1、2019 年中考浙教版数学第四单元三角形测试题单元测试(四)范围:三角形 限时:45 分钟 满分:100 分一、选择题(每题 5 分,共 30 分) 1.下列各组数可能是一个三角形的三边长的是 ( )A.1,2,4 B.4,5,9C.4,6,8 D.5,5,112.若ABC 与DEF 相似,且相似比为 13,则ABC 与DEF 的面积比为 ( )A.13 B.19 C.31 D.1 3.如图 D4-1,由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是 169,小正方形的面积为 49,则 sin -cos = ( )图 D4-1A. B.- C. D.- 4.如图 D4-2,在 RtABC 中,AC
2、B=90 , A=60,AC=6,将ABC绕点 C 按逆时针方向旋转得到ABC,此时点 A恰好在 AB 边上,则点 B与点 B 之间的距离为 ( )图 D4-2A.12 B.6 C.6 D.6 5.如图 D4-3,在ABC 中,C=90,B=30,以 A 为圆心,任意长为半径画弧分别交 AB,AC 于点 M 和 N,再分别以 M,N 为圆心,大于 MN 的长为半径画弧,两弧交于点 P,连结 AP 并延长交 BC 于点 D,有下列说法:AD 是BAC 的平分线;ADC=60;点 D 在 AB 的垂直平分线上;SDACSABC=13.其中正确说法的个数是 ( )图 D4-3A.1 B.2 C.3
3、D.46.矩形 ABCD 与 CEFG 如图 D4-4 放置,点 B,C,E 共线,点 C,D,G 共线,连结 AF,取 AF 的中点 H,连结 GH,若 BC=EF=2,CD=CE=1,则 GH= ( )图 D4-4A.1 B. C. D. 二、填空题(每题 5 分,共 30 分) 7.我们规定:等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”,记作 k,若 k= ,则该等腰三角形的顶角为 度. 8.如图 D4-5,A=D,AC=DF,则需要补充条件 (写出一个即可),才能使ABCDEF. 图 D4-59.如图 D4-6,在五角星中,A+B+C+ D+E 的度数为 . 图 D4
4、-610.如图 D4-7,ABC 中,AD 是中线,BC=8,B=DAC,则线段 AC 的长为 图 D4-711.如图 D4-8,四边形 ABCD 中,AC 平分BAD,ACD=ABC=90,E,F 分别为 AC,CD 的中点 ,D= ,则BEF 的度数为 .( 用含 的式子表示) 图 D4-812.已知等边三角形 ABC 的高为 4,在这个三角形所在的平面内有一点 P,若点 P 到 AB 所在直线的距离是 1,点 P 到 AC 所在直线的距离是 2,则点 P 到 BC 所在直线的最小距离和最大距离分别是 . 三、解答题(共 40 分) 13.(8 分) 如图 D4-9,ABCD,AB=CD,
5、CE=BF.请写出 DF 与 AE 的数量关系,并证明你的结论.图 D4-914.(8 分) 如图 D4-10,某数学兴趣小组为测量一棵古树 BH 和教学楼CG 的高 ,先在 A 处用高 1.5 米的测角仪测得古树顶端 H 的仰角HDE 为 45,此时教学楼顶端 G 恰好在视线 DH 上,再向前走 7 米到达 B 处,又测得教学楼顶端 G 的仰角GEF 为 60,A,B,C 三点在同一水平线上.(1)计算古树 BH 的高;(2)计算教学楼 CG 的高.(参考数据: 1.4, 1.7)图 D4-1015.(12 分) 随州市新蹶水一桥( 如图 D4-11) 设计灵感来源于市花兰花,采用蝴蝶兰斜拉
6、桥方案,设计长度为 258 米,宽 32 米,为双向六车道,2018 年 4 月 3 日通车.斜拉桥又称斜张桥,主要由索塔、主梁、斜拉索组成.某座斜拉桥的部分截面图如图 D4-11所示,索塔 AB 和斜拉索(图中只画出最短的斜拉索 DE 和最长的斜拉索 AC)均在同一水平面内,BC 在水平桥面上.已知ABC=DEB=45,ACB=30,BE=6 米,AB=5BD.(1)求最短的斜拉索 DE 的长;(2)求最长的斜拉索 AC 的长.图 D4-1116.(12 分) 如图 D4-12,四边形 ABCD 中,AB=AC=AD,AC 平分BAD,点 P 是 AC 延长线上一点 ,且 PDAD.(1)证
