1、120072008 学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题：16 小题，每小题 4 分，共 24 分. 请将答案写在指定位置上 .1. 平面 与平面 的夹角为 .1:0yz2:0xy32. 函数 2x在点 ),1(处沿从点 ),1(到点 )2,(的方向的方向导数为 321. 3. 设 (,)fy是有界闭区域 22:ayxD上的连续函数，则当 0a时，Dadyxf,1lim20)0,(f.4. 区域 由圆锥面 22z及平面 1围成，则将三重积分 在柱面坐标系2()fxydv下化为三次积分为 .210()rdfdz5. 设 为由曲线 32,tzytx上相应于 t从 0到
2、1的有向曲线弧， RQP,是定义在 上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有： PdxQyRz 2223( )149149149PxQydsxyx.6. 将函数 展开成余弦级数为()(0)f)0()5cos13scos41222 xxxx .二、单项选择题：712 小题，每小题 3 分，共 18 分。下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内.7. 若 有连续的二阶偏导数，且 (常数) ，则 （ ）(,)zfxy(,xyfK(,)yfxD(A) ； (B) ； (C) ； (D) .2KKyx()Ky8. 设 是连续的奇函数， 是连续的
3、偶函数，区域 ，()fx()gx(,)01,Dyxx则下列结论正确的是（ ）.A(A) ； (B) ；()0Dfygd ()Dfxgd(C) ； (D) . fxy0fyxy29. 已知空间三角形三顶点 )5,0(),1,32(CBA，则 ABC的面积为（ ）(A) ； (B) ； (C) ； (D) .927293710. 曲面积分 在数值上等于( ).2zdxy(A) 流速场 iv2穿过曲面 指定侧的流量；(B) 密度为 2z的曲面片 的质量；(C) 向量场 kzF穿过曲面 指定侧的通量；(D) 向量场 kF沿 边界所做的功. 11若级数 在 处是收敛的，则此级数在 处 ( )1(2)nn
4、cx41xD(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定. 12.级数 的敛散性为 ( )21pn A(A) 当 时，绝对收敛； （B ）当 时，条件收敛； 12p(C) 当 时，绝对收敛； （D ）当 时，发散. 020三、解答题：1320 小题，共 58 分.请将解答过程写在题目下方空白处 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.13. （本题满分 6 分）设 确定 ，求全微分 .()xyzxyze(,)xydz解：两边同取微分 ， 整理得 .1dddxy14. （本题满分 8 分）求曲线 在点（1,1,1）处的切线与法平面方程. 223054z解：两边同时关于
5、 x求导 ，解得 ，230dyxz(1,)(1,)947ydxz所以切向量为： ， 切线方程为： ；91,6T 69xy法平面方程为： ，即 .()()xyz240z15.（本题满分 8 分）求幂级数 的和函数.02nnx解：求得此幂级数的收敛域为 ， ，(1,)0(1)nn0nx0n，设 ，则102nnx1Ax101() ,(1);xnnnAddx21(,()xA3即 ，202()1nxxA.(1)n0n0n221,(1)()x16.（本题满分 6 分）计算 ，其中 为曲面 被柱面 所截下IxyzdS5yz25xy的有限部分.解： ()IxyzdS(5)（ 关于 平面对称，被积函数 是 的奇
6、函数）ox5dS.0525xyd251217.（本题满分 8 分）计算积分 ，其中 为曲线(4)()LIxyxyL上从点 到 沿逆时针方向的一段有向弧.223()()xy1,)A,B解： ， 积分与路径无关，选折线 + 为积分路径，4QPxACB其中 ，(2,1)C,2:,10xyd,0:.14xdy()LIx22(4)ACx22()()CBxxyd4114(8).3dyd18.（本题满分 8 分）计算 ， 是由曲面2()Izzd24yxz与平面 围成的有界闭区域 的表面外侧.0y解： 由高斯公式，2 2,(), ,PQRPzQxzRxyxzAIdd()dy（利用柱面坐标变换 则 ）cosin
7、,zxy 2:02,04.rr224003.rdd19.（本题满分 8 分）在第卦限内作椭球面 的切平面，使切平面与三个坐标面所122czbyax围成的四面体体积最小，求切点坐标.解：设切点坐标为 ，则切平面的法向量为 ，),(0zyx 0022,4切平面方程为 ，即 ，0)()()(202020 zcybxa 12020czbyax则切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为 ，2016bcVy令 )1(lnln),( 22000 zaxzyxzyxL解方程组 ，得 ， ， ，10212122000czbyaxzbya30ax0by30cz故切点坐标为 .)3,(20. (本题满分 6 分)设
8、均在 上连续，试证明柯西不等式：(fxg,ab22)bbaafd2().fxgd证：设 则:,.Dy（ 关于 对称）22()()bbaafxgx2()DfyDyx2()Dfygxd1Dd gxd221()()fgf2()()fxgfy ()Dfydx.bbaadd 2baxgd20082009 学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.1. 设三向量 满足关系式 ，则（ ）. ,abcabcD（A）必有 ; （B）必有 ;00bc（C）当 时
9、，必有 ; （D ）必有 （ 为常数）. ()a2. 直线 与平面 的关系是（ ）.3427xyz23xyzA（A）平行，但直线不在平面上 ; （B）直线在平面上；（C）垂直相交; （D ）相交但不垂直.53. 二元函数 在点（0，0）处（ ）25,(),(,)0xyf A(A) 不连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 4. 已知 为某二元函数的全微分，则 a（ ）.2()xayd D（A） 1; （B） 0; （C） 1; （D） 2.5. 设 是连续函数，平面区域 ，则 （ ()fu:,0Dxyx2()fxydC）. （A）
10、; （B） ;2120()xdfyd 2120()ydfd（C） ; （D ） .r r6. 设 a为常数，则级数 （ ）.1()cos)na（A）发散 ; （B）绝对收敛 ; （C）条件收敛; （D）收敛性与 a的值有关.二填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）.1. 设函数 ，向量 ，点 ，22(,)8xyzuxyz1,n0(,23)P则 03.Pn2. 若函数 在点 处取得极值，则常数22(,)fxyaxy(,)5.a3. 为圆 的一周，则L212(0.LdsA4. 设 ，级数 的收敛半径为limna21n5. 设 ，则21()xyfed 10()().4xfde6.
11、 设 是以 为周期的周期函数，它在区间 上的定义为 ，f ,32,10()xfx则 的以 2为周期的傅里叶级数在 处收敛于()x1x3.2三解答下列各题（本题共 7 小题，满分 44 分）.1.（本小题 6 分）设 是可微函数， ，求 .()fu()yzfxzy解题过程是：令 ，则 ， ，yx2fu1()2fu20.zxy2. （本小题 6 分）计算二重积分 ，其中 .1Dydx 2,1,Dy6解题过程是： D关于 x轴对称，被积函数 关于 y是奇函数，21x，201ydx故 D21Dxyd21Dxdy1220ln.rd3. （本小题 6 分） 设曲面 是由方程 所确定，求该曲面在点 处的(,
12、)z3z0(,1)M切平面方程及全微分 .(1,2)d解题过程是：令 ， ， ， ，则3Fxyx2xFy 3yxzF所求切平面的法向量为： ，切平面方程为：0,5,1yzMn 56.y， ，23xzz2z 00(,2)Mzdddxx4. （本小题 6 分） 计算三重积分 ，其中 是由柱面 及 ，xy 21y0,yz所围成的空间区域.4xy解题过程是：利用柱面坐标变换， 2dz14(cosin)200rdd1230(cosin)drr041(cosin).335. （本小题 6 分）求 ，其中 为曲面 ，方向取下侧.xzdyx2(1)zxyz解题过程是：补 21,().Dy上与 所围立体为1上
13、01,r由高斯公式，得 ，1(2)(0)xzdyxdxyzA上 221033rdz(2)xzdy13(2)zdy上 Dxy.6. （本小题 7 分） 求幂级数 的收敛域及和函数.nnx解题过程是：因为 ，故收敛区间为 ；1limnaR221li()(1,)x时，极限 ，级数均是发散的；于是收敛域为 ，li0n,21()nSx1n1nx1001nxxndd0xd2l(),(,).()x77. （本小题 7 分）例 1 计算 ， 为立体 的边界.2()IxydS21xyz解题过程是：设 ，其中 为锥面 ， 为 部分，1212,01zz22,在 面的投影为 .12,xoy:D2xy， ，2zdSd
14、2dSxy2()IxyS12()xy2()2()Ddxy2()Ddxy21Dd1301.dr四证明题（8 分）.设函数 在 内具有一阶连续导数， 是上半平面 内的有向分段光滑曲线，其(,)fxy,)L(0)y起点为 ，终点为 ，记 ，ab(cd221()1LyfxfxIdd（1）证明曲线积分 I与路径 无关;（2）当 时，求 的值.证明: (1)记 ， ，21()(,)yfxPx2()1(,)xyfQ;1)()()(1)( );(12232 yxfyfyxfxfQ xyfffffy 成立，积分 I与路径 L无关. Py（2）由于积分与路径无关，选取折线路径，由点 起至点 ，再至终点 ，则(,)
