1、第一章 绪论（12）1、设 ，x 的相对误差为 ，求 的误差。0xln解设 为 x 的近似值，则有相对误差为 ，绝对误差为* )(*xr，从而 的误差为 ，)(ln* 1l)(l相对误差为 。*lnl)()(lxxr 2、设 x 的相对误差为 2%，求 的相对误差。解设 为 x 的近似值，则有相对误差为 ，绝对误差为* %2)(*xr，从而 的误差为%)(n，nnxn xxx *1* 2)()l 相对误差为 。)(l(l*nr3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：， ， ， ， 。102.*x031.*x6.85*x430.*x0.
2、17*5x解 有 5 位有效数字； 有 2 位有效数字； 有 412 6.385*x位有效数字； 有 5 位有效数字； 有 2 位有效数字。4.6*x .*5x4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中 均为第 3 题所*43*1,x给的数。（1） ；*42*1x解 ；3334*4*2*11*05.2012 )()()( xxxfenkk（2） ；*3x解 ；52130964.096425.13 10782.878 102)3.().().()()3 334 *21*231*321*321* xxxxfxenkk （3） 。*2/x解 。532 3232*42*241*42 1086.
3、0)43.56( 10).6()5(. )()()()/( xxxfenkk 5、计算球体积要使相对误差限为 1%，问度量半径 R 允许的相对误差是多少？解由 可知，3*3* )(4)(%1Rr ，)()(4)()(3)(34 *2*3*3*3* RR 从而 ，故 。*1)( 301%)(*Rr6、设 ，按递推公式 计算到 ，若取280Y ),2(7810nYn 10Y（五位有效数字， ）试问计算 将有多大误差？9.730解令 表示 的近似值， ，则 ，并且由n nne)(* )(*Ye， 可知，82.10Y78310Y，即)9.7(nn，)78392.(10()()( 2*1* nYee从而
4、 ，8.73)82.(00Y而 ，所以 。310298.73 310*2)(Y7、求方程 的两个根，使它至少具有四位有效数字（562x）.解由 与 （五位有效数字）可知，7832x982.7（五位有效数字） 。5.1 而 ，只有两位有效数字，不符合题意。01.22x但是 。2107863.92.57838 8、当 N 充分大时，怎样求 ？1Ndx解因为 ，当 N 充分大时为两个相近数相dxarctn)arctn(12减，设 ， ，则 ， ，从而)arctn(ta1tan，)(1t1)tn( 2N因此 。1arctn22dxN9、正方形的边长大约为 100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过
5、1 ?2cm解由 可知，若要求 ，则)()()()( *2*2* llll )(2*l，即边长应满足 。01* ll 01l10、设 ，假定 g 是准确的，而对 t 的测量有 秒的误差，证明当 t21tS .增加时 S 的绝对误差增加，而相对误差却减少。证明因为 ，* 1.0)()()( gtttdS，所以得证。*2* 5)(1)( tttgSr11、序列 满足递推关系 ，若 （三ny ),21(10nyn 41.20y位有效数字） ，计算到 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？10y解设 为 的近似值， ，则由 与ny nny)(*102ny可知， ， ，即104.n 20*1)(y )(11
6、n，)()( 0*yn从而 ，因此计算过程不稳定。82110 1012、计算 ，取 ，利用下列公式计算，哪一个得到的结果最6)2(f 4.好？ ， ， ， 。6)1(33)2(2709解因为 ，所以对于 ，1*02f 61)(f，有一位有效数字；2417*1* 105.02)4.(6).)( efe对于 ，32)(f，没有有效数1112* 02.0)4.1(64.1) ee字；对于 ，33)2(f，有一位有效2314*3* 1065.20).1(64.1) efe数字；对于 ， ，没27094f 111*4* 227).()(ef有有效数字。13、 ，求 的值。若开平方用六位函数表，问求对数)
7、1ln()2xxf )30(f时误差有多大？若改用另一等价公式 计算，求)1ln()1ln22xx对数时误差有多大？解因为 （六位有效数字） ， ，所以983.21302 4*102)(x，244*1* 109.02983.0)()() xefe。6442*2* 1083.10983.0)()( xxefe14、试用消元法解方程组 ，假定只有三位数计算，问结果是211x否可靠？解精确解为 。当使用三位数运算时，得到0,0121x，结果可靠。,12x15、已知三角形面积 ，其中 c 为弧度， ，且测量absin220ca，b，c 的误差分别为 ，证明面积的误差 满足, s。cbs解因为 ，cab
