1、1现代控制理论第 1 章习题解答1.1 线性定常系统和线性时变系统的区别何在？答：线性系统的状态空间模型为： xABuyCD线性定常系统和线性时变系统的区别在于：对于线性定常系统，上述状态空间模型中的系数矩阵 ， ， 和 中的各分量均为常数，而对线性时变系统，其系数矩阵 ， ，ABCDAB和 中有时变的元素。线性定常系统在物理上代表结构和参数都不随时间变化的一类系统，而线性时变系统的参数则随时间的变化而变化。1.2 现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有什么区别？答: 传递函数模型与状态空间模型的主要区别如下: 传递函数模型（经典控制理论） 状态空间模型（现代控制理论）仅适用
2、于线性定常系统 适用于线性、非线性和时变系统用于系统的外部描述 用于系统的内部描述基于频域分析 基于时域分析1.3 线性系统的状态空间模型有哪几种标准形式？它们分别具有什么特点？答: 线性系统的状态空间模型标准形式有能控标准型、能观标准型和对角线标准型。对于阶传递函数n，1210()nnbsbsGdaa分别有 能控标准型： 012100nnxxuaaybbd 2 能观标准型： 00112211010nnbaxxuabyxd 对角线标准型： 1212001npxupyccxd 式中的 和 可由下式给出，12,np 2,n11012() nbsbs ccG daaspsp 能控标准型的特点：状态矩
3、阵的最后一行由传递函数的分母多项式系数确定，其余部分具有特定结构，输出矩阵依赖于分子多项式系数，输入矩阵中的元素除了最后一个元素是 1外，其余全为 0。能观标准型的特点：能控标准型的对偶形式。对角线标准型的特点：状态矩阵是对角型矩阵。1.4 对于同一个系统，状态变量的选择是否惟一？答：对于同一个系统，状态变量的选择不是惟一的，状态变量的不同选择导致不同的状态空间模型。1.5 单输入单输出系统的传递函数在什么情况下，其状态空间实现中的直接转移项 不等D于零，其参数如何确定？答: 当传递函数 的分母与分子的阶次相同时，其状态空间实现中的直接转移项 不等)(sG于零。转移项 的确定：化简下述分母与分
4、子阶次相同的传递函数D011)( assabbsnn 可得： dssccsGnn011)(由此得到的 就是状态空间实现中的直接转移项 。dD1.6 在例 1.2.2 处理一般传递函数的状态空间实现过程中，采用了如图 1.12 的串联分解，试问：若将图 1.12 中的两个环节前后调换，则对结果有何影响？3答: 将图 1.12 中的两个环节调换后的系统方块图为：图中， 。32101()assa210()bssb由于 相当于对 作 3 次积分，故 可用如下的状态变量图表示：3sy ()ym因为 相当于对 作 2 次微分，故 可用如下的状态变量图表示: 2sb()mbsu因此，两个环节调换后的系统状态
5、变量图为进一步简化，可得系统状态变量图为()bs1myudttdt0b2b1mu0a2a1ydttt0b2b1mu 0a2a1yu0b1b20a2a1yxx3x4取 ， ， ，可以得到两个环节调换后的系统的状态空间模型为3yx21yx001122abxuy两个环节调换前的状态空间模型是： 0120xxuayb显然，调换前后的状态空间实现是互为对偶的。1.7 已知系统的传递函数 2()65YsUs试求其状态空间实现的能控标准形和能观标准形。答： 系统的能控标准形为: 0165xxuy系统的能观标准形为: 0615xxuy1.8 考虑由下图描述的二阶水槽装置，5u1u2 x2 x1图 1.18 二
6、阶水槽装置图该装置可以看成是由两个环节串联构成的系统，它的方块图是：22asb 11asbu2 x2 u1 x1图 1.19 二阶水槽系统的方块图试确定其状态空间模型。答：图 1.19 中两个环节的状态空间模型分别为:和 22xyuba11xyuba又因为 ，所以21xu2112ubaxy进一步将其写成向量矩阵的形式，可得： 2112121 00ubxay1.9 考虑以下单输入单输出系统: 616yyu试求该系统状态空间模型的对角线标准形。答： 由微分方程可得: 321)3(2)1(61)(23 scscsssG其中， )(6lim1scs66)3(1lim2scs3s故该系统状态空间模型的对
