1、绝密启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷 5页，23 小题，满分 150分。考试用时 120分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改
2、液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 A=x|x1000的 最 小 偶 数 n， 那 么 在 和 两 个 空 白 框 中 ， 可 以 分 别 填入A A1 000和 n=n+1 B A1 000和 n=n+2 C A1 000和 n=n+1 D A1 000和 n=n+29已知曲线 C1： y=cos x， C2： y=sin (2x+ 23)，则下面结论正确的是A把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变，再把得
3、到的曲线向右平移 6个单位长度，得到曲线 C2B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C2C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6个单位长度，得到曲线 C2D把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C210已知 F为抛物线 C： y2=4x的焦点，过 F作两条互相垂直的直线 l1， l2，直线 l1与 C交于 A、 B两点，直线 l2与 C交于 D、 E两点，则| AB|+|DE|的最小值为A16 B14 C12 D10
4、11设 xyz为正数，且 35xyz，则A2 x100且 该 数 列 的前 N项 和 为 2的 整 数 幂 。 那 么 该 款 软 件 的 激 活 码 是A440 B330 C220 D110二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。13已知向量 a， b的夹角为 60，| a|=2，| b|=1，则| a +2 b |= .14设 x， y满足约束条件210xy，则 32zxy的最小值为 .15已知双曲线 C：21xyab（ a0， b0）的右顶点为 A，以 A为圆心， b为半径做圆 A，圆 A与双曲线 C的一条渐近线交于 M、 N两点。若 MAN=60，则 C的离心率为_。16
5、如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC的中心为 O。 D、 E、 F为圆 O上的点， DBC， ECA， FAB分别是以 BC， CA， AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC， CA， AB为折痕折起 DBC， ECA， FAB，使得 D、 E、 F重合，得到三棱锥。当 ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_。三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。17 （12 分） ABC的内
6、角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 ABC的面积为23sinaA（1）求 sinBsinC;（2）若 6cosBcosC=1， a=3，求 ABC的周长.18.（12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD中， AB/CD，且 90BAPCD.（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC， 90APD，求二面角 A-PB-C的余弦值.19（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N（1）假设生产状
7、态正常，记 X表示一天内抽取的 16个零件中其尺寸在 (3,)之外的零件数，求 ()PX及 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 (3,)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（ ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ ）下面是检验员在一天内抽取的 16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得169.7ix，1616222()()0.1i iisxx，其中 ix为抽取的第
8、 i个零件的尺寸， ,2用样本平均数 x作为 的估计值 ，用样本标准差 s作为 的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 (3,)之外的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到0.01）附：若随机变量 Z服从正态分布2(,)N，则 (3)0.97 4PZ，160.97 4.59 2， 0.8.920.（12 分）已知椭圆 C：2=1xyab（ ab0） ，四点 P1（1,1） ， P2（0,1） ， P3（1， 2） ， P4（1， 32）中恰有三点在椭圆 C上.（1）求 C的方程；（2）设直线 l不经过 P2点且与 C相交于 A， B两点。若直线 P2A与直线 P2B的斜率
9、的和为1，证明：l过定点.21.（12 分）已知函数 )fx（ ae2x+(a2) e x x.（1）讨论 (的单调性；（2）若 )f有两个零点，求 a的取值范围.（二）选考题：共 10分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为 3cos,inxy（ 为参数），直线 l的参数方程为4,1xaty（ 为 参 数 ）.（1）若 a=1，求 C与 l的交点坐标；（2）若 C上的点到 l的距离的最大值为 17，求 a.23选修 45：不等式选讲（10 分）已知函数 f（ x）=
