1、621 2xf最 优 控 制 习 题 及 参 考 答 案习题 1 求 通过 x(0) = 1 ， x(1) = 2 ，使下列性能指标为极值的曲线：t fJ = (x 2 +1)dtt0解 ： 由已 知 条件知： t0 = 0 ， t f = 1d由欧拉方程得： (2x ) = 0dtx = C1x = C1t + C2将 x(0) = 1， x(1) = 2 代入，有：C2 = 1， C1 = 1得极值轨线： x* (t) = t +1习题 2 求 性能指标： J = 1(x 2 +1)dt0在 边界条件 x(0) = 0 ， x(1) 是自由情况下的极值曲线。解 ： 由 上题得： x* (t
2、) = C t + C x* (t) 由 x(0) = 0 得： C2 = 00L由x t=t f= 2x (t f ) = 2C1 t=t = 0 t0 1于 是： x* (t) = 0【分析讨论】对于任意的 x(0) = x0 ， x(1) 自由。632 0 1 0 = 有： C = x ， C = 0 ，即： x* (t) = x其几何意义： x(1) 自由意味着终点在虚线上任意点。习题 3 已 知系统的状态方程为： x 1 (t) = x2 (t) ， x 2 (t) = u(t) 边界 条 件为： x1 (0) = x2 (0) = 1 ， x1 (3) = x2 (3) = 0 ，
3、3 1试求使性能指标 J = 0u2 (t)dt 2取 极小值的最优控制 u* (t) 以及最优轨线 x* (t) 。 x 解： 由 已知条件知： f = 2 u Hamiton 函数： H = L + T f H = 1 u2 + x + u = 0由 协态方程： 12 12 1 2 2 = C 得： 1 1 2 = C1t + C2 H由控制方程：u = u + 2 = 0得： u = 2 = C1t C2 由状态方程： x 2 = u = C1t C2得： x (t) = 1 C t2 C t + C 2 2由状态方程： x 1 = x21 2 3得： x (t) = 1 C t3 1
4、C t 2 + C t + C 1 6 1 2 2 3 4641= = 1 0将 x(0) = ， x(3) = 0 代入 ， , 1 10联立解得： C1 =由、式得：u* (t) = 10 t 29， C2 = 2 ， C3 = C4 = 1 9x* (t) = 5 t3 t 2 + t +127x* (t) = 5 t2 2t +12 9习题 4 已 知系统状态方程及初始条件为x =u ， x(0) = 1试确定最优控制使下列性能指标取极小值。1J = 0解： H = x2e2t + u2e2t + u x = u列方程： = 2xe2t 2e2t u + = 0(x2 + u2 )e2
5、t dt由得， u代入得，x1 e2t 21 e2t = 2x 1 e2t e2t = +2将 ， 代入，并考虑到 u = x x 1 e2t (2xe2t ) + e2t (2e2t x ) 2整理可得： x + 2x x = 0651 2) = u = 2 2s1 s2特征方程： s2 + 2s 1 = 0s1 = 1+ 2， s2 = 1 2于是得： x* (t) = C es1t + C es2t* (t 2e2t 2e2t x * (t) = 2e2t (C1s1es1t + C s es2t )由 x(0) = 1 ，得： C1 + C2 = 1 由 (t f ) = (1) =
6、0 得： C1s1e + C2 s2e = 0 、联立，可得 C1、C 2求 导代回原方程可得 x* u*（略）习题 5 求使系统： x 1 = x2 ， x 2 = u由 初 始 状 态 x1 (0) = x2 (0) = 0 出 发 ， 在 t f = 1 时 转 移 到 目 标 集 1x1 (1) + x2 (1) = 1，并使性能指标 J = 1u2 (t)dt2 0为最小值的最优控制 u* (t) 及相应的最优轨线 x* (t) 。解 ： 本题 f (i)， L(i) 与习题 3 同， 故 H (i) 相同方程同 通解同 1 = C1， 2 = C1t + C2 x = 1 C t3
7、 1 C t2 + C t + C有 ： 1 6 1 2 2 3 4 x = 1 C t 2 C t + C 2 2 1 2 3 u = C1t C266f 0x(0) = 0由 ，有： C3 = C4 = 0 由 x1 (1) + x2 (1) = 1，有：1 C 1 C + 1 C C = 16 1 2 2 2 1 22 C 3 C = 13 1 2 2 T由 (1) = + = 0 ， = x1 + x2 1x x1有 ： (1) = = 0 (1) = (1)1 1 2于是： C1 = C1 + C22C1 = C2 3 6 、 联立，得： C1 =- 、 C2 = -7 7于是： u