15、ab(,)c(,)cd(,)(,)cbcdabIxQxy 21cdfxfyccbftftb().cab atcddb20092010 学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题（ 6530分 分 ）1. 若向量 两两互相垂直，且 ，则,ac5,12,3ac132.c2设函数 ，求2sinyzx.zxyz3. 设函数 为连续函数, 改变下列二次积分的积分顺序：()f2 21 120 010(,)(,).y x xdxdfydfyd 84. 计算 (1,2) 20 7().yyIexdede5. 幂级数 的收敛域为：213nn3,.6. 设函数 的傅里叶级数为： ，()()f
16、xx01(cosin)2naxb则其系数 32.b二、选择题（ 450分 分 ）1直线 与平面 的位置关系是( )12xyz342xyzA(A) 直线在平面内； (B) 垂直； (C) 平行； (D) 相交但不垂直2.设函数 , 则 （ ）2(,)4()fx,)fC(A) 在原点有极小值； (B) 在原点有极大值；(C) 在 点有极大值； (D) 无极值.3. 设 L是一条无重点、分段光滑，且把原点围在内部的平面闭曲线， L的方向为逆时针方向，则 （ ）2xdyAC(A) ； (B) ； (C) ； (D) .0224. 设 为常数，则级数 （ ）a1sinaB(A) 绝对收敛； (B) 发散
17、； (C) 条件收敛； (D) 敛散性与 值有关.a三、计算题 (7+7+7+7+6+8=42 分)1. 设 讨论 在原点 处是否连续，并求出两个24,(0,)(,)0.xyf(,)fxy(0,)偏导数 和 . (7 分)0,xf,yf解：令 ，随 的取值不同，其极限值不同，42220lim(li1ykkk不存在，故 在原点不连续；0li(,)xyf,)fx，0 0(,li limxx xff.(,),)()yy yyf2. 计算 其中 是由上半球面 和锥面22Izd2zxy所围成的立体 . (7 分)2zx解：作球面坐标变换： 则sinco,sin,cos.xy， 2sindyd:02,02
18、4922Ixyzdx223400sin(2).dd3. 求锥面 被柱面 所割下部分的曲面面积 .（7 分）yx解：锥面 ： ， ，2,()zD2.2xzy2yzx21.xy xyxyDSdzdd 4. 计算曲面积分 ，其中 是由 ， ，22IzA2z21y围在第一卦限的立体的外侧表面 . （7 分）0,xz解：设 为 所围立体， 由 Gauss 公式，222,PzxQyRz22,PQRxyzxyz22Iyzdyd ()d作柱面坐标变换： 则 cos,in,.rrz， xz 2:0,1,0.2rzr212005().48rIdd5.讨论级数 的敛散性. （6 分）312ln解： 收敛 .5431
19、24lllimi0,nn312ln6. 把级数 的和函数展成 的幂级数.（8 分）211()!nnx x解：设级数的和函数为 ，则S，1211()()2!nnnSx211()sin!nx(,).即 siisico2xx20()1i2!nnn 10(1)2!nnnx221si()()nx 2121cos(),(,).()nnx 四、设曲线 是逆时针方向圆周 是连续的正函数，L2()1,ayx证明： . （8 分）()xdyA证明：设 由 Green 公式，22:(1,Da10（而 关于 对称）()()LDxdyQPxdxyA1()(DxdyDyx1()Ddy12(2.) 即 .Lxx2010-1
20、011 学年第二学期高等数学（ 2-2）期末考试 A 卷参考答案一. 填空题 (共 4 小题，每小题 4 分，共计 16 分) 1 . 2(1,0)ln),yzxedz设 则 dyx32设 ,则 = . yfsi),fy1 ,()1cos(23设函数 以 为周期， 为的 的傅里叶级数的和函数，则21co(,0xfx2)sxf. ()s4设曲线 为圆周 ,则曲线积分 = . C22RyxdsxyC上上3232R二.选择题（共 4 小题，每小题 4 分，共计 16 分）1. 设直线 为 平面 为 ,则 （ C ） . L3021,zxy40xz(A) 平行于平面 (B) 在平面 上L(C) 垂直于平面 (D) 与 相交，但不垂直 2设有空间区域 ，则 等于 （ B ）.22:xyzR22xyzdv(A) (B) (C) (D) 43R4434R3下列级数中，收敛的级数是（ C ）.(A) (B) 1)(nn1)(nn(C) (D) ne13 1)l(nn4. 设 是正项级数，则下列结论中错误的是（ D ）1na（A） 若 收敛，则 也收敛 （B）若 收敛，则 也收敛12na1na1na（C）若 收敛，则部分和 有界 （D）若 收敛，则 1nSlimn
