1、第四单元 圆的周长和面积 教材分析本单元内容是在学生认识了圆，探索并掌握了长方形、平行四边形、三角形等面积计算公式的基础上学习的。主要内容有：探索圆的周长公式、圆的面积公式，解决问题。圆的周长和面积是标准“空间与图形”领域的重要内容，具体目标是：探索并掌握圆的周长和面积公式，强调让学生经历探索圆周长和面积公式的过程并学习基本的数学思想和方法，娟数学活动经验。本单元在内容安排和活动设计上有以下特点。重视动手操作活动，让学生经历圆周长公式和圆面积公式探索的全过程。在探索圆的周长公式时，教材设计了四个方面的活动。X| k |B 1 . c|O |m第一，让学生利用滚动法、缠绕法等自主测量硬币和圆形纸
2、片的周长和直径，通过观察、估算测量的数据，初步感受圆朋长与直径的关系，获得测量圆的周长和直径的活动经验。第二，小组合作，测量三个大小不同的圆的周长和直径，并计算月长除以直径的值。为归纳圆周率积累素材，体验探索方法。第三，观察大家测量、计算出的数据，发现周长是直径的 3 倍多一些的现象，获得初步结论和活动经验。第四，让学生了解圆周率的发展史和我国数学家在研究圆周率中的贡献，确信探索结果的准确性，获得成功的体验。探索圆的面积公式时，也设计了四妨面的活动。第一，估算飞镖板面积。通过把飞镖板剪开拼成一个近似长方形估算，为探索活动打基础。第二，让学生把圆形纸片分别平均分成 16 份、32 份，剪开后拼成
3、近似长方形，观察比较，体会两个近似长方形的变化。第三，提出“平均分的份数越多，拼成的图形会怎样”，让学生在操作的基础上，通过想象得出：平均分的份数越多，拼成的图形越像长方形。第四，讨论“拼成的长方形和圆有什么关系”，进而总结出圆的面积公式。在这个探索活动中，让学生把圆转化成长方形的过程中，体会了转化思想和极限思想，经历圆的面积公式探索的全过程。重视数学与生活的联系，发展应用意识。本单元教材注意选择学生熟悉的、现实的问题情境和活动，使学生感受数学与生珊密切联系，获得运用数学解决问题的成功体验，提高学生解决问题的能力，发展应用意识。如，探索圆的周长公式时，教材创设了“全家骑不同型号自行车去郊游”的
4、情境，让学生结合已柏生活经验，在讨论“车轮转动一周，谁的车走得远”的过程中，理解圆周长的概念，初步感受车轮周长与直径的关系，体会数学与生活的密切联系，感受数学就在自己的身边。再如探索圆的面积公式时，设计了“计算圆形草坪需要多少草皮”“水缸的木盖需要多大”“给圆桌选择台布”等实际问题。这些问题的设计，既加强了数学与现实世界的联系，也突出了数学的应用价值。让学生在解决实际问题的过程中，形成解决问题的能力，促进学生发展数学的应用意识。教学目标1通过操作，了解圆的周长与直径的比为定值；探索并掌握圆的周长和面积公式。能运用公式解决简单的问题。2在观察、操作、推理活动中发展合情推理能力能进行有条理地思考，
5、能比较清楚地表达自己思考的过程与结果。3能探索分析和解决问题的有效方法能表达解决问题的思路和方法，增强应用意识提高实践能力。4.积极参加数学活动获得探索圆面积公式的经验在运用圆的周长长和面积知识解决问题的过程中，认识数学的价值。 重点、难点求圆的周长与面积。重点 能真正理解圆周率的意义；在理解的基础上熟记一些主要的计算公式。对圆周率“”的真正理解；难点圆面积计算公式的推导以及画具有定半径或直径的圆。 教学建议在教学过程中渗透数学文化，结合圆周率的探索活动，可参考“兔博士网站”的文字，让学生了解圆周率的发展史，感知圆周率的研究、发展历程，感受人类对数学知识的探索过程。同时，结合古代数学名著周髀算
6、经和数学家祖冲之研究圆周率取得的成就，激发学生的民族自豪感。教学圆的面积采用转化的教学思想，通过直观教具演示和由计算机设计的动画，以生动、形象、直观的实验，揭示知识的内在规律，明白方、圆、曲、直之间的内在联系与相互转化关系。这样，不仅使学生理解和掌握圆面积计算方法的来龙去脉，同时也发展了学生的空间观念和抽象思维能力。让学生亲自动手操作发现新知，感受学习的乐趣。采用演示法，激活学生思维，使其形象、逼真地体验到公式的由来。 课时安排本单元用 4 课时完成教学。课题 课时圆的周长 1圆的面积（一） 1圆的面积（二） 1圆环的面积 1第 1 课时 圆的周长公式 教学内容冀教版小学数学六年级上册第 42
7、46 页。 教学提示圆的周长是指围成圆的封闭曲线的长度，圆的周长一般用字母“C，来表示。可用绳测法、滚动法等动手操作的形式解决圆的周长问题，在操作中加深对圆这个封闭曲线图形的认识，再从操作提升为总结性地引入圆周率与直径、半径、周长的关系，使知识上升为用公式法来解决圆的周长。 教学目标1.在观察、讨论、测量等活动中，经历探索圆周率以及总结圆周长公式的过程。2认识圆周率，理解并掌握圆的周长公式，能运用周长公式正确进行计算。3体验数学与日常生活的密切联系，了解圆周率的探索历史，激发民族自豪感。重点、难点重点引导学生在活动中探索圆的周长的计算方法。能灵活运用圆的周长公式解决简单的实际问题。 难点学生以
8、合作实践，讨论交流的方式探究圆周率的含义，理解圆的周长与直径的关系。灵活运用公式求圆的半径和直径。 教学准备教师准备：多媒体课件一套，模型圆，几个直径不同的圆，线，直尺。学生准备：每组 1 份实验报告单、圆形纸片、1 元硬币、1 条大约 100 厘米的没有弹性的线，直尺。 教学过程（一）新课导入：(屏幕显示教材第 42 页情境图) 师：同学们，你们能从图中看到什么?想说些什么?生 1：一位小朋友和他的爸爸妈妈去郊游。生 2：他们去的地方景色很美。师：同学们观察得非常仔细，那么车轮转动一周，谁的车走得远?为什么?小组讨论?(教材第 42 页议一议)生：爸爸的自行车车轮转动一周，走得远，因为他的自
9、行车车轮大。师：很好，咱们一起来看。(课件演示动画随鼠杯点动，围成车轮的弧线闪动)生：我发现车轮转动一周走的距离就是车轮一周的长度，也就是车轮的周长。让学生描述其他物体上圆形的周长。(圆桌、洗脸盆、光盘等)教师在黑板上用圆规画一个圆，并说明什么是圆的周长。(围成圆的曲线的长度就是圆的周长)师：车轮转动一周走的距离和什么有关系?(教材第 42 页议一议)学生通过思考交流，初步感知车轮的周长与车轮辐条的长度有关，也就是直径(或半径)有关，学生很容易联想到圆的周长和直径有关。师：同学们说的对不对呢?下面我们来继续研究圆的周长板书：圆的周长。二、探究新知1探究圆的周长。(1)测量方法。师：请同学们拿出
10、你准备的一元硬币指出它的周长，想想怎样才能知道硬币的周长是多少呢?生：可以通过测量。师：你准备怎么测量?先独立思考，然后把你的想法与同桌交流。(学生交流) 师：同学们想出办法来了吗?谁来给大家演示下你是怎么测量的? 学生演示测量方法：滚动法、绕线法。 师：刚才同学们用的滚动法、绕线法都是曲线化为直线，再去测量直线的长度，这是“化曲为直”转化的方法，这种转化方法在数学学习中很常见。 设计意图：通过尝试性地实际测量，很好地培养了学生动手操作能力，在这个过程中也使学生切身体会到“化曲为直”的思想。(2)探究公式。 师：(出示一个更大的圆)，怎样量出这个圆的周长呢?(学生纷纷上台，测量) 师：这样测量
11、你有什么感想? 生：太麻烦啦。设计意图：使学生发现测量的局限性，并产生探究一般方法的迫切愿望。师：是啊，看来用滚动法、绕线法可以测量出圆的周长但有定的局限性，我们能不能探讨出求圆周长的一般方法呢?生：如果有计算公式就好啦。师：是啊，用公式来计算是很方便。大家知道，半径越大，直径越大，囡就越大，即圆的周长越长，那圆的周长和直径到底有什么关系呢?现在小组合作，测量三个大小不同的圆形纸片，把数据填在下表中。(教材第 43 页例题 1)周 长 直 径 周长直径1 号2 号3 号计算可用计算器进行，测量结果精确到 1 毫米，计算结果保两位小数，交流各组测量、计算的结果，尽可能多地展示每个小组的结果，使数
