1、第六章 代数系统6.1 第 129 页1证明：任取 ， ，因此，二元,xyI(,)*(,)gxyxyxyg运算*是可交换的；任取 ，,z()*()gxyzxzyxy(,)*()(,)gzxyzxyzg因此，运算*是可结合的。该运算的么元是 0，0 的逆元是 0，2 的逆元是 2，其余元素没有逆元。2证明：任取 ，由 知， ，*运算,xyN*,xyxyxy不是可交换的。任取 ，由 ， 知，,z()z(*)z，*运算是可结合的。(*)xyy任取 ， ，可知 N 中的所有元素都是等幂的。Nx*运算有右么元，任取 ， ，知 N 中的所有元素都是右么元。,xy*运算没有左么元。证明：采用反证法。假定 为
2、*运算的左么元，取 ，由*的运算公式知e,bNe，由么元的性质知， ，得 ，这与 相矛盾，因此，*运算没*ebe有左么元。3解： 任取 yxI,的 最 小 公 倍 数和yx*的 最 小 公 倍 数和的 最 小 公 倍 数和 yx因此对于任意的 都有 ，即二元运算*是可交换的。Iyx, x 任取 ,z 的 最 小 公 倍 数的 最 小 公 倍 数和）（ zyxyxyx ,)(*的 最 小 公 倍 数的 最 小 公 倍 数和（ zz)因此对于任意的 ，都有 ，即二元运算*是可结合的。， yx )*zyxzy（）（ 设幺元为 e，则 ，即幺元为 1.x的 最 小 公 倍 数和*1e 对于所有的元素
3、，都有 ，所以所有元素都是等幂的。Ixx*4解：设 nX 设 是 上的二元运算，则 是一个从 的映射。f fX2求 上有多少个二元运算即相当于求这样的映射的个数。由于 ，映射 的个数为 ，即 上有 个二元运算。2nXf2n2n 可交换即 xyxf,设集合 ，要求 上可交换的二元运算的个数，即相当于求映射 的个数，4,321Xf，其中：XAf: 4,3,2,1,43,2, 具体如下图所示：A4,32,1,4,2,3,1, X4321此时映射 的个数f 44642CN推广到 有 个元素时，映射 的个数XnfnCnN2 单位元素即幺元，若存在必唯一。设集合 ，若幺元为 1，则有4,32141,4,此
4、时的二元运算的个数相当于求映射 的个数，其中：XAf:3,42,34,2,A4321X映射 的个数为XAf:2)14(9N幺元为 2，3，4 时同理，2)14(94CN因此集合 上有 个有单位元素的二元运算。,1X2)(4推广到 有 个元素时，具有单位元素的二元运算的个数为 。n2)1(nnCN5解：任取 Ra321, 1*a212122 *a对于任意的 都有 ，故二元运算*是可交换的。R1,a321321321*a)()( a若 ,321， ，此时6*3a0)*(21a)*(*321321a故二元运算*是不可结合的。不存在这样 使得任意的 都有 ，eRxxe因此，二元运算*不含幺元。 2/1
5、21aa2121*/aa对于任意的 都有 ，故二元运算*是可交换的。R21,2 422/* 3131321321 aaaaa 42/)( 3132131321321 a故二元运算*是不可结合的。不存在这样 使得任意的 都有 ，eRxxe2/)(*因此，二元运算*不含幺元。 2121/aa2*因此，二元运算*是不可交换的。32131321321 / aaaa 3211321321321 /)/(*)(* 故二元运算*是不可结合的。由于二元运算*不是可交换的，所以不存在这样 e使得任意的 Rx都有，xeex/因此，二元运算*不含幺元。6设 是 中的任意元素。X由于二元运算*是可结合的，故 )*()
6、(xx又对于任意的 ，若 ，则y, xy*故 *即对于 中的任意元素，都有 ，X所以 中的 每一个元素都是等幂的。6.2 第 137 页4证明：首先，U 和 V 都只含有一个二元运算，因此是同类型的；第二， 的定义域是自然数集合 ，值域是 ，是 V 定义域的子集。fN0,1第三，验证是否运算的像等于像的运算。任取 ，分情况讨论：,xy（1） x 和 y 都可以表示成 ，设 ，2k12,kkxy那么 ，1212()()()kkfxyffA()1fxyxyA（2） x 和 y 都不能表示成 ，那么 也不能表示成k k,()0fA()0f()fxyA（3） x 可以表示成 ，y 不能表示成 ，那么