10、x2+ax+4， g(x)= x+1+ x1.（1）当 a=1时，求不等式 f（ x） g（ x）的解集；（2）若不等式 f（ x） g（ x）的解集包含1，1，求 a的取值范围.2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. A 2B 3B 4C 5D 6C7B 8D 9D 10A 11D 12A二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。13 14-5 15 162323315cm三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必
11、考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。17 （12 分） ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 ABC的面积为23sinaA（1）求 sinBsinC;（2）若 6cosBcosC=1， a=3，求 ABC的周长.解：（1）由题意可得21sin23iABCSbcA，化简可得 3ia，根据正弦定理化简可得： 222sin3isnCisinC3BB。（2）由 2sinC 123cossinCcos1 3co6BABBA，因此可得 3，将之代入 2sinCB中可得： 231sinsisincosin032CC
12、，化简可得 3tan,6CB，利用正弦定理可得 31sin2abA，同理可得 3c，故而三角形的周长为 2。18.（12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD中， AB/CD，且 90BAPCD.（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC， 90APD，求二面角 A-PB-C的余弦值.（1）证明： /,ABCB,又 P,PA、 PD都在平面 PAD内，故而可得 D。又 AB在平面 PAB内，故而平面 PAB平面 PAD。（2）解：不妨设 2PABCa，以 AD中点 O为原点， OA为 x轴， OP为 z轴建立平面直角坐标系。故而可得各点坐标： 0,02,0,2,0ABa
13、Ca，因此可得 2PAaPP，假设平面 B的法向量 1,nxy，平面 的法向量 2,1nm，故而可得 101220Paay ，即 1,0，同理可得2202nPCamnamBn，即 20,1。因此法向量的夹角余弦值： 123cos,n。很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为 3。19（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N（1）假设生产状态正常，记 X表示一天内抽取的 16个零件中其尺寸在 (3,)之外的零件数，求 ()PX及 的数学
14、期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 (3,)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（ ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ ）下面是检验员在一天内抽取的 16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得169.7ix，1616222()()0.1i iisxx，其中 ix为抽取的第 i个零件的尺寸， ,2用样本平均数 x作为 的估计值 ，用样本标准差 s作为 的估计值 ，利用估
15、计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 (3,)之外的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到0.01）附：若随机变量 Z服从正态分布2(,)N，则 (3)0.97 4PZ，160.97 4.59 2， 0.8.9解：（1） 16740.952.48PX由题意可得， X满足二项分布 ,B，因此可得 16,0.16.6E（2）由（1）可得 10.485%PX，属于小概率事件， 1故而如果出现 (3,)的零件，需要进行检查。由题意可得 AAA9.7.239.4,310.6， 2故而在 .4,106范围外存在 9.22这一个数据，因此需要进行检查。此时： .10.5x，15.9i。20.（12 分
16、）已知椭圆 C：2=1xyab（ ab0） ，四点 P1（1,1） ， P2（0,1） ， P3（1， 2） ， P4（1， 32）中恰有三点在椭圆 C上.（1）求 C的方程；（2）设直线 l不经过 P2点且与 C相交于 A， B两点。若直线 P2A与直线 P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.解：（1）根据椭圆对称性可得， P1（1,1） P4（1， 32）不可能同时在椭圆上，P3（1， 2） ， P4（1， 32）一定同时在椭圆上，因此可得椭圆经过 P2（0,1） ， P3（1， 2） ， P4（1， 32） ，代入椭圆方程可得： 2,4baa，故而可得椭圆的标准方程为： 21xy。（2）
17、由题意可得直线 P2A与直线 P2B的斜率一定存在，不妨设直线 P2A为： ykx,P2B为： 1ykx.联立 2214804ykx，假设 1,Axy， 2,By此时可得： 2222814184,kkk，此时可求得直线的斜率为： 22212214884AB kkykx，化简可得 21ABkk，此时满足 k。当 2时， AB两点重合，不合题意。 1当 k时，直线方程为： 22218144kkyxk， 2即 2241kxy，当 时， ，因此直线恒过定点 ,。21.（12 分）已知函数 )fx（ ae2x+(a2) e x x.（1）讨论 (的单调性；（2）若 )f有两个零点，求 a的取值范围.解：（1）对函数进行求导可得 2 11xxxxfeeae。当 0a时， 10xa恒成立，故而函数恒递减 1当 时， lnxxfexa，故而可得函数在 1,lna上单调递 2减，在 1ln,a上单调递增。（2）函数有两个零点，故而可得 0a，此时函数有极小值 1lnl1fa，要使得函数有两个零点，亦即极小值小于 0，故而可得 1ln0aa，令 1glna，
