1、超级狩猎者12017 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1） ）若函数 在 处连续，则（ ）1cos,0(),xfxab(A) (B) (C) (D)2ab20ab2ab【答案】A【解析】 在 处连续 选 A.0011coslimli,()2xxfxaa011.22ba（2）设二阶可导函数 满足 且 ，则（ ）()f()1,f()0fx1 1010110 0() ()() ()AfxdBfxdCfxDfx 【答案】B【解析】为偶函数时满足题
2、设条件，此时 ，排除 C,D.()fx0110()()fxdfx取 满足条件，则 ，选 B.21203（3）设数列 收敛，则（ ）nx当 时， 当 时，()Alims0nli0nx()Blim()0nxlim0nx当 时， 当 时，C2()nxDsin【答案】D【解析】特值法：（A）取 ，有 ，A 错；nxlisn0,linx取 ，排除 B,C.所以选 D.1nx（4）微分方程的特解可设为超级狩猎者2 2（A） （B）2(cos2in)xeBxC2(cos2in)xAeBxC（C） （D） 【答案】A【解析】特征方程为：21,2480i22*2*2()1cos)cos,(cosin2),xx
3、xxfeeyAeBCx故特解为： 选 C.*2(sin)xyABC（5）设 具有一阶偏导数，且对任意的 ，都有 ，则(,)fx(,)xy(,)(,)0fxyfxy（A） （B） （C） （D）0,1,ff(0,)1,ff(,1)(,)ff(,1),0ff【答案】C【解析】 是关于 的单调递增函数，是关于 的单调递减函数，(,)(,),(,)fxyfxyfxy y所以有 ，故答案选 D.(0,1),(1,0)fff（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线（单位： ） ，虚线表示乙的速度曲线 ，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，1()vt
4、/ms 2()vt计时开始后乙追上甲的时刻记为 （单位：s） ，则（ ）0t0512053()ts(/)v（A） （B） （C） （D）01t0t0t025t【答案】B【解析】从 0 到 这段时间内甲乙的位移分别为 则乙要追上甲，则t 0012(t),(t),tvd超级狩猎者3，当 时满足，故选 C.021(t)v0tdt25t（7）设 为三阶矩阵， 为可逆矩阵，使得 ，则 （ A123(,)P102PA123(,)A）（A） （B） （C ） （D）12232312【答案】 B【解析】,1 1231232300 01(,)(,)12PAAPA因此 B 正确。（8）设矩阵 ,则（ ）01002
5、,2,2ABC（A） （B）,C与 相 似 与 相 似 ,AB与 相 似 与 不 相 似（C） （D ）B与 不 相 似 与 相 似 C与 不 相 似 与 不 相 似【答案】B【解析】由 可知 A 的特征值为 2,2,1,0E因为 ，A 可相似对角化，即3(2)1r102A由 可知 B 特征值为 2,2,1.0E因为 ，B 不可相似对角化，显然 C 可相似对角化， ，但 B 不相似于 C.3(2)r AC二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.超级狩猎者4 4(9) 曲线 的斜渐近线方程为_21arcsinyxx【答案】【解析】 22limli(1
6、arcsin)1,limliarcsin,2xxxxyyx(10) 设函数 由参数方程 确定，则 _()ysintey20tdyx【答案】 18【解析】 2 202coscos,1sin()s11 8t tttt tdyxdytexedydx xt (11) _20ln()1x【答案】1【解析】 2000220ln(1)1ln()()1.()xdxddxdx(12) 设函数 具有一阶连续偏导数，且 ， ，则(,)fxy,(1)yyfexed(0,)f(,)_fxy【答案】 ye【解析】 故,(1),()(),yyyxyffxefxedxc超级狩猎者5，()yyyyfxecxe因此 ，即 ，再由
7、 ，可得()0cy()cyC(0,),.f【答案】【解析】（13） 10tan_yxd【答案】 .lcos【解析】交换积分次序：.111000tantantalncos1xyxddyxd（14）设矩阵 的一个特征向量为 ，则4231A2_a【答案】-1【解析】设 ，由题设知 ，故12A41323aa故 .三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15） （本题满分 10 分）求极限 03limxted【答案】 23【解析】 ，令 ，则有03limxtedxtu0 0xt xueed超级狩猎者6 6003322031022=