12、据带有普遍性。师：观察得到的数据，有什么发现?生：圆的周长是直径的 3 倍多一些。师：很好，刚才，同学们测量了大小不同的圆，但却有相同的发现：圆的周长是直径的3 倍多一些。其实这个倍数是一个固定数，我们把它叫做圆周率，通常用字母 表示。板书：圆的周长与它的直径的比值圆周率。师：刚才我们用几分钟的时间，发现了人们用几千年时间才研究出的结果，同学们真了不起，经过周密的计算，现在我们知道圆周率是一个无限不循环小数。板书：3.1415926自学资料，激发情感。让学生阅读第 43 页“兔博士网站”的内容，了解圆周率及其发展史。师：圆周率 的值到底是多少呢?请同学们认真读一读教材第 43 页的“兔博士网站
13、”。(课件出示)你知道了什么?（生自由发言)生： 是一个无限不循环小数，它在 3.14159263.1415927 之间；生：比外国的数学家得到相同结果要早约 1000 年。师：同学们看得很仔细！大约公元 1500 多年前，中国有位伟大的数学家祖冲之，他计算出圆周率应在 3.14159263.1415927 之间，成为世界上第个把圆周率的值精确到小数点后 7 位的人，他的这项伟大成就比国外数学家得出这样精确数值的时间至少早一千年。设计意图：通过学生读“兔博士网站”的内容，让他们感受科学技术发展的同时，使学生认识无限不循环小数的特点，并产生为了计算方便取近似值的需要，从而更轻松地体会数学知识；同
14、时也了解到先人的探索精神，产生崇敬之情，增强对数学学习的兴趣。师：在计算时我们利用这个数据方便吗?生：不方便。师：因此，为了计算方便，计算时，我们只取它的近似值。保留两位小数，3.14(板书)师：你能根据圆的周长和直径的关系来计算圆的周长了吗?生：圆的周长直径圆周率。师：如果用 C 表示圆的周长， 表示圆周率，d 表示直径，那么如何用字母表示求圆周长的公式?(学生说，教师板书：Cd)师：那如果 C 表示圆的周长， 表示圆周率，r 表示半径，如何用字母表示圆的周长呢?生：先把直径求出来，根据 d2r，再求圆的周长，即 C2r。(教师板书)2解决问题。师：看来我们只要知道了圆的直径和半径就能求出一
15、个圆的周长，现在我们就来解决些实际问题。(出示教材第 44 页例题 3)(1)读题，说说金属条的长指的是什么?(镜面的周长)(2)题目中已知的条件是什么?怎样求镜面的周长?让学生做，学生计算时，教师深入到学生之间，及时指导学生。再组织学生交流。四、应用公式，解决问题1.小强每天绕直径为 20 厘米的花坛跑 15 圈，每天要跑多少圈？在教师的引导下学生读题，了解小强每天跑 15 圈的长度就是求花坛的 15 个周长。学生先独立做再交流，教师巡视。设计意图：求圆周长问题的综合应用。培养学生灵活解题的意识。2.一个时针的时针长 12 厘米，这根时针的尖端 24 小时走了多少厘米?在教师的引导下读题，学
16、生明白时针实际上是圆的半径，且时针 24 小时会转 2 周。此题比较难，学生之间可以合作探究后再解决。设计意图：培养学生运用所学知识解决实际问题的能力，使学生感受到数学与生活的密切联系，激发学生学习的兴趣。三、巩固练习1完成“练一练”第 1 题。(教材第 44 页)学生独立完成后再组织交流，加深了学生对圆的周长公式认识。2引导学生读第 2 题，使学生知道菜墩的周长和一根铅条的长度相等，求出菜墩的周长就是一根铅条的长度。设计意图：练习设计，既帮助学生理解圆的周长、圆周率概念，又能让学生运用公式直接计算圆的周长，还能让学生综合运用有关知识解决简单的实际问题。3引导学生读第 3 题，讨论一下怎样计算
17、，使学生知道铁环转一圈的长度就是铁环的周长，转 60 圈所滚的路程就是求 60 个铁环的周长，可让学生尝试计算，交流计算的过程和结果，注意学生能不能恰当地使用约等于号。 （三）巩固新知：1.填空。围成圆的( )的长叫做圆的周长。圆的周长总是直径的( )倍多一些，圆的周长和直径的( )叫做圆周率，用字母( )表示。圆的周长直径：2半径，用字母表示这一关系式( )。2一种口杯的圆形杯口直径为 7.8 厘米，杯口周长是多少厘米?3大、小两种自行车车轮的直径比是 3：2，小自行车车轮的周长是 50 厘米，求大自行车车轮的周长是多少?4某杂技团有一种独轮表演，车轮直径是 20 厘米，要走完 15.7 米
18、长的钢丝绳，车轮需滚动几周?5一辆自行车轮胎的外直径约是 71 厘米：如果平均每分钟转动 100 周，通过一座 1100 米长的桥，大约需要几分钟?(得数保留整数)答案：1.曲线 3 比值 Cd2r23.147.824.492(厘米) 答：杯口周长是 24.492 厘米。350 75(厘米) 答：大自行车车轮的周长是 75 厘米。420 厘米0.2 米 15.7(3.140.2)25(圈) 答：车轮需滚动 25 周。571 厘米0.71 米 1100(3.140.71100)5(分钟) 答：大约需要 5 分钟。（四）达标反馈1.选一选。圆周率 是（ ）。A等于 3.14 B有限小数C循环小数
19、D无限不循环小数一个圆的半径扩大 2 倍，周长扩大( )。A2 倍 B4 倍 C 6.28 倍直径是 3 分米的圆，在 1 米的距离内可滚动( )。A1 周多 B 2 周多C 3 周多 D不到 1 周2.计算下面圆的周长。d2.6 厘米 r8.18 米 r7 分米3判断题。一个圆的周长是它半径的 倍。 ( )两个圆的半径比是 1：2，那么这两个圆的周长比是 1：2。 ( )4. 怎样测量一张圆形铁片的周长?5.小强每天绕直径为 20m 的花坛跑 15 圈，每天要跑多少米?6. 一个鱼缸的圆形底面周长是 18.84dm，它的半径是多少分米?答案：1D A A28.164 厘米 19.782 米
20、43.96 分米3. 4.用滚动法或线绕法求圆的周长。5. 3.142015942(米) 6. 188431423(dm) （五）课堂小结四、全课小结师：今天，我们一起探究了圆的周长。有关圆的周长，你们还有什么问题要问吗?师：生活中的数学问题还有很多，希望你们善于发现，善于探索，善于总结，相信你们一定会拥有更多的智慧，收获更多的快乐。设计意图：最后对本课做出总结，对所讲的知识及时查漏补缺，及时巩固反馈，也培养了学生的总结、概括能力。（六）布置作业1. 要为直径是 5 厘米的圆镜镶边框(如下图)，如何边框的长?(镜框厚度忽略不计)2. 一种汽车轮胎的外直径是 102 米，每分钟转 50 周，车轮
21、每分钟前进多少米?3.有一棵周长为 314 dm 的古树，你能想办法算出这棵树的横截面的直径吗?4. 求下面图形的周长。5. 一只蚂蚁(如下图)，如果从 A 点到 B 点直线爬行共要爬行 25 厘米，那么这只蚂蚁从 A点到 B 点沿弧线爬行需要爬行多少厘米?答案：1. 方法一：在圆上点一点 A，使点 A 对准直尺的。刻度，然后使圆镜在直尺上滚动一周，点 A，所指的刻度就是圆的周长。方法二：在圆上点一点 A，使点 A 对准线的一个端点，然后使线从点 A 开始绕圆镜一周，再测量绕圆镜一周线的长度即圆的周长。2. 3.141.0250160.14(米)3. 31.43.1410(dm)4. 3.14
