1、1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质三维目标1知识与技能(1)理解周期函数、周期函数的周期和最小正周期的定义(2)掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期2过程与方法让学生通过观察正、余弦线以及正、余弦函数图象得出正、余弦函数的周期性，并借助于诱导公式一给予代数论证这一过程，使学生学会由具体形象到抽象概括这一研究问题的方法3情感，态度与价值观让学生自己探究学习正、余弦函数的图象性质，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图象所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣重点、难点重点：正弦函数、余弦函数的图象及其主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域) ；深化
2、研究函数性质的思想方法难点：正弦函数和余弦函数的周期性，以及周期函数、(最小正) 周期的意义教学建议 对于函数性质的研究，学生已经有些经验其中，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想的应用由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么它的性质也就是完全清楚了，因此，教科书把对周期性的研究放在了首位另外，要使学生明白研究三角函数性质就是“要研究这类函数具有的共同特点” ，这是对数学思考方向的一种引导1周期性可引导学生从正、余弦线，正、余弦函数图象
3、以及诱导公式一即形与数两个方面，归纳总结“周而复始”的变化规律，给出“周期性”概念关于正弦函数、余弦函数的周期与最小正周期，一般只要弄清定义，并根据正弦、余弦曲线观察出结果就可以了对于学有余力的学生，可以让他们尝试证明正弦、余弦函数的最小正周期是 2.2其他性质与研究周期性的方法一样，根据正弦函数、余弦函数图象及函数解析式，同样可以直观地看出这两个函数的奇偶性、单调性、最大(小)值等性质值得注意的是，对于周期函数性质的讨论，只要认识清楚它在一个周期内的性质，就可以得到它在整个定义域内的性质(1)正弦函数、余弦函数的奇偶性，无论是由图象观察，还是由诱导公式进行证明，都很容易所以，这一性质的研究可
4、以交给学生自主完成(2)正弦函数、余弦函数的单调性，只要求由图象观察，不要求证明教学中要注意引导学生根据函数图象以及 数学 1中给出的增(减)函数定义进行描述具体的，可以先选择一个恰当的区间(这个区间长为一个周期，且仅有一个单增区间和一个单减区间) ，对正弦函数在这个区间上的单调性进行描述；然后利用正弦函数的周期性说明在其他区间上的单调性对于余弦函数的单调性，可让学生类比正弦函数的单调性自己描述另外，从一个周期的区间推广到整个定义域上去时，学生会有些不习惯，教学中要留给学生一定的思考时间，由他们自己归纳出正弦函数、余弦函数的单调区间的一般形式正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一
5、个推论由于问题比较简单，所以可以由学生自己去研究同样的，对于取最大(小)值时的自变量 x 的一般形式，也要注意引导学生利用周期性进行正确归纳教学流程课标解读1.掌握 ysin x(xR) ，ycos x(xR)的周期性、奇偶性、单调性和最值( 重点)2会用正弦函数、余弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题(难点)3了解周期函数、周期、最小正周期的含义(易混点)知识点 1 函数的周期性【问题导思】 1观察下列实例：(1)海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次(2)钟表上的时针每经过 12 小时运行一周，分针每经过 1 小时运行一周，秒针每经过 1 分钟运行一周上述两种现象，具
6、有怎样的属性？【提示】 周而复始，重复出现2观察正弦曲线和余弦曲线，正弦函数和余弦函数具有上述规律吗？哪个公式可以反映这种规律？【提示】 具有sin(x2k )sin x，cos(x2k )cos x.1函数的周期性(1)对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(xT)f(x) ，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期(2)如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做 f(x)的最小正周期2两种特殊的周期函数(1)正弦函数 ysin x 是周期函数， 2k(kZ 且 k0)都是它的周期
7、，最小正周期是 2.(2)余弦函数 ycos x 是周期函数，2k(k Z 且 k0)都是它的周期，最小正周期是 2.知识点 2 正、余弦函数的奇偶性【问题导思】 对于 xR，sin(x)sin x，cos(x)cos x，这说明正、余弦函数具备怎样的性质？【提示】 奇偶性1对于 ysin x，xR 恒有 sin(x) sin x，所以正弦函数 ysin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称2对于 ycos x，x R 恒有 cos(x) cos x，所以余弦函数 ycos x 是偶函数，余弦曲线关于 y 轴对称知识点 3 正、余弦函数的定义域、值域和单调性【问题导思】 观察正弦函数、余弦函数的