8、limlililixxuuxxuxeded原 式（16） （本题满分 10 分）设函数 具有 2 阶连续偏导数， ，求 ，(,)fuv(,cos)xyfe0xdy20x【答案】2 1100(,)(,)xxdydyff【解析】 12121002 2 2 1120(,cos)(,)sin(,)(,)0(,)(i)sinsicos,),(,xx xxxx xxyfeyfdf ffffeffexffedy结论： 102 1120(,),(,),xxyfdfff（17） （本题满分 10 分）求 21limlnnkk【答案】 14【解析】 211 12202001 11limln()ln()ln()(l
9、n)2 4nk xxdxdxd （18） （本题满分 10 分）已知函数 由方程 确定，求 的极值()yx3y()yx超级狩猎者7【答案】极大值为 ，极小值为(1)y(1)0y【解析】两边求导得：（1）2330xy令 得01对（1）式两边关于 x 求导得 （2）2630xyy将 代入原题给的等式中，得 ，x1or将 代入（2）得1,y()0y将 代入（2）得0x12故 为极大值点， ； 为极小值点，()yx(1)0y（19） （本题满分 10 分）设函数 在区间 上具有 2 阶导数，且 ，证明：()f0, 0()(1),limxff方程 在区间 内至少存在一个实根；()()0fx,1方程 在区
10、间 内至少存在两个不同实根。2()fx(,1)【答案】【解析】（I） 二阶导数，()fx0()(1),limxff解：1）由于 ，根据极限的保号性得0lix有 ，即,(,)(f()f进而 0f有又由于 二阶可导，所以 在 上必连续()fx()fx0,1那么 在 上连续，由 根据零点定理得：,1()f至少存在一点 ，使 ，即得证()()f（II）由（1）可知 ， ，令 ，则0f0,1()0f使 ()()Fxfx(0)f超级狩猎者8 8由罗尔定理 ，则 ，(0,)(0f使 ()()0F对 在 分别使用罗尔定理：()Fx且 ，使得 ，即12,(,)1212,(,)12()F在 至少有两个不同实根。(
11、)0xfxf,得证。（20） （本题满分 11 分）已知平面区域 计算二重积分 。2,|,Dxyy21Dxdy【答案】 54【解析】 2 2sin22 20 511 co4DDDDxdyxdyxdyxdrd（21） （本题满分 11 分）设 是区间 内的可导函数，且 ，点 是曲线 L: 上()30,(1)P()yx任意一点，L 在点 P 处的切线与 y 轴相交于点 ，法线与 x 轴相交于点 ，若 ，求 L,pY,0pXpY上点的坐标 满足的方程。,xy【答案】【解析】设 的切线为 ，令 得 ，法线,()p()YyxXx0()pYyx,令 得 。由 得 ，即1()()YyxXx0()pyp ()
12、yx。令 ，则 ，按照齐次微分方程的解法不难解出yux,21ln()arctnl|uxCx（22） （本题满分 11 分）设 3 阶矩阵 有 3 个不同的特征值，且 。12,A312证明：()()2rA若 ，求方程组 的通解。13x超级狩猎者9【答案】 （I）略；（II ）通解为12,kkR【解析】（I）证明：由 可得 ，即 线性相关，3121230123,因此， ，即 A 的特征值必有 0。20A又因为 A 有三个不同的特征值，则三个特征值中只有 1 个 0，另外两个非 0.且由于 A 必可相似对角化，则可设其对角矩阵为 212,0 ()2r（II）由（1） ，知 ，即 的基础解系只有 1
13、个解向量，()rA3()1rA0x由 可得 ，则 的基础解系为 ，1230123,210Ax12又 ，即 ，则 的一个特解为 ，123123,Ax1综上， 的通解为Ax,1kkR（23） （本题满分 11 分）设二次型 在正交变换2212313132(,)8fxxaxx下的标准型 ，求 的值及一个正交矩阵 .XQY21yaQ【答案】 213622;0,361136 afxy【解析】超级狩猎者10 10，其中123(,)TfxXA214a由于 经正交变换后，得到的标准形为 ，123(,)Tf 21y故 ，214()|00rAa将 代入，满足 ，因此 符合题意，此时 ，则2a()2rA214A，12314| 0,0,642E由 ，可得 A 的属于特征值-3 的特征向量为 ；(3)0x 1由 ，可得 A 的属于特征值 6 的特征向量为(6)Ex201由 ，可得 A 的属于特征值 0 的特征向量为(0)x 3令 ，则 ，由于 彼此正交，故只需单位化即可：123,P1360P123,，123,6TTT则 ，1231120611Q360TQA