22、527.85(厘米) 3.14527.85(厘米)3.14(52)215.7(厘米) 7.857.8515.731.4(厘米)5. 31425239.25(厘米) 板书设计圆的周长公式圆的周长与它的直径的比值圆周率。圆周率是无限不循环小数，314Cd 或 C2r 教学反思本节课主要采取学生自主探究，合作学习的学习方法，在学生掌握基本知识的同时，促使他们的学习方法的养成，培养他们的数学素养。其主要为合作学习，让学生学会分析，学会分工，学会分享。1采取情境教学，为学生创造一个乐学、易学、好学的课堂氛围，始终以学生为主体，鼓励他们积极地参与其中，自主学习，作为课堂的真正的学习主人。2不断的渗透教学思
23、想，让学生变的会写、会做、会思考。正确的评价学生的学习态度及学习表现，调动学生的学习积极性。3采用小结、引用等基本教学环节，使学生掌握圆的周长的相关知识，以达到预期的课堂目标，进行中国古代数学文化教育，培养学生的爱国热情及学习热情。 教学资料包（一） 教学精彩片段提出问题，揭示课题。(出示课件及实物)师：老师手里有两块不同形状的镜片，一块正方形的，一块圆形的，还有一条 50cm 长的铝合金材料，不知道能给哪块镜片镶边，谁来帮老师想想办法呢?(镜框厚度忽略不计)生：第一块不行，因为正方形的周长等于边长乘 4，如果要镶边需要 52cm，不够长，师：那么第二块又不知道，应怎样解决呢？生： 可以想采用
24、围一围的方法。 师：我们刚才是怎么知道给正方形镜片镶边不够长的呀?生：算算正方形的周长就知道了。师：哦，原来镶边的长度就是正方形的周长，那如果我们要给圆形镜片镶边也得知道它的什么?生：周长。设计意图：从身边实际出发，让学生感受到数学来源于生活，生活中处处有数学。（二） 数学资源1.这是一个有趣的问题，两只小蚂蚁分别绕正方形和圆跑(正方形的边长与圆的直径相等)，跑完一圈，谁跑的路程多?分析，正方形的周长：248(厘米)，圆的周长：23.146.28(厘米)，6.288，所以沿正方形跑的蚂蚁跑的路程长。也可以这样分析：正方形的周长是边长的 4 倍，圆的周长是正方形边长的 3 倍多，所以沿正方形跑的
25、蚂蚁跑的路程长。2.一幅圆形书法作品的直径是 6 分米，沿它的四周装饰一圈花边，花边的长度是多少?分析：首先明确，花边的长度就是这个圆形书法作品的周长，然后利用周长计算公式Cd 计算。答案：3.14618.84(分米)点拨：直接计算周长时，要特别注意给出的数据是直径还是半径，再根据给出的数据选择相应的计算公式。三、资料链接祖冲之与圆周率祖冲之(公元 429500 年)，河北省涞水县人。他从小就阅读了许多天文、数学方面的书籍，勤奋好学，刻苦实践，终于使他成为我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家。祖冲之在数学上的杰出成就，是关于圆周率的计算。秦汉以前，人们以“径一周三”作为圆周率，这就是“古率”。
26、后来发现古率误差太大，圆周率应是“圆径一而周三有余”，不过究竟余多少，意见不一。直到三国时期，刘徽提出了计算圆周率的科学方法“割圆术”，用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长。刘徽计算到圆内接 96 边形，求得3.14，并指出，内接正多边形的边数越多，所求得的”值越精确。祖冲之在前人成就的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，求出 在 3.1415926 与 3.1415927 之间。并得出了 分数形式的近似值，取 为约率，取 为密率，其中取六位小数是 3.141593，祖冲72135之究竟用什么方法得出这一结果，现在无从考查。若设想他按刘徽的“割圆术”方法去求的话，就要计算到圆内接 16384 边形，
