1、1第六章 定积分的应用第二节 定积分在几何上的应用1 求图中各阴影部分的面积 （1） .6(2) 1(3) 32(4) 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积 (1) 463(2) ln2(3) 1e(4) ba3 944 （1） （2）4 5 (1) a2 (2) 38(3) 216 （1） 43（2） 5（3） 2sincos及 13627求下列已知曲线所围成的图形 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积：（1） 2xxyy和 轴 、 向 所 围 图 形 ， 绕 轴 及 轴 。2（2） 2yx8,xy和 绕 及 轴 。（3） 516绕 轴 。（4）xy=1 和 y=4x、x=2 、y=0，绕。
2、（5）摆线 x=at-sin,cos,y0xyat的 一 拱 ， 绕 轴 。22348211,;();(3)60;(4);5a.5（ ）8由 yx3 x2 y0 所围成的图形 分别绕 x 轴及 y 轴旋转 计算所得两个旋转体的体积7Vy6459把星形线 所围成的图形 绕 x 轴旋转 计算所得旋转体的体积3/2/3/2ax 32105a10 （1）证明 由平面图形 0axb 0yf(x)绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积为 证明略。badfV)(（2）利用题（1）结论 计算曲线 ysin x(0x)和 x 轴所围成的图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积 211计算底面是半径为 R 的圆 而垂直于底面
3、上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积 34R12计算曲线 上相应于 的一段弧的弧长。32yx8x21313计算曲线 上相应于 的一段弧的弧长。ln(1)10ln14求星型线 的全长。6a3cosixaty315求曲线 的周长。8a1cosa第三节 定积分的应用第四节1 由实验知道 弹簧在拉伸过程中 需要的力 F(单位 N)与伸长量 s(单位 cm)成正比 即Fks (k 为比例常数) 如果把弹簧由原长拉伸 6cm 计算所作的功 18 k(牛厘米)解 将弹簧一端固定于 A 另一端在自由长度时的点 O 为坐标原点 建立坐标系 功元素为 dWksds 所求功为k(牛厘米) 1826060
4、skdW2直径为 20cm、高 80cm 的圆柱体内充满压强为 10N/cm2 的蒸汽 设温度保持不变 要使蒸汽体积缩小一半 问需要作多少功？ (J)0ln解 由玻马定律知 8)1(02kPV设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变 高度减小 x 厘米时压强 为 P(x)牛/厘米 2 则 0)()(2xx 80)(P功元素为 ddW1所求功为(J) 2ln80180)0(4042 dxx3设地球的质量为 M，半径为 R，现要将一个质量为 m 的物体从地球表面升高到 h 处，问需要做多少功（设引力系数为 G）？ h4半径为 R 的圆柱体沿固定水平面做纯滚动，试分别求圆心 C 沿其轨迹移动的距离 S 时，
5、作用于其上的静滑动摩擦力和滚动摩阻力偶的功解 圆柱体做平面运动，由运动学知，点 B 为圆柱体的速度瞬心，由式 （11-16）知圆柱体沿固定面做纯滚动时，静滑动摩擦力的功为零。4滚动摩阻力偶的功可利用滚动摩阻力偶矩 M= FN来计算所以它的元功为=-MdWsRFn如 及 R 均为常量，滚动一段路程 S 后滚动摩阻力偶的功为NW= - =- 0Sdsnn可见滚动摩阻力偶的功为负功，且其绝对值 与圆柱半径成反比W5设一锥形贮水池 深 15m 口径 20m 盛满水 今以唧筒将水吸尽 问要作多少功？解 在水深 x 处 水平截面半径为 功元素为xr3210 ddrW22)(所求功为1502)3(x1503
6、294d1875(吨米) 57785.7(kJ) 6 有一闸门 它的形状和尺寸如图 水面超过门顶 2m 求闸门上所受的水压力205 8(kN) 解 建立 x 轴 方向向下 原点在水面 水压力元素为 xddP21闸门上所受的水压力为(吨)=205 8(kN) 1525257 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体 尺寸如图所示 当水箱装满水时 计算水箱的一个端面所受的压力 17.3(kN)解 建立坐标系如图 则椭圆的方程为 1)43(2yx压力元素为 dxxdyxdP22)43()8)(所求压力为223022 cos43)sin1(3)(4tdxt(吨) 17.3(kN) 169cos920tdx(