7、也不能表示成2k2kxyA2k,()0fyA()1,)0ff(xA（4） x 不可以表示成 ，y 能表示成 ，那么 也不能表示成2k2ky2k,()0fA(),()1ff1xA可知，无论 x 和 y 如何取值，都能够保证 。()()fxyfxA综上所述， 是 U 到 V 的同态映射。f5证明：设 ，,abc1,23首先，U 和 V 都仅有一个二元运算，因此 U 和 V 是同类型的；第二，U 和 V 的定义域大小相同，具备构成双射函数的条件；第三，寻找特异元素，U 中么元是 a，右零元是 c，三个元素都是等幂元；V 中么元是 3，右零元是 1，三个元素都是等幂元。第四，在 U 和 V 的定义域之
8、间构造双射函数 ，使得 。f()3,()2,()1fafbfc把*运算表中的元素都用 f 下的像点代替，得调整表头的顺序为 1，2，3，转变为下表3 2 13213212221111 2 3跟 V 中 运算表完全相同，因此代数系统 和 是同构的。,abc1,236.证明：(1) 两个代数系统都只存在一个二元运算，故满足同型。(2) 构造函数 ，使得 ，显然 是双射函数。f()= f(3) 对于任意的 ,XY()=()=()()=故 ，所以满足运算的像=像的运算。()=()()由(1),(2),(3)可知，两代数系统是同构的。7.解： 5,4321,06mod)(pxXfp当 时， 零同态；00
9、f当 时， 恒等映射，自同态；1当 时， ；2p 4,52,0,34,2,1,2 f当 时， ；3 330当 时， ；4 ,4f当 时， 自同构。5p 1524342518.证明： 的 个复数根可表示成：01nx 1,.210,2,sincos nknikk iiki (1) 与 都含有一个二元运算，故为同型的。,nEnN,(2) 与 定义域大小相同，具备构成双射函数的条件。,123111222123(3) 构造双射函数nkxfiimod)(对于任意的 ，nkE21,)(mod)sin(cs )sincosinic( )i()si(o)21 21 212121 2211kkf kikf kfx
10、k )(od( )(od)(m)212211nknxffknk因此， 。)(21knkkxffxf由(1),(2),(3)可知， 同构于 。,nEN,9证明：(1) 是代数系统 到当 的同态映射g,*X,YY又 是 的子代数,1,XYg1(2) 对于 ，必存在 ，,1ba1,Xba使得 ，Xgba由于 为代数系统 到当 的同态映射,*,YbabaXgXg，又 是 的子代数1,1,*故 对 *运算封闭1X1ba，即gg1Xgba对 运算满足封闭性。X由(1),(2),(3)可知 , 为 的子代数。,1,Y6.3 第 141 页1解：解：首先，判断 是否是等价关系。任取 ，由于 ，因此 ，mxI0
11、xmmx是自反的；任取 ，若 ，即 （ ） ，则m,xyImyaI， ，因此 是对称的；任取 ，若 ，yxam,yz,myz则 （ ） ， （ ） ，于是IzbI， ，因此 ，可知 是可传()()()zyamxzm递的。因此， 是等价关系。m其次，判断 关于*是否满足代换性质。任取 ，若 ，即存在某个 ，满足,xyImypIxyp*()od)k则 01122011*()(od)()()kkkkkkxypCmCypCypm 于是12101*()()()kkkkxypmCypmCypm 由于 ，因此，12101()()kkkkyI ， 关于*是满足代换性质。*)mxym综上所述， 是 上的同余关系。U2.解：（1）对于+运算，在二元运算下，任取 ，验证下式是否成立12,xyI1211xRy行取 ，可知满足 ， ，但22,xy1xRy2，即 。可知对于运算+，R 不满足代换性质。11|1x2（2）对于 运算，在二元运算下，任取 ， 1,I若 ， ，则必然满足1xRy2 2|yx于是 12121|x可得 。12由 取值的任意性可知，对于运算 ，R 满足代换性质。,xy3证明：(1) 对于 ，有21,yx21,Ryx由于 对 具有代换性质，所以有R3)()(11y由此可知：
