1、一元函数的连续性第四章 函数的连续性1 连续性概念1. 按定义证明下列函数在其定义域内连续:(1) ;(2) .xf)(xf)(证明(1) 的定义域是 且 ,取 ,由函数极限四则运算可知1Rx0x,所以 在 连续.由 在定义域内的任意性知)(lim)(li 0000 fxxf)(f00在其定义域内连续.f(2) 的定义域是 ,任取 ,由于 ,所以对任给的 ,取)(xRx0 00xx0,使得当 时有 .0 )(f按函数在一点连续的 定义, 在 连续,由 在 中的任意性知 在定义域x00xR)(xf内连续.R2. 指出下列函数的间断点并说明其类型:(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;xf1)(
2、xfsin)(cos)(xfxfsgn)(5) ;(6) )sgn(co)(f ;,)(为 无 理 数为 有 理 数f(7) .1,sin)1( ,7,) xxxf解(1)因 仅在 处无定义,故 为函数的间断点 ,又因 ,f00)(lim0xfx,所以 为第二类间断点.)(lim0xx(2)因 仅在 处无定义,故 为函数的间断点, 又因f00x所以 是 的,1sinlsinlm)(li1sinl)(li 00000 xxfxxxx 0x)(f第一类间断点,且为跳跃间断点.(3)由于 而 ,所以,0coslimZnxnx 01)(cos)( nf为该函数的可去间断点.)(Z(4)由于 故 ,而
3、,所以 为函数的可去间断点.,0,1sgnx1)(limxf0)(fx(5)由于 )23,2(1,)sgn(co)( kxxf故 所以,1)(lim,1(li,)lim,)(li )2()2()2()2( xfxfff kkxkxkx 皆为函数的跳跃间断点.,10(6)当 时,由于存在有理数列 和无理数列 使得 : 且 ;0xnxnx0xn )(0nn且 ,n )(0nn故 而且,)(lim)(lilim)(li 0xxfxf nn ,0x据函数极限的归结原则, 不存在,同理 也不存在,所以 的点皆为函0x (li0fx数的第二类间断点.(7)因为 所以 为函数的第二类间断点 .,71li)(
4、li)()7( fxx 7因为 即 所以,01sin)(lim,m1111 xfx ),01()(ff为函数的跳跃间断点.综上, 是该函数的第二类间断点, 是该函数的跳跃间断点.x3. 延拓下列函数,使其在 上连续:R(1) ;(2) ;(3) .28)(3f 2cos1)(xfxf1cos)(分析:如果函数 在 上无定义的点皆为可去间断点 ,那么只需在每个无定义的点 处xf 0x补充定义 ,就可以使 的定义扩大到 上且处处连续.)(lim)(0fx)(fR解(1) 在 时无定义,而 ,故)(f2 12)4(lim28li)(li 232 xxfxx为 的可去间断点,令 则 为 在 上的延拓,
5、2x)(f ,2,1)(xfxF)(FxfR且在 上连续.,(2) 在 时无定义,)(xf0而 ,所以 为该函数的可21sin21limsin2lcos1lim)(li 00200 xxxf xx 0x去间断点.令 则 为 在 上的延拓,且在 上连,2)(fF)(FfR),(续.(3) 在 时无定义,)(xf0而 ,所以 为该函数的可去间断点.1coslimli00xxx 0令 则 为 在 上的延拓.,)(fF)(FxfR4. 证明:若 在点 连续,则 与 也在点 连续.又问: 若 或 在 上连续,那么f0xf20f2I在 上是否必连续?I分析 将 和 与 的不等式关系找出,从而利用)()0x
6、ff)()022xff)(0xf极限定义求证其连续,即运用极限理论讨论可得结论.证明(1)因为 在点 连续,所以 ,则根据极限的 定义,对任给的)(f0 )(lim00ffx,存在 ,使得当 时有 .0x又因 所以当 时也有.所以 ,即,)()()00fxff0 )()lim00xffx可知 在点 连续.(2) 因 在 连续,即 ,所以由函数极限的局部有界性知,存在 ,)(xf0 )(lim00xffx M使得当 时,有 .取 ,当 时,有 .11Min1 0x )()()() 00022 xfxfxff Mxffxf 2)()(00 所以 在 连续.2f0x但是,当 或 在 上连续时, 在
