1、1例 1、 已知函数表x-1 1 2()f-3 0 4求 的Lagrange 二次插值多项式和Newton二次插值多项式。f解：（1） 由题可知 kx-1 1 2y-3 0 4插值基函数分别为 120012() 126xxl x2101() 12lxx2021() 13xl x故所求二次拉格朗日插值多项式为 202()111320246 343576kLxylxxxx（2）一阶均差、二阶均差分别为 01012201012230, 4, 3,5, 126fxffffffxfxfx2均差表为 kx()f一阶 二阶-1 -31 0 3/22 4 4 5/6故所求Newton二次插值多项式为20101
2、2012,356576Pxffxfxx例 2、 设 ， ，试求 在0, 1上关于 ，2()3fx0,1x()fx()1x的最佳平方逼近多项式。span1,解：若 ，则 ， ，且 ，这样，有span1,x0()1x()x()1x20 01121020,323, 69,34ddxfxdxf d所以，法方程为，经过消元得0126934a 01236a再回代解该方程，得到 ，14a06故，所求最佳平方逼近多项式为 *1()4Sx例 3、 设 ， ，试求 在0, 1上关于 ， 的最()xfe0,f ()1xspan1,x佳平方逼近多项式。解：若 ，则 ， ，这样，有span1,x0()1x()x3102
3、10101010,3,2,.783,xdxdfefd所以，法方程为 01.78323a解法方程，得到 ， ，0.21.6902a故，所求最佳平方逼近多项式为 *1().87321.69Sxx例 4、 用 的复合梯形和复合辛普森公式计算积分 。4n 91xd解：（1）用 的复合梯形公式由于 ， ， ，所以，有2hfx12,3k9413129577.kxdTffxf（2）用 的复合辛普森公式4n由于 ， ， ， ，所以，有hfx12,3k120,123kxk4941331021964685737.32kkxdShffxfxf例 5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。1231586x解：先消元
4、121231586315rAb 212133233232,86,7 83150768615078131076mrm 第 行 （ ） 第 行 第 行第 行 （ ） 第 行 第 行第 行 （ ） 第 行 第 行 58627再回代，得到 ， ，3x21x所以，线性方程组的解为 ， ，23x例 6、 用直接三角分解法求下列线性方程组的解。12312394583xxx5解：设 1213213145603012uAl LU 则由 的对应元素相等，有LU， ， ，14u125136u， ，23ll312ll， ，12460uu231545uu，3231lll312ll因此， 0456411302635ALU
5、解 ，即 ，得 ， ，Lyb12319408326y1y243154y解 ，即 ，得 ， ，Uxy123145904655x317.69x2476.9x127.08x所以，线性方程组的解为 ， ，127.08x2476.9x317.69x、若 A是 n阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵 L和上三角阵 U，使LU唯一成立。 （ ）、当 8时，Newtoncotes 型求积公式会产生数值不稳定性。 （ ）63、形如)()(1inibaxfAdxf的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次数为 2。 （ ）、矩阵 10的范数 2A。 （ ）5、设 aA2，则对任意实数 0a，方程组 bAx都
6、是病态的。（用 ） （ ）6、设 nR， nQ，且有 IQT（单位阵） ，则有 2QA。 （ ）7、区间 ba,上关于权函数 )(xW的直交多项式是存在的，且唯一。 （ ）1、 （ ） 2、 （ ） 3、 （ ） 4、 （ ） 5、 （ ） 6、 （ ）7、 （ ） 8、 （ ）一、判断题（101）1、 若 A 是 n 阶非奇异矩阵，则线性方程组 AXb 一定可以使用高斯消元法求解。( )2、 解非线性方程 f(x)=0 的牛顿迭代法在单根 x*附近是平方收敛的。 ( )3、 若 A 为 n 阶方阵，且其元素满足不等式),. 1iaji则解线性方程组 AXb 的高斯塞德尔迭代法一定收敛。 (
7、)4、 样条插值一种分段插值。 ( )5、 如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。 ( )6、 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。 ( )7、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组 AXb。 ( )8、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。 ( )9、 数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截7断误差舍入误差。 ( )10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。 ( )1. 用计算机求 时，应按照 从小到大的顺序相加。