8、* = 3 t + 67 7x * = 1 t3 + 3 t 21 14 7x * = 3 t 2 + 6 t2 14 7习题 6 已知一阶系统： x (t) = x(t) + u(t) ， x(0) = 3（ ） 试 确 定 最 优 控 制 u* (t) ， 使 系 统 在 t = 2 时 转 移 到 x(2) = 0 ， 并 使 性能泛函2J = (1+ u2 )dt = min067f f1tCC4（ ） 如果使系统转移到 x(t ) = 0 的终端时间 t 自由 ， 问 u* (t) 应如何确定？解： H = 1+ u2 + u x x = x + u列 方程： = 2u + = 0由
9、 协态方程得： = C et 1 t由 控制方程： u = C1e 2 t f1 t代入状态方程： x = x C1e2= 2， x(2) = 0 x(t) = C2e 1 C et4 1 1 C = 3 2 4 1C e2 1 C e2 = 0 2 4 112解得： C1 = 4 ，e 13e4C2 = 4e 1代入 得： u* (t) = x(t f ) = 2， t f自 由6 ete4 1 1 C = 3 2 4 1C et f 1 C et f = 0 2 1 H (t f ) = 0解得： C1 =40 6 = 0.32568f u* (t) = 0.162et习题 7 设 系统状
10、态方程及初始条件为x (t) = u(t) ， x(0) = 1试确定最优控制 u* (t) ，使性能指标1 t f 2J = t +2 0u dt为极小，其中终端时间 t f 未定， x(t f ) = 0 。解： H = 1 u2 + u2由 协态方程得： = 0 = C1 由 控制方程： u + = 0 u = C1 由状态方程： x = u = C1 x(t) = C1t + C2 由始端： x(0) = 1 C2 = 1由末端： x(t f ) = 0 C1t f +1 = 0 考虑到： H (t f ) = tt = 1 f f1 2有： u + u = 121 C 2 C 2 =
11、 1 C 2 = 22 1 1 1C1 = 2 当 C1 = 2 时，代入有： t f = 1 = 1C1 2691f6当 C1 = 2 时，代入有： t f = 1 = 1 ，不合题意，故有 C = 2C1 2最优控制 u* = 2习题 8 设系统状态方程及初始条件为x 1 (t) = x2 (t) ， x1 (0) = 2性能指标为x 2 (t) = u(t) ，J = 1 t f u2 dtx2 (0) = 12 0要求达到 x(t f ) = 0 ，试求 ： （ 1） t f = 5 时的最优控制 u* (t) ；（2） t 自由时的最优控制 u* (t) ；解 ： 本题 f (i )
12、， L(i )， H (i ) 与前同，故有 1 = C1 2 = C1t + C2 x = 1 C t3 1 C t2 + C t + C 1 1 2 2 3 4x = 1 C t 2 C t + C 2 2 1 2 3 u = C1t C2 2 0 C4 = 2 C3 = 1 125 25 由 x(0) = x(5) = 0 ，得： C1 C2 + 5C3 + C4 = 0 1 6 2 25C 5C + C = 0 1 2 3 270622联立得： C1 = 0.432， C2 = 1.28 ， u* = 0.432t 1.28 t f 自由C = 1 4 C3 = 2 1 C t3 1
13、C t 2 + C t + C = 0 1 f 2 2 f 3 f 4 1 C t2 C t+ C = 0 2 1 f 2 f 3 H (t f ) = 0联立有： C 2t 2 2C t+ 2 = 0 ， 无论 C 为何值， t 均无实解。2 f 2 f 2 f习题 9 给 定二阶系统x (t) = x (t) + 1 ， x (0) = 11 2 4 1 41x 2 (t) = u(t) ，1x2 (0) = 4控制约束为 u(t) ，要求最优控制 u* (t) ，使系统在 t = t2 f并使时 转 移到 x(t f ) = 0 ，其中 t f 自由。t fJ = u2 (t)dt = min0解： H = u2 + x + 1 + u1 2 4 1 2 1 1 2 2 2本题属最小能量问题，因此： u* (t) = 1 1 2 1 1 271