7、上不一定连续.例如 则f2IfI ,1)(为 无 理 数为 有 理 数xf, 为常数 1,故处处连续,但 却处处不连续.f2 )(xf5. 设当 时, ,而 .证明: 与 两者中至多有一个在 连0x)(gxf)0(gfg0x续.证明:反证法 假设 和 都在 连续,即 , ,又因)(fx)0(lim0fxf)(ligx时, ,所以 ,从而有 ,这与题设0xxgf)(li)(lim00gfxxg相矛盾.因此假设错误. 与 两者中至多有一个在 连续.)(f 0x6. 设 为区间 上的单调函数 .证明: 若 为 的间断点,则 必是 的第一类间断点.I Ix0f0f证明:设 在 上递增,当 且 不是 的
8、端点时 ,必存在 的某邻域 ,因)(xf I0 xIxU)(0在 内递增且以 为上界,在 内递增且以 为下界,据函数极限0U)(xf)(0xU)(0f的单调有界原理知 与 都存在,从而 是 的第一类间断点.lim0xli0x x当 且为 的左(右) 端点时, 在 处的右(左) 极限存在,所以 仍为第一类间断点.Ix0 f0 07. 设函数 只有可去间断点,定义 .证明 为连续函数.f limyfgxg证明:设 的定义域为 ,则对任意的 ,因为 ,所以对任意的 ,II0 )(li)(0yfxy 0存在 ,当 时,有 .0)(0xUy)(xgyf对任意的 ,因为 ,所以对同一 ,存在 ,使lixy
9、,且对任意的 时,有 .从而有)(),(0x )( )(xgyf.2)( 00 xyfxgyfgg从而得 ,所以 在点 处连续.由 的任意性知, 在 上连续.)(lim00xx)0I8. 设 为 上的单调函数,定义 .证明 在 上每一点都右连续.fR)(xfgR证明:假定 为 上的单调函数.对任意的 ,因 存在,即 ,所以对任意的 ,存在x0)0(xf )0()lim0xffx 0,当 时,有 .00x)0()xf取 使 ,有 .又由 在 上的单调增加性有x fR,即有 )0()()()(00 xfxffxff.由此可知,对一 0) 0ggxg切 有 .因此点 是 的右连续点,再由 在 上的任
10、意,(0)(xgx0xR性,推得 为 上的右连续函数.R9. 举出定义在 上分别符合下述要求的函数:1,(1) 只在 和 三点不连续的函数;324(2) 只在 和 三点连续的函数;,(3) 只在 上间断的函数;),1(n(4) 只在 右连续,而在其它点都不连续的函数.0x解(1) .12,43,24)(xxxf(2) .,0),4(3)()为 无 理 数为 有 理 数xxf(3) .sin1)(xf(4) .,0)(为 无 理 数为 有 理 数f2 连续函数的性质1. 讨论复合函数 与 的连续性,设gff(1) ;21)(,sn)(xxf(2) .)1(),sgn)(2xxxf解(1)由于 ,
11、故 ,所以 在所有02 1)sgn()(2xxfgf gf点上都连续.又 且 ,所以,0,21)(sn1)()( xxfgf )0()(limffx为 的可去间断点,其余点均为 的连续点.0xf fg(2)由于 ,101,0,)1(sgn)(2 xxxxf 或或且 ,)(lim1fx ,)(li1fx,)(lim0gfx,)(ligfx,1)(lim1gfx所以 在 处有跳跃间断点,在其它点连续.gg又 ,所以 处处连续.sn)()(2xxf fg2. 设 在点 连续,证明 :g,0(1) 若 ,则存在 ,使在其内有 ;)(xf);(0xU)(xgf(2) 若在某 内有 ,则 .0gf(00f
12、证明(1)令 ,则 ,)()(xxF)xF又因为 在点 连续,由定理 4.4 知 在点 连续.由连续函数的局部保号性,对任何正gf,0 0数 ,存在某 ,使得对一切 ,有 ,即存在 ,使得对)(xr)(xU)(xU0(rF)(0xU一切 ,有 ,即 .0)(gfFgf(3) 由 在点 连续可知 ,有 , ,又因为在)(xgf0 )(lim00xx)(li00xg内有 ,则有极限保号不等式性有0U)(xf.)(lilim)( 000 gxfxx3. 设 在区间 上连续.记 .g,I)(,min)(,axgfxGxfF证明 和 也都在 上连续.FG证明:法一利用第一章总练习题 1 的结论.因 在
13、上连续,)(,xgfI而 ,是由)()(21)()(21 2xGfxgfxGffF 经过加,减,乘运算及其幂函数的复合运算所得,故 也在 上连续.)(xgf FI法二 利用 和 的性质,由 的连续性推出 和 的连续性.maingf,对区间 上任意一点 , 在点 连续,则对任给 ,存在正数 ,使得当I0xf0x021时,有 ,当 时,有10x)()(f 2x.取 ,)(0xgg min21则有 , 同时成立.)(0ffxf )()(00xgxg从而有 且 .),(ma0x,af即 .又有 且)(,axfgf )(),(0xfxf,即 .综合以上得)(),(ax0xma(,0ggf.由 的任意性得
