泛函分析第七章习题解答(共13页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上第七章 习题解答1设（X，d）为一度量空间，令 问的闭包是否等于？ 解 不一定。例如离散空间（X，d）。=，而=X。 因此当X多于两点时，的闭包不等于。2. 设 是区间上无限次可微函数的全体，定义 证明按成度量空间。证明 （1）若=0，则=0，即f=g（2） =d（f，g）+d（g，h）因此按成度量空间。3 设B是度量空间X中的闭集，证明必有一列开集包含B，而且。证明 令是开集：设，则存在，使。设则易验证，这就证明了是 开集 显然。若则对每一个n，有使，因此。因B是闭集，必有，所以。4. 设d（x，y）为空间X上的距离，证明是X上的距离。证明 （1）若则，必有x=y （2）因而在上是单增函数，于是=。5. 证明点列按习题2中距离收敛与的充要条件为的各阶导数在a，b上一致收敛于f的各阶导数。证明 若按习题2中距离收敛与，即 0