1、离散数学期末复习题一、 填空题（每空 2 分，共 20 分）1、集合 A 上的偏序关系的三个性质是 、 和 。2、一个集合的幂集是指 。3、集合 A=b,c，B=a,b,c,d,e ，则 AB= 。4、集合 A=1,2,3,4，B=1,3,5,7,9，则 AB= 。5、若 A 是 2 元集合, 则 2A 有 个元素。6、集合 A=1,2,3，A 上的二元运算定义为：a* b = a 和 b 两者的最大值，则 2*3= 。7、设 A=a, b,c,d , 则A= 。8、对实数的普通加法和乘法， 是加法的幂等元， 是乘法的幂等元。9、设 a,b,c 是阿贝尔群的元素，则-(a+b+c)= 。10、
2、一个图的哈密尔顿路是 。11、不能再分解的命题称为 ，至少包含一个联结词的命题称为 。12、命题是 。13、如果 p 表示王强是一名大学生，则p 表示 。14、与一个个体相关联的谓词叫做 。15、量词分两种： 和 。16、设 A、B 为集合，如果集合 A 的元素都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的 。17、集合上的三种特殊元是 、 及 。18、设 A=a, b，则 (A) 的四个元素分别是： ， ， ， 。19、代数系统是指由 及其上的 或 组成的系统。20、设是代数系统，其中是* 1,*2 二元运算符，如果 *1,*2 都满足 、 ，并且* 1 和* 2 满足 ，则称是格。21、集合
3、A=a,b,c,d，B=b ，则 A B= 。22、设 A=1, 2, 则A= 。23、在有向图中，结点 v 的出度 deg+(v)表示 ，入度 deg-(v)表示以 。24、一个图的欧拉回路是 。25、不含回路的连通图是 。26、不与任何结点相邻接的结点称为 。27、推理理论中的四个推理规则是 、 、 、 。二、判断题（每题 2 分，共 20 分）1、空集是唯一的。2、对任意的集合 A，A 包含 A。3、恒等关系不是对称的，也不是反对称的。4、集合1,2,3,3和1,2,2,3是同一集合。5、图 G 中，与顶点 v 关联的边数称为点 v 的度数，记作 deg(v)。6、在实数集上，普通加法和
4、普通乘法不是可结合运算。7、对于任何一命题公式，都存在与其等价的析取范式和合取范式。8、设（A,*）是代数系统，aA ，如果 a*aa，则称 a 为（ A，*）的等幂元。9、设 f：AB， g：BC。若 f，g 都是双射，则 gf 不是双射。10、无向图的邻接矩阵是对称阵。11、一个集合不可以是另一个集合的元素。12、映射也可以称为函数，是一种特殊的二元关系。13、群中每个元素的逆元都不是惟一的。14、是格。15、树一定是连通图。16、单位元不是可逆的。17、一个命题可赋予一个值，称为真值。18、复合命题是由连结词、标点符号和原子命题复合构成的命题。19、任何两个重言式的合取或析取不是一个重言
5、式。20、设 f：AB， g：BC。若 f，g 都是满射，则 gf 不是满射。21、集合1,2,3,3和1,2,3是同一集合。22、零元是不可逆的。23、一般的，把与 n 个个体相关联的谓词叫做一元谓词。24、“我正在说谎。”不是命题。25、用 A 表示“是个大学生 ”，c 表示“张三”，则 A(c)：张三是个大学生。26、设 F,，则 F-1 ,。27、欧拉图是有欧拉回路的图。28、设 f：AB， g：BC。若 f，g 都是单射，则 gf 也是单射。三、计算题（每题 10 分，共 40 分）1、设 A=c,d, B=0,1,2，则计算 AB，B A。2、A = a,b,c，B = 1,2，计
6、算 AB。3、A = a,b,c，计算 AA。4、符号化命题“如果 2 大于 3，则 2 大于 4。”。5、符号化命题“并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快”。6、符号化命题“2 是素数且是偶数”。7、设 A=a,b,c,d，R 是 A 的二元关系，定义为：R=, , ，写出 A 上二元关系 R 的关系矩阵。8、设 A=1,2,3,4，R 是 A 的二元关系，定义为：R=, , ，写出 A 上二元关系 R 的关系矩阵。9、设有向图 G 如下所示，求各个结点的出度、入度和度数。10、设有向图 G 如下所示，求各个结点的出度、入度和度数。11、设无向图 G 如下所示，求它的邻接矩阵。12、求命题公