14、)(,)(a0 xfxf.即 同理可证,m)(,alim00 fxgxli00Fx.)(00G4. 设 为 上连续函数,常数 .记 证明 在 上连续.fR0c.)(,)(,cxfcffxF若若若 FR证明:令 ,因常数 , 都在 上连续,所以由 3 题结论知)(,min,ax)(fF)(fR在 上连续,又因 也在 上连续,再由 3 题结论知,minfcRcR在 上连续,即 在 上连续.)(iaxxfF5. 设 .0,sin)( xgf 证明复合函数 在 连续,但 在 不连续.f0xg证明:因 所以 ,0),sin()(xxgf 0)sin(lm)(li00 xxgfx.又 ,故 在 连续,但是
15、lm(li00fxx )(ff, ,因 ,故)(i)g lim)(li00xgx )(li)(li00xgx在 不连续.(6.设 在 上连续,且 存在.证明: 在 上有界,又问 在 上必f)a)(lifxf)af),a有最大值或最小值吗?证明(1)由于 存在，设 ，则根据极限定义，对 ，存在 ，)(limfxAfx)(li 1M使得当 时，有 ，从而 。M1 AxfAxf )()(又因为 在 上连续，从而在 上连续，根据闭区间上连续函数有界性知，)(xf),a,Ma存在 ，使得对一切 ，有 ，取 ，则对一切01G,x1)(Gxf1,max，恒有 ，故 在 上有界。),xGf)(,（2）虽然 在
16、 上连续且有界，但 不是闭区间，因此不能保证 在xf,a)af上一定有最大值或最小值。例如： 在 上连续， ，但),a xf1(),01limx在 上无最小值。(xf,17若对任何充分小的 ， 在 上连续，能否由此推出 在 内连续。0f,baf),(ba解：可推出 在 内连续。证明如下：)(xf,ba任取 ，令 ，则 ，,02,min000xba0且 。从而000000 2,2 xbxaa ，因 在 上连续，所以 在 连续。由),(,00bx)(f,0a)(f0的任意性，证得 在 内连续。xf8求极限：（1） ；（2） 。xxtan)(lim412lim21xx解：（1）由于 为初等函数，点
17、在定义域内，从而函数在该点连续，于是有t4。 31)(tanli)(tan)(li 44 xxxx（2）该函数为初等函数，在 处右连续，故1。2321lim221 xx9证明：若 在 上连续,且对任何 ， ，则 在 上恒正或恒fba,bax0)(xff,ba负。证明：反证法。若 在 上有正值也有负值，不妨设 ，使f, nm，因 在 上连续，从而 也在 上连续，且0)(,)(nfmf )(x,ba)(xf,，由根的存在性定理，至少存在一点 ，使得 ，与题中00)(xf条件矛盾，因此假设错误，故 在 上恒正或恒负。)(xf,10证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根。证明：设方程为： ,其中 为奇
18、数， ，不0110 nnnn axa 0a妨设 ，记 ，0axxf1)(则 ，af nnxx 0limli， xf nnxx 10li)(li由 ，知任给 ，存在 ，当 时， 。lifx M0Nx0)(Mxf由 ，知任给 ，存在 ，当 时， 。)(m由上知， 在 上连续，且 ，由根的存在性定xf1,N0)1(,)(ff理，至少存在一点 ，使得 ，故 至少有一个实根。)(00xx11.一致连续的定义证明：若 都在区间 上一致连续，则 也在 上一致连续。gf,IgfI证明：因 在区间 上一致连续，则任给 ,存在 ,使得对任意的gf,I00,21，只要 ，就有 。当 ，就有Ix, 1x)(xff x
19、。取 ，那么对任何 ，只要 ，就有)( ,min2I, )()()( xgxffxgfxf 。)(由定义， 在 上一致连续。xfI12.证明 在 上一致连续。)(),0证明： 1,0因为 在闭区间 上连续，据一致连续性定理知， 在 上一致连续。xf)(, )(xf1,0由于 时，有 ，所以对,1, 2)(xxff 任给的 ，可取 ，只要 ，且 ，就有02,1, 。由定义， 在 上一致连续。)(xfxf )(xf),综上， 在 上一致连续。f,013.证明： 在 上一致连续，但在 上不一致连续。2)(x,ba),(证明：先证 在 上一致连续，由于 时，有f ,bax xbaxxxxf ,m2)()()(2令 ，所以对任给的 ，取 ，当 且 时，,ma2bc0c,有 ，故 在 上一致连续。)(xf)(xf,ba再证 在 上不一致连续。,取 ，无论正数 多么小，存在 满足：102,112xx