8、 （ ）10nn2. 为了减少误差,应将表达式 改写为 进行计算。 （ 对 ）201920193. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。 （ ）4. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。 （ ）复习试题一、填空题：1、 410A，则 A 的 LU 分解为 A。答案： 15640152、已知 3.)(,2.)(,0.1)( fff ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得3_dx,用三点式求得 )1(f 。答案：2.367，0.253、 1)3(,2)(,1)(fff ，则过这三点的二次插值多项式中 2x的系数为 ，拉格朗日插值多
9、项式为 。答案：-1 ， )2(1)3(2)(2)( xxxxL4、近似值 *0.31关于真值 9.0有( 2 )位有效数字；5、设 )(xf可微 ,求方程 )(xf的牛顿迭代格式是( )；答案 )(11nnf6、对 )(3xf,差商 3,210f( 1 ), 4,320f( 0 )；87、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程 f (x)=0 在区间(a,b )内的根时，二分 n 次后的误差限为( 12nab)；10、已知 f(1)2，f (2)3 ，f(4)5.9，则二次 Newton 插值多项式中 x2 系数为( 0.15 )；11、 两点式高斯型求
10、积公式 10d)(xf( 10 )321()3(2)ffxf)，代数精度为( 5 )；12、 解线性方程组 Ax=b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。13、 为了使计算 32)1(6)(4130xxy的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 ,6(1t ，为了减少舍入误差，应将表达式9201改写为 1920 。14、 用二分法求方程 )(3xf在区间0,1内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。 15、 计算积分 5.0dx,取 4 位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268 ，用辛卜生公式计算
11、求得的近似值为 0.4309 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。16、 求解方程组 042.0151x的高斯塞德尔迭代格式为 20/3)5(1)21kkx，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径 )(M= 12 。17、 设 46)2(,1)(,0)(fff ,则 xl )2()xl ， )(xf的二次牛顿插值多项式为 )(7xN 。918、 求积公式 baknkxfAxf)(d)(0的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具有( 12n )次代数精度。19、 已知 f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求 51d(xf( 12 )。20、 设 f
12、 (1)=1， f(2)=2，f (3)=0 ，用三点式求 )f( 2.5 )。21、如果用二分法求方程 043x在区间 2,1内的根精确到三位小数，需对分（ 10 ）次。23、 )(,)(,10lxln 是以整数点 nx, 为节点的 Lagrange 插值基函数，则nk( 1 )， kkjx0( j )，当 2时)(3(204xlkk( 324x )。26、改变函数 f1 ( 1)的形式，使计算结果较精确 xxf。27、若用二分法求方程 0f在区间1,2内的根，要求精确到第 3 位小数，则需要对分 10 次。29、若用复化梯形公式计算 10dxe，要求误差不超过 610，利用余项公式估计，至
13、少用 477个求积节点。30、写出求解方程组 24.61x的 Gauss-Seidel 迭代公式 ,0,.2112kxxk，迭代矩阵为 64.01，此迭代法是否收敛 收敛 。31、设A543,则 9 。32、设矩阵8257136A的 ALU，则 482016U。33、若 4()fx，则差商 248163,f 3 。34、数值积分公式1 09()()()fxdf 的代数精度为 2 。1035、 线性方程组12053x的最小二乘解为 1。36、设矩阵321045A分解为 ALU，则 32401。二、单项选择题：1、 Jacobi 迭代法解方程组 bx的必要条件是（ C ） 。AA 的各阶顺序主子式
14、不为零 B 1)(A C niai ,21,0 D 2、设 753，则 )(A为( C )A 2 B 5 C 7 D 33、三点的高斯求积公式的代数精度为( B )。A 2 B5 C 3 D 44、求解线性方程组 Ax=b 的 LU 分解法中，A 须满足的条件是( B )。A 对称阵 B 正定矩阵 C 任意阵 D 各阶顺序主子式均不为零 5、舍入误差是( A )产生的误差。A. 只取有限位数 B模型准确值与用数值方法求得的准确值C 观察与测量 D数学模型准确值与实际值 6、3.141580 是 的有( B )位有效数字的近似值。A 6 B 5 C 4 D 7 7、用 1+x 近似表示 ex 所产生的误差是 ( C )误差。A 模型 B 观测 C 截断 D 舍入 8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( A )。A控制舍入误差 B 减小方法误差C防止计算时溢出 D 简化计算