8、cacbxfsnkk os21sin21sin21)()(1所以 。cbcbcacbs tnsi2oi2第二章 插值法（40-42）1、根据（2.2）定义的范德蒙行列式，令，证明 是 n 次多项式，它的 nnnnn xxxxxxV 211020110),( )(xV根是 ，且 。121,n )()(,(),( 10110110 nnnn xV 证明由 可得求证。 1010 0)(),( )(,njjn njjiijinxxVxx2、当 时， ，求 的二次插值多项式。2,x4,3ff解 。37265)1(34)2(1 )12(4)(0 )()()()(22 120210120102 xxx xx
9、yxyxxyL3、给出 的数值表用线性插值及二次插值计算 的近似值。fln) 54.0lnX 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8xl-0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144解若取 ， ，5.06.1x则 ， ，则9347)()0ffy 510826.)6.()1fxfy，047.82.)50(1826.5)(93147.6 .0 xxxxyL从而 。62018.65195347.3 若取 ， ， ，则 ，.0x.12x 9).()0fxfy， ，则690)5()1ffy (2，21709.06845.415.2)9(3 )24.0(
10、34.6.8. )(.5.0)51026()6.05)(.(4)917(.4.(6(9. )()()()(2 2 122020120102 xx xxxx yxxyyxL从而 。6153984.0.93. 2784)( L4、给出 的函数表，步长 ，若函数具有 5 位有效0,cosx )/(h数字，研究用线性插值求 近似值时的总误差界。xcos解设插值节点为 ，对应的 值为 ，函数表值为010 xcos10,y，则由题意可知， ， ，近似线性插值10,y 52y512y多项式为 ，所以总误差为01011)(xxyxL，从而100110010 01 ,)()()(2cos!)()()( xxyx
11、yxxf LLfR 。555552 0110510010 1047.3294.624241)()( h xxxxR5、设 ，求 。3,1,0kxk )(ma20xlx解 。)3)()(max212)()(axax003 0032120230303030 hxhhxxlx 令 ，则)34()8()4() 020320203 xhf ，从而极值点可能为32) hxhxxf，又因为hxhx37437)4( 6)(12)(00 200，30 )20714(3751)( hhf ，30 )(374)(hxf 显然 ，所以)374()(00 hxff。2710)420(1)(21)(max 330330
12、hfhl6、设 为互异节点，求证：),njj1） ；),10()(0kxlnjjk 2） ；),2()(0 nlknjjkj 解1）因为左侧是 的 n 阶拉格朗日多项式，所以求证成立。kx2）设 ，则左侧是 的 n 阶拉格朗日多项式，令yf)()kxyf)()，即得求证。xy7、设 且 ，求证 。baCf,)(20)(bff )(max)(81)ma2fbfbbx 解见补充题 3，其中取 即得。0)(bfaf8、在 上给出 的等距节点函数表，若用二次插值求 的近似4xxe( xe值，要使截断误差不超过 ，问使用函数表的步长 h 应取多少？61解由题意可知，设 x 使用节点 ， ， 进行二次插值
13、，则x101x12插值余项为 ，20111202 ,),()(6!3)( xhxxhxefR 令 ，)()3()()( 211213111 hxhxf 则 ，从而 的极值点为 ，故)3(63212hxf )(xfx1，而39)()()(max20 hf ，要使其不超过 ，则有34342 2796)(a6)(20 ehexfeRx 610，即 。3417h 222 47.1089.610 e9、若 ，求 及 。ny2ny4n4解 。nnnnn nnnnnj jnjj njjnn yyyyyEIE282432166 4)1(34)1(4)1()1(0)(4 2234 40044 。222121 2
14、413212040424021)4(18431664 )()(4)()()( )1()( nnnnn nnnnnj jnjj njj j njjjnn yyyyyEyEyy10、如果 是 m 次多项式，记 ，证明 的 k 阶差分)(xf )()xfhfxf)(xf是 次多项式，并且 （l 为正整数） 。0kfkk0lm证明对 k 使用数学归纳法可证。11、证明 。kkgffgf1)(证明 。kkkkk kgffff f 1111 1)()(12、证明 。010 nkknnkk fgfgff证明因为，故得证。010110 111010 )()()( )gffgffgf ffg nnkkknk kknkknkkk 13、证明： 。0102yynnjj证明 。010102)(ynj jjnj 14、若 有 n 个不同实根 ，证明nxaxaf 11)( nx,21。,0)(11kfnjjk证明由题意可设 ，故niinn xaxxaxf 121 )()()
