12 ,n nnba记 1 2 3 1 nnnT b b b b ，求 nT . 【解析】： （ ）由题意知： na 为等差数列，设 dnaan 11 ， 2a 为 1a 与 4a 的等比中项 4122 aaa 且 01a ，即 daada 31121 ， 2d 解得： 21a nna n 22)1(2 （ ）由 （ ）知： nan 2 ， )1(2 )1( nnab nnn当 n 为偶数时： 22222264222262422115343121433221
16、2 nnnnnnnnnnnT n当 n 为奇数时： 212122112211642212126242212153431214332212 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnT n综上：为偶数为奇数，nnnnnnT n,2 221222（ 20） （本小题满分 13 分） 设函数 1ln 1xf x a x x ，其中 a 为常数 . （ ）若 0a ，求曲线 y f x 在点 1, 1f 处的切线方程； （ ）讨论函数 fx的单调性 . 【解析】 (1) 0a当 时212( ) , ( )1 ( 1 )xf x f xxx 221(1) (1 1) 2f (1 ) 0 (1 , 0 )f
17、又 直 线 过 点 1122yx (2) 22( ) ( 0 )( 1 )af x xxx 220 ( ) 0 . ( )( 1 )a f x f xx 当 时 ， 恒 大 于 在 定 义 域 上 单 调 递 增 .2222 ( 1 ) 20 ( ) = 0 . ( )( 1 ) ( 1 )a a x xa f x f xx x x x 当 时 ， 在 定 义 域 上 单 调 递 增 .22 10 ( 2 2 ) 4 8 4 0 , .2a a a a a 当 时 ， 即 ()fx开 口 向 下 ， 在 定 义 域 上 单 调 递 减 。 1 , 21 ( 2 2 ) 8 4 1 2 10 0
18、 .22 a a a aax aa 当 时 ，122 2 11 0 . 1 02ax x xaa 对 称 轴 方 程 为 且1 2 1 1 2 1 1 2 1( ) ( 0 , ) ( , )1 + 2 1( + )a a a a a afxa a aaaa 在 单 调 递 减 ， 单 调 递 增 ， 单 调 递 减 。0 ( ) 0 ( )1 1 1 2 1( ) 0 ( ) ( 0 , )221 2 1 1 2 1 1 + 2 1( , ) ( + )a f x a f xaaa f x a f xaa a a a a aa a a 综 上 所 述 ， 时 ， 在 定 义 域 上 单 调
19、递 增 ； 时 ， 在 定 义 域 上 单 调 递 增时 ， 在 定 义 域 上 单 调 递 减 ； 时 ， 在 单 调 递 减 ，单 调 递 增 ， ， 单 调 递 减 。（ 21） （本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 22: 1 0xyC a bab 的离心率为 32 ，直线yx 被椭圆 C 截得的线段长为 4105 . （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）过原点的直线与椭圆 C 交于 ,AB两点（ ,AB不是椭圆 C 的顶点），点 D 在椭圆 C 上，且 AD AB ，直线 BD 与 x 轴、 y 轴分别交于 ,MN两点 . （ i）设直线 ,BDAM 的斜率分别
20、为 12,kk.证明存在常数 使得 12kk ，并求出 的值； （ ii）求 OMN 面积的最大值 . 【解析】 (1) 2 2 2 22223 3 3 3= , 42 2 4 4c c a be a ba a a 即设直线与椭圆交于 ,pq两点。不妨设 p 点为直线和椭圆在第一象限的交点。 224 10 2 5 2 5( , )5 5 54455 1pab 又 弦 长 为 ，222 24 , 11.4abx y 联 立 解 得椭 圆 方 程 为2014 高考 山东卷数学 科目的真题点评 及解析 到此结束，希望广大考生关注新东方在线高考名师团队其他科目 的解析和点评。 最后，新东方在线祝愿广大 2014 高考考生取得优异成绩，金榜题名。并祝 2015 高考考生备考顺利。