8、图象：1正弦函数、余弦函数的定义域各是什么？【提示】 R2正弦函数、余弦函数的值域各是什么？【提示】 1,13正弦函数在 ， 上函数值的变化有什么特点？余弦函数在0,2上函数值的变化有什么特点？2 32【提示】 ysin x 在 ， 上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值 y 由1 增大到 1；在 ， 上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值 y 由 1 减2 2 2 32小到1；ycos x 在0 ， 上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值由 1 减小到1；在，2上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值由1 增大到 1.函数名称图象与性质性质分类ysin x ycos x相同处定义域 R R值域 1,1 1,1
9、周期性 最小正周期为 2 最小正周期为 2图象不同处奇偶性 奇函数 偶函数类型 1 求三角函数的周期例 1 求下列函数的最小正周期：(1)ysin( x3)；(2) y|cos x |.2【思路探究】 解答本题(1)可利用代换 z x3，将求原来函数的周期转化为求 ysin z 的周期再求解，或利用公式求解；(2) 可通过图象求周期2【自主解答】 (1)法一 令 z x3，且 ysin z 的最小正周期为 2.2sin( x32)sin (x4)3，2 2单调性 在2k ，2k (kZ)上是 增函数；在2 22k ，2k (kZ)上是 减函数2 32 在2k，2k(kZ)上是增函数；在2k，2
10、k(kZ)上减函数对称轴 xk (kZ)2xk(kZ)对称中心 (k，0)，( kZ) (k ， 0)2(kZ)最值x2k (k Z)时，y max1；2x2k (k Z)时，2ymin1x2k 时，y max1；x2k 时，y min1因此 sin( x3)sin (x4)3 2 2由周期函数定义，T4 是 ysin( x3)的最小正周期2法二 f(x) sin( x3)的周期 T 4.2 22(2)作 y|cos x|的图象，如图所示：由图象知 y|cos x |的最小正周期为 .规律方法1正弦函数、余弦函数的周期性，实质上是由终边相同角所具有的周期性决定的2对于形如 y Asin(x)，
11、 yAcos(x)(A， ， 为常数，且 0)函数的周期求法常直接利用 T 来求解；形如 y| Asin x|或 y|Acos x|的2|周期常结合函数的图象，观察求解互动探究若把例题中两个函数改为：(1)y cos(2x )；13 3(2)ycos|x|，试求函数的最小正周期【解】 (1)y cos(2x )中，2，13 3函数的最小正周期为 T .22(2)ycos|x|cos x ，ycos| x|的最小正周期 T2.类型 2 三角函数的奇偶性的判断例 2 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x) sin 2x；2(2)f(x)sin( )；3x4 32(3)f(x) .1 cos x co
12、s x 1【思路探究】 首先求出函数定 义域，在定 义域关于原点对称的前提下，根据 f(x) 与 f(x)及f(x) 的关系来判断【自主解答】 (1)显然 xR，f(x) sin(2x ) sin 2xf (x)，2 2f(x)是奇函数(2)xR，f(x)sin( ) cos ，3x4 32 3x4f( x)cos cos f(x)，3 x4 3x4函数 f(x)sin( )是偶函数3x4 32(3)由Error!，得 cos x1，x 2k(kZ)，此时 f(x)0，故该函数既是奇函数又是偶函数规律方法1判断函数奇偶性要按函数奇偶性的定义，定 义域关于原点 对称是函数是奇函数或偶函数的前提2
13、要注意诱导公式在判断 f(x)与 f(x) 之间关系时的作用变式训练判断下列函数的奇偶性：(1)f(x) sin(2x )；252(2)f(x)lg(sin x )1 sin2x【解】 (1)函数的定义域为 R，f(x) sin(2x ) sin(2x ) cos 2x，显然有 f(x) f (x)成立252 2 2 2f(x) sin(2x )为偶函数252(2)函数定义域为 R，f(x)lg(sin x )1 sin2xlg1sin x 1 sin2xlg(sin x )f(x)1 sin2x函数 f(x)lg(sin x )为奇函数1 sin2x类型 3 求正、余弦函数的单调区间例 3 求函数 ysin( x) 的单调递减区间6【思路探究】 本题中自变量的系数为负，故首先利用 诱导 公式，将 ysin( x )化为 ysin(x )形式，故只需求 ysin(x )的单调递增区间即6 6 6可【自主解答】 ysin( x)sin(x )，6 6令 zx ，则 ysin z，6要求 ysin z 的递减区间，只需求 sin z 的递增区间，即 2k z2k ，kZ，2 22k x 2k ，kZ.2 6 22k x 2k ，kZ.3 23