27、这需要花费多少时间和付出多么巨大的劳动啊! 由此可见他在治学上的顽强毅力和聪敏才智是令人钦佩的。祖冲之计算得出的密率，外国数学家获得同样结果，已是一千多年以后的事了。为了纪念祖冲之的杰出贡献，有些外国数学史家建议 叫做“祖率”。祖冲之博览当时的名家经典，坚持实事求是，他从亲自测量计算的大量资料中对比分析，发现过去历法的严重误差，并勇于改进，在他三十三岁时编制成功了大明历，开辟了历法史的新纪元。祖冲之还与他的儿子祖暅(也是我国著名的数学家)一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算。他们当时采用的一条原理是：“幂势既同，则积不容异”意即位于两平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，如
28、果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等。这一原理，在西方被称为卡瓦列利原理，但这是在祖氏以后一千多年才由卡氏发现的。为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献，大家也称这原理为“祖暅原理”。圆的周长说课一、教材分析及学生分析1、教材分析：这是一节概念与计算相结合研究几何形体的教学内容，它是在学生以前学过的直线图形知识和上节课掌握了圆的初步知识的基础上进行教学的。教材力图通过一系列操作活动，让学生在观察、分析、归纳中理解圆的周长的含义，经历圆周率的形成过程，推导圆周长的计算方法，为学习圆的面积、圆柱、圆锥等知识打下基础。而且在对圆周长有关知识的推导论证过程中，培养学生主动探索，勇于实践，解决
29、生活实际问题的能力。2 学生情况分析：学生虽然有计算直线图形周长的基础，但第一次接触曲线图形，概念比较抽象不容易理解，推导圆周长的计算方法、理解圆周率的含义会有一定的困难。3、教学目标（1）知识目标：使学生直观认识圆的周长，知道圆的周长的含义；理解圆周率的意义，掌握圆周率的近似值；理解和掌握求圆的周长的计算公式，并能正确地计算圆的周长。（2）能力目标：通过对圆周长测量方法和圆周率的探索、圆的周长计算公式的推导等教学活动，培养学生观察、推理、分析、综合、抽象、概括的能力和解决简单的实际问题的能力，同时着力培养学生的动手操作能力、创新精神以及团结合作精神。（3）情感目标：通过介绍我国古代数学家祖冲
30、之在圆周率方面的伟大成就，对学生进行爱国主义教育，激发民族自豪感。4、教学重点、难点分析根据教材的编写意图和学生的认知规律，如果学生能理解“任何圆的周长都是它的直径的3 倍多一些”这个问题，圆的周长计算公式的归纳就可以迎刃而解了。因此，让学生理解圆的周长计算公式的推导过程及其实践运用是本节课的重点，而理解圆周率的意义则是教学的难点。二、 教法、学法分析数学课程标准指出：“动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式”、“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者”，那么，如何体现新课程所提倡的学习方式和教学方式呢？我的思路是：1、为学生提供一个合作探究的平台。我把学生分成若干个学习小组，每组中学生的层次不同，并要求学生配备直尺、绳等学具，让每个学习小组共同完成绳测法、滚动法测量周长，依所测数据找出直径与周长的倍数关系，推导圆的周长公式三个操作活动，经历知识的形成过程。2、在教学中独立思考、合作操作、小组交流等学习方式交互运用，引导学生在认知矛盾、实际操作中去思考、探究、发现、解决问题。三、教具学具准备：根据教学任务和学生学习的需要，我所准备的教具有直尺、圆形硬纸板、绳子、剪刀、圆周长演示器。多媒体课件。学生准备的学具有直尺、圆形硬纸板(大中小各一个)、绳子、