7、式 (p q)的真值表。13、设=，求 x，y。14、R1、R2 是从1, 2, 3, 4, 5到2, 4, 6的关系，若 R1, , ，R2=, ，计算 domR1，ranR1，fldR1 ，domR2，ranR2，fldR2。15、例：设 A=1, 2, 3, 4, 5，B=3, 4, 5, C=1, 2, 3，A 到 B 的关系 R=|x+y=6，B 到 C 的关系 S=|yz=2 ，求 RS。16、集合 A=a, b, c，B=1, 2, 3, 4, 5 ，R 是 A 上的关系，S 是 A 到 B 的关系。R=, , , , ，S=, , , , ，求 RS，S 1R117、A1, 2
8、, 3, 4, 5, 6，D 是整除关系，画出哈斯图并求出最小元、最大元、极小元和极大元。18、设集合 A=a,b,c，A 上的关系 R=, , ，求 R 的自反、对称、传递闭包。19、求下图中顶点 v0 与 v5 之间的最短路径。20、分别用三种不同的遍历方式写出对下图中二叉树点的访问次序。四、证明题（每题 10 分，共 20 分）1、若 R 和 S 都是非空集 A 上的等价关系，证明 R S 是 A 上的等价关系。2、证明苏格拉底论证：凡人要死。苏格拉底是人，苏格拉底要死。3、PQ，Q R，R，S PS4、在群中，除单位元 e 外，不可能有别的幂等元。5、设 R 和 S 是二元关系，证明：
9、(R S)-1=R-1 S-16、证明：(Q S)R)(S(PR) = (S(PQ)R.7、设 I 是整数集合，k 是正整数， I 上的关系 R|x, y I，且 xy 可被 k 整除，证明 R 是等价关系。8、证明(pq)r) ( q p)r)9、证明(PQ) (PR) (QS)SR10、证明 P Q，QR ，R S P11、证 (x)(P(x)Q(x) (x)P(x) (x)Q(x)v0 v2 v1 v4 v33 v5 1 2 1 4 7 5 3 2 6 12、证明定理：设 是群，对于任意 a, bG ， 则方程 ax=b 与 ya=b ，在群内有唯一解。 离散数学复习题参考答案一、填空题
10、（每空 1 分，共 20 分）1、集合 A 上的偏序关系的三个性质是 自反性、反对称性和传递性。2、一个集合的幂集是指该集合所有子集的集合。3、集合 A=b,c，B=a,b,c,d,e ，则 AB=a,b,c,d,e。4、集合 A=1,2,3,4，B=1,3,5,7,9，则 AB=1,3。5、若 A 是 2 元集合, 则 2A 有 4 个元素。6、集合 A=1,2,3，A 上的二元运算定义为：a* b = a 和 b 两者的最大值，则 2*3= 3 。7、设 A=a, b,c,d, 则A= 4 。8、对实数的普通加法和乘法， 0 是加法的幂等元， 1 是乘法的幂等元。9、设 a,b,c 是阿贝
11、尔群的元素，则-(a+b+c)=(-a)+( -b)+( -c)。10、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中所有结点一次且恰好一次的路。11、不能再分解的命题称为原子命题，至少包含一个联结词的命题称为复合命题。12、命题是能够表达判断（分辩其真假）的陈述语句。13、如果 p 表示王强是一名大学生，则p 表示王强不是一名大学生。14、与一个个体相关联的谓词叫做一元谓词。15、量词分两种：全称量词和存在量词。16、设 A、B 为集合，如果集合 A 的元素都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集。17、集合上的三种特殊元是单位元、零元及可逆元。18、设 A=a, b，则 (A) 的四个元素分别是：
12、空集，a，b ，a, b。19、代数系统是指由集合及其上的一元或二元运算符组成的系统。20、设是代数系统，其中是* 1,*2 二元运算符，如果 *1,*2 都满足交换律、结合律，并且* 1 和* 2 满足吸收律，则称是格。21、集合 A=a,b,c,d，B=b ，则 A B= a, c,d 。22、设 A=1, 2, 则A= 2 。23、在有向图中，结点 v 的出度 deg+(v)表示以 v 为起点的边的条数，入度 deg-(v)表示以v 为终点的边的条数。24、一个图的欧拉回路是一条通过图中所有边一次且恰好一次的回路。25、不含回路的连通图是树。26、不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点。2