7、明 :BDC= PDC;(2)若 AC 与 BD 相交于点 E,AB=1,CECP=23,求 AE 的长.图 D4-12参考答案1.C2.B 解析 相似三角形的面积比等于相似比的平方.3.D 解析 根据大正方形面积为 169 得到直角三角形斜边为 13,小正方形面积为 49 得直角边的差为 7,想到直角边为 12 和 5,得到sin-cos= - =- ,故选 D.4.D 解析 连结 BB.将ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到ABC,CA=CA.又A=60,AAC 为等边三角形,ACA=60 ,即旋转角为 60,BCB=ACA=60,BBC 为等边三角形,BB=BC.又在 RtABC 中,
8、ACB=90 ,A=60,AC=6,BB=BC=6 .5.D6.C 解析 过点 H 作 HM 垂直于 CG 于点 M,设 AF 交 CG 于点 O.根据题意可知GOFDOA, = = = ,所以 OF= OA= AF,即 AF=3OF,因为点 H 是 AF 的中点,所以 OH= AF- AF= AF,即 AF=6OH,所以 OH= OF.根据已知条件可知HOMFOG, 可以推出 HM= ;同理,通过HOMAOD,可以推出 DM= DG,即 GM= DG= .在 RtGHM 中,GH= = .故选 C.7.36 解析 设顶角为 ,则其底角为 (180-),由 k= ,可得 (180-)=2,解得
9、 =36.8.答案不唯一,如BCA=EFD 或 AB=DE9.18010.4 11.270-3 解析 ACD=90 ,CAD=90 -D=90-,E,F 分别为 AC,CD 的中点,EF AD,CEF=CAD=90-.AC 平分BAD, BAC=CAD=90 -,ABC=90,E 为 AC 的中点,AE=BE,EBA=BAC=90-,BEC=180-2,BEF=270-3.12.1,7 解析 根据题意画出相应的图形,直线 DM 与直线 NF 与 AB的距离都为 1,直线 NG 与直线 ME 与 AC 的距离都为 2,当 P 与 N 重合时,HN 为 P 到 BC 的最小距离;当 P 与 M 重
10、合时, MQ 为 P 到 BC的最大距离.根据题意得NFG 与MDE 都为等边三角形,DB=FB= = ,CE=CG= = ,DE=DB+BC+CE= + + = ,FG=BC-BF-CG= ,NH= FG=1,MQ= DE=7.故点 P 到 BC 所在直线的最小距离和最大距离分别是 1,7.13.解:DF=AE.证明:ABCD,B=C.CE=BF,CE-EF=BF-EF,即 CF=BE.在ABE 和DCF 中 , ABEDCF.DF=AE.14.解:(1)在 RtDEH 中,DEH=90,HDE=45,HE=DE=7 米.BH=HE+BE=7+1.5=8.5(米).(2)设 EF=x 米,在
11、 RtGEF 中,GFE=90,GEF=60,GF=EFtan60= x.在 RtGDF 中,GFD=90,GDF=45,DF=GF.7+x= x.将 1.7 代入上式,解得 x10.GF= x17.GC=GF+FC=18.5(米).15.解:(1) ABC=DEB=45 ,BDE=90 ,BD=DE,在 RtBDE 中,DE=BE sinABC=6sin45 =3 (米).即最短斜拉索 DE 的长为 3 米.(2)过点 A 作 AMBC 于点 M,由(1)知 ,BD=DE=3 ,AB=5BD=53 =15 .在 RtABM 中,AM=ABsinABC=15 sin45=15(米).ACB=3
12、0,AMC=90,AC=2AM=215=30( 米).即最长斜拉索 AC 的长为 30 米.16.解析 (1)利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出BDC=PDC;(2)过点 C 作 CMPD 于点 M,由相似的证明方法,得出CPM APD,利用对应边成比例的关系,求出 EC 的长即可得出答案.解:(1)证明: AB=AD,AC 平分BAD,AC BD,ACD+BDC=90 .AC=AD, ACD=ADC.PDAD, ADC+PDC=90,BDC=PDC.(2)如图 ,过点 C 作 CMPD 于点 M,BDC=PDC,CE=CM.CMP=ADP=90,P=P,CPMAPD, = .设 CM=CE=x,CECP=23,PC= x.AB=AD=AC=1, = ,解得 x= 或 x=0(舍去),AE=1- = .
