1、揭阳市 2017-2018 学年度高中二年级学业水平考试数学（文科）试题 第 1 页（共 4 页）绝密启用前揭阳市 2017-2018 学年度高中二年级学业水平考试数学（文科）本试卷共 4 页，满分 150 分考试用时 120 分钟注意事项： 1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第卷一、选择题：
2、共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）设集合 ， ，则 =2,10M2,10NNM（A） （B） （C） （D）2, ,0,12（2） 是虚数单位，则复数 的共轭复数为 i 3i（A） （B） （C） （D ）i11i1i（3）已知双曲线 ，则该双曲线的渐近线为24yx（A） （B ） （C） （D）x2xy3xy3（4）在 中， 若点 为 中点，则 = CbAa,DAB（A） （B ） （C ） （D）b2121ba21ba21（5） “ 为真命题 ”是“ 为真命题”的qpqp（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D
3、）既 不 充 分 也 不 必 要 条（6）设 满足约束条件 ，则 的最大值为,xy601xyyxz揭阳市 2017-2018 学年度高中二年级学业水平考试数学（文科）试题 第 2 页（共 4 页）侧24 42侧24侧（A） （B） （C） 5 （D） 6 32324（7）在 中，若 ，则 的形状一定是C)sin(cosiBA（A）等腰直角三角形 （B）直角三角形 （C）等腰三角形 （D）等边三角形（8）某几何体的三视图如图 1 所示，则该几何体的体积是（A） （B） 8316532（C） （D ）58（9）将函数 的图象向左平移 个单位，得到函)62sin()(xf 6数 的图象，则 的解析式
4、为xgg（A） （B） )3si()(xxg2sin)(图 1 （C） （D）62nxco（10）已知函数 是奇函数，则曲线 在 处的切线的方程为2)1()(xmxf )(f1x（A） （B） （C） （D ）0y0y02y02yx（11）分层抽样是将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,组成一个样本的抽样方法.在九章算术第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱三百六十,乙持钱二百八十,丙持钱二百,凡三人俱出关,关税六十五钱.欲以钱多少衰出之,问各几何?”其译文为:今有甲持 360 钱,乙持 280 钱,丙持 200 钱,甲、乙、丙三人一起出关,关税共 65
5、 钱,要按照各人带多少的比例进行交税,问三人各应付多少税?则下列说法错误的是（A）甲应付 钱 （B）乙应付 钱627213（C）丙应付 钱 （D ）三者中甲付的钱最多 ,丙付的钱最少51（12）若 函 数 在 区 间 上 存 在 最 小 值 ， 则 实 数 的 取 值 范 围 是32()1fx)3,(mm揭阳市 2017-2018 学年度高中二年级学业水平考试数学（文科）试题 第 3 页（共 4 页）（A）5,0） （B）（ 5,0） （C）3,0） （D ）（3,0） 第卷本卷包括必考题和选考题两部分第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答第（22）题第（23）题为选考题，考
6、生根据要求做答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上（13）已知 ，则 = .1,2)(xexf )2(f（14）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待的时间不多于 5 分钟的概率为 . （15）过点 且倾斜角为 的直线被圆 所截得的弦长为 .(1,0)6082xy（16） 的三个内角 对应的边分别为 ，且 ，ABC,ABC,abcoscosBAaCb,则 的最小值为 .3Sb三、解答题：本大题必做题 5 小题，选做题 2 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17） （本小题满分 12 分）已
7、知等差数列 的前 n 项和为 ，且anS7,8231Sa（）求 的通项公式；n（）若 ，求数列 的前 项和ba2nb（18） （本小题满分 12 分）某人租用一块土地种植一种瓜类作物，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图 2 示，当年产量低于 450kg 时，这种作物的售价为 12 元/ kg，当年产量不低于450 kg 时，这种作物售价为 10 元/ kg.（）求图中 a 的值； （）记 A 表示事件“年产量不高于 550 kg”， 估 计 A 的 概 率 ； 揭阳市 2017-2018 学年度高中二年级学业水平考试数学（文科）试题 第 4 页（共 4 页）MPFE C1B1A
