数学分析15.3傅里叶级数收敛定理的证明(共8页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上第十五章 傅里叶级数3收敛定理的证明预备定理1：(贝塞尔不等式)若函数f在-,上可积，则+dx，其中an, bn为f的傅里叶系数.证：令Sm(x)=+，则dx=dx-2dx+dx. 其中dx=dx+=+. 由三角函数的正交性，有dx=dx=dx+dx=+.dx=dx-2+=dx-+0.+dx对任何正整数m都成立. 又dx为有限值，正项级数+的部分和数列有界，+收敛且有+dx.推论1：(黎曼-勒贝格定理)若f为可积函数，则dx=0.证：由+收敛知，0 (n)，an0, bn0, (n)，dx=dx=0.推论2：若f为可积函数，则dx=dx =0.证：=cossinnx+sincosnx，dx =dx+dx=dx+dx，其中F1(x)=；F2(x)=.可知F1与F2在-,上可积. 由推论1可知dx=0. dx=0.同理可证：dx =0.预备定理2：若f是