13、7、推理理论中的四个推理规则是全称指定规则 (US 规则) 、全称推广规则 (UG 规则)、存在指定规则 (ES 规则) 、存在推广规则 (EG 规则)。二、判断题（每题 2 分，共 20 分）1、。2、。3、。4、。5、。6、。7、。8、。9、。10、。11、。12、。13、。14、。15、。16、。17、。18、。19、。20、。21、。22、。23、。24、。25、。26、。27、。28、。1、空集是唯一的。2、对任意的集合 A，A 包含 A。3、恒等关系不是对称的，也不是反对称的。4、集合1,2,3,3和1,2,2,3是同一集合。5、图 G 中，与顶点 v 关联的边数称为点 v 的度数
14、，记作 deg(v)。6、在实数集上，普通加法和普通乘法不是可结合运算。7、对于任何一命题公式，都存在与其等价的析取范式和合取范式。8、设（A,*）是代数系统，aA ，如果 a*aa，则称 a 为（ A，*）的等幂元。9、设 f：AB， g：BC。若 f，g 都是双射，则 gf 不是双射。10、无向图的邻接矩阵是对称阵。11、一个集合不可以是另一个集合的元素。12、映射也可以称为函数，是一种特殊的二元关系。13、群中每个元素的逆元都不是惟一的。14、是格。15、树一定是连通图。16、单位元不是可逆的。17、一个命题可赋予一个值，称为真值。18、复合命题是由连结词、标点符号和原子命题复合构成的命
15、题。19、任何两个重言式的合取或析取不是一个重言式。20、设 f：AB， g：BC。若 f，g 都是满射，则 gf 不是满射。21、集合1,2,3,3和1,2,3是同一集合。22、零元是不可逆的。23、一般的，把与 n 个个体相关联的谓词叫做一元谓词。24、“我正在说谎。”不是命题。25、用 A 表示“是个大学生 ”，c 表示“张三”，则 A(c)：张三是个大学生。26、设 F,，则 F-1 ,。27、欧拉图是有欧拉回路的图。28、设 f：AB， g：BC。若 f，g 都是单射，则 gf 也是单射。三、计算题（每题 10 分，共 40 分）1、设 A=c,d, B=0,1,2，则 AB=,，B
16、A= ,。2、A = a,b,c，B = 1,2，A B = a,b,c 1,2 = ,。3、A = a,b,c，AA = a,b,c a,b,c = ,。4、符号化命题“如果 2 大于 3，则 2 大于 4。”。设 L(x,y)：x 大于 y， a：2， b：3， c：4，则命题符号化为 L(a,b)L(a,c)。5、符号化命题“并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快”。设 F(x)：x 是兔子。G(x)：x 是乌龟。H(x,y)：x 比 y 跑得快。该命题符号化为：xy(F(x)G(y) H(x,y) 。6、符号化命题“2 是素数且是偶数”。设 F(x)：x 是素数。 G(x)：x 是偶数。
17、 a： 2，则命题符号化为 F(a)G(a)。7、设 A=a,b,c,d，R 是 A 的二元关系，定义为：R=, , ，写出 A 上二元关系 R 的关系矩阵。解：R 的关系矩阵为：108、设 A=1,2,3,4，R 是 A 的二元关系，定义为：R=, , ，写出 A 上二元关系 R 的关系矩阵。解：R 的关系矩阵为：109、设有向图 G 如下所示，求各个结点的出度、入度和度数。deg(v1)3，deg+(v1) 1，deg-(v1)2；deg(v2)deg+(v4) deg-(v2)0；deg(v3)3，deg+(v3) 2，deg-(v3)1；deg(v4)2，deg+(v4) 1，deg-(v4)1；10、设有向图 G 如下所示，求各个结点的出度、入度和度数。答：deg(v1)3，deg+(v1) 2，deg-(v1)1；deg(v2)3，deg+(v2) 2，deg-(v2)1；deg(v3)5，deg+(v3) 2，deg-(v3)3；deg(v4)deg+(v4) deg-(v4)0；deg(v5)1，deg+(v5) 0，deg-(v5)1；11、设无向图 G 如下所示，求它的邻接矩阵。01()AG