7、提示 积分中所作的变换为 )tsin438 有一等腰梯形闸门 它的两条底边各长 10m 和 6m 高为 20m 较长的底边与水面相齐 计算闸门的一侧所受的水压力 14388(千牛)解 建立坐标系如图 直线 AB 的方程为 xy105压力元素为 dxddP)10()(2所求压力为6(吨)14388(千牛 )1467)50(2dxP9一底为 8cm、高为 6cm 的等腰三角形片 铅直地沉没在水中 顶在上 底在下且与水面平行 而顶离水面 3cm 试求它每面所受的压力 解 建立坐标系如图 腰 AC 的方程为 压力元素为xy32 dxdP)3(4)(所求压力为(克)1682()3(40360 dx(牛
8、)10 设有一长度为 l、线密度为 的均匀细直棒 在与棒的一端垂直距离为 a 单位处有一质量为 m 的质点 M 试求这细棒对质点 M 的引力 解 建立坐标系如图 在细直棒上取一小段 dy 引力元素为 dyaGmydF22dF 在 x 轴方向和 y 轴方向上的分力分别为r Fry 202202)(1)( laGmdyayaGmdraFllx )1()( 202202 lyrlly总复习题六71 填空题：（1） 曲线 与 直线围成所界区域的面积为 2yx2x 13（2）曲线 与直线 所界区域的面积为 1861y（3）曲线 上相应于 的一段弧长为 40sinxytd0x(4) 圆盘 绕 xb(ba0
9、)旋转所成旋转体的体积 22 2ab（5）一圆盘的半径为 ，而密度为 ，其中 为圆盘上一点到圆心的距离，则其质量RM02d(6) 半径为的球沉入水中，它与水面相切，密度与水相同，若将球从水中取出，则做 的功。2求抛物线 与 轴所围成图形的面积。23xyO3求抛物线 与 所围成图形的面积。244求圆 的面积、圆周长。ryx5求双纽线 的面积。2cos2a6求心脏线 绕极轴旋转所成旋转体体积。)1(r7求摆线 与 轴围成图形的面积，弧长，绕 轴旋转体体积。),cos(intayx)20(txx8求悬链线 下的曲边梯形的面积，弧长，绕 轴旋转体)(,)(2axcheax x体积。9抛物线 绕 轴旋转
10、所得旋转抛物面的体积。)0(,2xpy10证明曲线 的一个周期的弧长等于椭圆 的周长。sin 22yx811求椭球体 的体积。122czbyax12设有一半径为 ，长度为 的圆柱体平放在深度为 的水池中（圆柱体的侧面与水面Rl R2相切） 。设圆柱体的比重为 ，现将圆柱体从水中移出水面，问需做多少功？)(13一块高为 ，底为 的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，ab试计算薄板每面所受的压力。14用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在铁锤击第一次时能将铁钉击入木板内 ，如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等，问铁锤击cm1第二次时，能将铁钉又击入
11、多少 ？答案：2解： 令 得 。),1(323xxy0y13orx故抛物线与 轴交点为 及 ，所求图形为 轴上半部分。O0, O。32)()(13213 dxdxfS3解：两条抛物线交点为 。,(,则 。216)24)4(022 yyy4解：由对称性，只需考虑第一象限，；dxrS021 42coscossin 20220 rdtrtdrtr 故圆面积为 。2由圆的参数方程 ，求周长只需考虑第一象限，,sincotryx；2csi020221 rdtttrl 圆周长 。l4195解： 。22402402 04sincos)(1 aadadrS 6解： sin)(sincoryx)cos1(i)1
12、(202 adaV33 si)co(cs。32128()oatttt 7解： ；3202020 )cos1()cos1()s( adtdtadxyS ；tatatttl 8inin)( 020 22202 3203322002 5)cos1()si()cos1( adttdtatdxyV 8解： ；)(hxSa；12)(1122 ashdxcasdxyl aaa 。)1()( 322 dxchVaa 9解： 。00pdxy10证：曲线 的一个周期的弧长为sin；dxxyL202201 cos1对于椭圆 ，由于其参数方程为2 tysin2co故 20 2202 )()i()()( dttdtyt
13、xL；x20cos1cos110可见 。21L11解：用垂直于 轴的平面截椭球，交 轴于 ，所得截面为椭圆xx,a即,122aczby ,1)()1(22aczaby于是此椭圆的面积为 ，2xxS从而椭球体的体积为 。bcdacV34)(212解：建立如图所示坐标系，把平放的圆柱体从水中移出，相当把每一个水平薄板提高 ，R所做的功包括将薄板提升到水面提升力所做的功及从水面提高到 高度提升力所做的功之和；yR水下部分提升力 ，xldF2)1(1所以 ,)(1yldw水上部分提升力 ，x1,)(2dyRl故 ，dyRwd)12(21 因此 。32 )(lyylR 13解：如图所示，取水平面上的底为 轴，则 直线的方程为xAB,12abxaybx所以 xdyds)( )0,2(b，abyp故此三角形板每面所受压力为xxyR-yyoR+yocdyA(0,a)