8、1 DCBA（）若以各区间的中点值作为年产量的值，估计年销售额大于 3600 元小于 6000 元的概率. （19） （本小题满分 12 分）在长方体 中， 分别是 的中点，1ABCD,EF1,，过 三点的平面截去长方体的一个角后得到4,211,A如图 3 所示的几何体 .B（）求证： 平面 ； /EFC1（）求点 到平面 的距离； 图 3AD（）若 交 于 ，点 在 上，且 ，证明 .BM11PC1/BA1（20） （本小题满分 12 分）已知横坐标为 3 的点 在抛物线 上，且点 到抛物线 的焦点:2(0)ypxMC的距离 .F|2p（）求抛物线 的方程；C（）设直线 与抛物线 相交于 A
9、，B 两点（A 、B 不同于原点 O） ，若直线 OA 与 OBl的斜率之和为 ，证明直线 过定点.1l（21） （本小题满分 12 分）已知函数 .（ ）1n)()exaxf aR（）当 时，求函数 在 上的最大值与最小值；0(f2,（）当 时，若对任意的 都有 ，求 a 的取值范围0)()0fx请 考 生 在 第 （ 22） 、 （ 23） 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 个 题 目 计 分 （22） （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数）以原点为极点，y2x
10、 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为 .sin（）求直线 l 与C 的直角坐标方程；（）已知 P 为直线 l 上一动点，当点 P 到圆心 C 的距离最小时，求点 P 的直角坐标（23） （本小题满分 10 分）选修 4 5：不等式选讲已知函数 ， 为不等式 的解集12)(xxf M4)(xf揭阳市 2017-2018 学年度高中二年级学业水平考试数学（文科）试题 第 5 页（共 4 页）（）求 ；M（）证明：当 时， .,ab|1|ab揭阳市 2017-2018 学年度高中二年级学业水平考试数学（文科）参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不
11、同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数一、选择题题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B D C A B C C A D B C D解析：（12）由 得 ， 令 得 或 ，321()fx2()fx()0fx2x易 得 函 数 在 和 上 单 调 递 增 ， 在 上 单 调 递 减 ，
12、所 以 当 时 函 数()f,0,),0)有 极 大 值 ， 当 时 ， 函 数 有 极 小 值 ， 要 使 函 数 在 区 间 上 存 在 最 小 值 ，fx(f (f(,3)m只 需 满 足 即 . 0,3.m二、填空题题序 13 14 15 16答案 2 12392解析：（16）由 结合正弦定理得coscosBAaCb,即 ,因 ，所以2cos(ini)inBCinsiBin0B揭阳市 2017-2018 学年度高中二年级学业水平考试数学（文科）试题 第 6 页（共 4 页）MPFE C1B1A1 DCBA, ,由 得 ，根据余弦定理1cos2B3sin3acB4ac， ，当且仅当 时取
13、等号，故2oba2bac.min三、解答题（17）解（）由 得 ，-213128,7aa123a分即数列 的公差 -4 分n,1d-6 分2a（）由（）可得 = -7 分nbn24为等比数列， 为等差数列，记 的前 项和为 ，nnbnB-10 分2(1)()4B3(1)(). -12 分38n【其它解法请参照给分】（18）解：（）由直方图知， 1)04.35.01.( a得 ，-2 分10(.9)1a解得 ；- -3 分（）由（）结合直方图知，年产量不高于 550 kg 的频率为： 10.50.8【或 】 ，- -5 分(.0.4.35)0.8故事件 A 的概率估计值为 0.85；-6 分（）
14、设年产量为 X 的销售额为 ，则有(f， ， ， ， -8 分36)0(f )(f 60)(f因为年产量为 400kg 的频率为 0.4，即年销售额为 4800 元的频率为 0.4，-9 分而年产量为 500kg 的频率为 0.35，即年销售额为 5000 元的频率为 0.35，-10分故估计年销售额大于 3600 元小于 6000 元的概率为： . -12 分0.4357（19）解：（）证明：连接 ,则 -1 分1AB1/EF揭阳市 2017-2018 学年度高中二年级学业水平考试数学（文科）试题 第 7 页（共 4 页）又 为平行四边形，1ADCB , -2 分/1/CEF又 DA1面面
15、-3 分A/面（）依题意知点 到平面 的距离即点 到平面 的距离，1C11B1A设点 A 到平面 的距离为 ，Dh由 得 ，-511DCAV11CADS分 , , ,1125121 221(5)(62ACS ,即点 A 到平面 的距离为 .-7 分 1463ADCSBh143（） 证明： , ， -8 分1面 B1面CB1, ,BM1 ,-9 分AC面又 , ，1/P/ABMP/ABMP 四点共面，-11分 .-12 分AB面C1（20）解：（）依题意知 ，抛物线的准线方程为 ，-2(,0)2pF2px分由 结合抛物线的定义得： ，解得 ，- -4 分|M32p故所求抛物线 的方程为： .-5
16、 分C24yx（）证法 1：设点 ，则 ，- -612(,)(,)AB124,OABky揭阳市 2017-2018 学年度高中二年级学业水平考试数学（文科）试题 第 8 页（共 4 页）分由已知 得 ，-7 分1OABk2124()yy显然直线 的斜率存在，否则直线 与 x 轴垂直，由抛物线的对称性知 ，与l l 0OABk已知 矛盾；- -8 分由此得直线 的斜率 ，- -9l21214lkyy分故直线 的方程为： ，-10 分l211()4xy整理得 ，1224()0xy即 ，可知直线 过定点 .-121()l(0,4)分【证法 2：依题意知直线 的斜率存在，否则直线 与 x 轴垂直，由抛
17、物线的对称性知l，与已知 矛盾；-60OABkOABk分设直线 的方程为 ，易知 ， ，lyxm0k联立 ，消去 y 得 ，- -8 分24y22()x设点 ，则 ，- -9 分1(,)(,)x2121,mk则 ，整理得2112OABkxk 1212()()0,xx，因 ，故 ，-1122()()0m40m4分即直线 的方程为 ，可知直线 过定点 .-12 分】lykxl(,)【证法 3：依题意知直线 的斜率存在，否则直线 与 x 轴垂直，由抛物线的对称性知l l，与已知 矛盾；-60OABk1OAB分设直线 的方程为 ，易知 ， ，lykxm0k联立 ，消去 x，得 ，即 ，-824y)(4
18、2y042my分设点 ，则 ， ，-912(,)(,)AxByk21k21分揭阳市 2017-2018 学年度高中二年级学业水平考试数学（文科）试题 第 9 页（共 4 页）则 ，又 ，得 ，-11myykOBA 4)(42121 1OBAk4m分即直线 的方程为 ，可知直线 过定点 .-12 分】lkxl(0,)（21）解：（）当 时， ，0a()n1fxe ，令 得 ，- -1 分1()fxe当 时， ，函数 在 上单调递增，- -22()fx()fx2,)e分当 时， ，函数 在 上单调递减， -3 分1xe()0f()f1,故当 时，函数 在 上取得最大值， ，-4x2,emax1()
19、()3ffe分又 ， ，21()3fe2()f ，函数 在 的最小值 ；-5x21,e2min()=fxe分（）函数 的定义域为 ， )(xf ),0(，ea1ln eax1ln途径一：因为 ，易知 在 上单调递减，-7 分)(xf),【途径二：设 ，则 ，-6 分xgl)( 2(xg当 时， ，得函数 即 在 上单调递减， -7 分】0a0)xf),0又 ，-8)1( eaef分所以当 时， ，当 时， ，),0(x0)(xf ),1(e0)(xf因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减，-10f1,e,分揭阳市 2017-2018 学年度高中二年级学业水平考试数学（文科）试题 第 10 页
20、（共 4 页）得 ，另由题意知 ，3)1()(maxeaff 0)(maxf解得 ，所以 的取值范围是 -123,e分选做题（22）解:（）依题知, 得 ，-2 分tyx242yx由 得 ， 即 ，-4 分sin2sin2所以直线 l 与C 的直角坐标方程分别为 与 ，-5 分020xy（）解法 1：设 ,又C ： 得 -6),(tP1)(2yx),(C分-8 分59)4(58)12()2( 22tttt时, 取最小值,此时 ，即点 的直角坐标为54t当 PC6,ttP.-10 分62(,)【解法 2：由平面几何的知识知，当 时，点 P 到圆心 C 的距离最小， -6 分Cl由 知 ，这时直线 的方程为 ，-81lPCk2PC 12yx分联通立 l： ，解得 即点 的直角坐标为 .-10 分】02yx6,52.xyP62(,)5（23）解:（I ） -2 分.21,4,1,4)(xxf