7、角线标准形为: uxx130212323216y1.10 已知单输入单输出时不变系统的微分方程为: ()4()6()8yttytutut试求:（1）建立此系统状态空间模型的对角线标准形；（2）根据所建立的对角线标准形求系统的传递函数。答: （1）由微分方程可得: 345213486)(2sssG记，12125()()csss其中， 。3lim1sc 215lim32sc从输入通道直接到输出通道上的放大系数 ，由此可得:duxx02121y3（2） 由于 ， ， ， ，因此301A1B21CD()301(1.50.13GsIAss1.11 已知系统的传递函数为725()3()sG（1） 采用串联
8、分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图；（2） 采用并联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图。答:（1）将 重新写成下述形式：()Gs125()3ss每一个环节的状态空间模型分别为：和 13xyu125uxy又因为 ， 所以1yu21235xy因此，若采用串联分解方式，则系统的状态空间模型为： ux0132125xy对应的状态变量图为：（2）将 重新写成下述形式：()Gs 0.52()3SGs每一个环节的状态空间模型分别为： 1.xuy25.x又由于 u5.03212yx52xy1u31x8因此，若采用并联分解方式，则系统的状态空间模型为： uxx5.200312
9、12y对应的状态变量图为：1.12 已知系统的状态空间模型为 ，写出该系统的特征多项式和传递,xABuyCx函数矩阵。答: 系统的特征多项式为 ，det()sI传递函数为 。1)GC1.13 一个传递函数的状态空间实现是否惟一？由状态空间模型导出的传递函数是否惟一？答: 一个传递函数的状态空间实现不惟一；而由状态空间模型导出的传递函数是惟一的。1.14 已知系统的状态空间模型为 ，写出其对偶状态空间模型。CxyBuAx,答: 其对偶状态空间模型为: xyT1.15 两个对偶状态空间模型之间的特征多项式和传递函数有什么关系？答: 对于互为对偶的 与 ，它们对应的特征多项式分别为CxyBuAxyu
10、CAT和 。由于一个矩阵和其装置的特征多项式是相同的，故互为对偶的det()sIAdet()TsI两个状态空间模型具有相同的特征多项式。它们对应的传递函数分别为 11()()detCsIABGsI0.535uy2.51x12x2912 ()()detTTTBsIACGsBIAC由于 ， ，故对偶状态空间det()detTsIAI(模型之间的传递函数关系为 ，即互为转置。12)Ts1.16 考虑由以下状态空间模型描述的系统: 0165xxuy试求其传递函数。答: 由于 11()()GsCIABDCsIABs65(故 651)(510615)5(1) 22 ssss1.17 给定系统的状态空间模型
11、: 010432101xxuyu求系统的传递函数矩阵。答: 系统的传递函数为 。由于()GsCIAB ssssssAsI 41432361621340)( 22311因此， BAICsG)() 10414323610316223 sssss2231.18 试用 MATLAB 软件求出下列传递函数的状态空间实现:1023104760()51sG答: 执行以下的 m-文件：num=0 10 47 160; den=1 14 56 160;A,B,C,D=tf2ss(num,den)得到：， ， ， 010654A01B16047CD由此可知： uxx 01065432132132647y1.19 试用 MATLAB 软件求以下系统的传递函数: 112233123000xxuyx答: 执行以下 m-文件：A=0 1 0;-1 -1 0;1 0 0;B=0;1;0;C=1 0 0;D=0;num,den=ss2tf(A,B,C,D)可得：num = 0 0 1.0000 0den = 1.0000 1.0000 1.0000 0因此，系统的传递函数为 ssG23)(1.20 试用 MATLAB 软件求以下系统的传递函数:
