1、 数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设 12zii:，则 z（ ）A B2 C 102 D 522.已知集合 2|6x， |Bx，则 AB（ ）A 1,3 B ,01,3 C 2,0 D 3,01,23.某校为了解 1000 名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取 40名同学进行检查，将学生从 :进行编号，现已知第 18 组抽取的号码为 443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为（ ）A16 B17 C18 D19 4.已知双曲线 2103xya的一个焦
2、点与抛物线 28yx的焦点重合，则 a为（ ）A 19 B1 C.2 D45.函数 xy的图象大致为（ ）A B C. D6.512x的展开式中 3x的系数为（ ）A10 B-30 C.-10 D-207.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（ ）A-1 B0 C.7 D18.已知函数 2sin0fxx， 14f则 fx的一个单调递减区间是（ ）A 5,12 B 7,12 C. ,63 D 5,129.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”愿意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种
3、形式，如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推.例如 6613 用算筹表示就是 ，则 9117 用算筹可表示为（ ） A. B C. D10.若实数 ,xy满足不等式组3,72408,yx，则 zxy的最小值是（ ）A8 B4 C. 6 D211.某几何体三视图如图，则该几何体体积是（ ）A4 B 43 C. 8 D212.下列命题为真命题的个数是（ ）2e； 2ln； l1e； ln2A1 B2 C. 3 D4第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 2
4、0 分，将答案填在答题纸上）13.已知 1,2a， ,4bk，若 /ab，则 k 14.如图，四棱锥 PABCD中， ABCD平 面 ，四边形 为正方形，A，四棱锥 的五个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是 15.设 ,|0,1Axyey（ e为自然对数的底数） ，任取 ,abA，则满足1ab的概率是 （结果用 表示） 16.设 nS是等差数列 na的前 项之和，若 2014Sa， 2015S（ ,为常数） ，则 2016 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 12 分）在 ABC中，角 ,所对的边分别为 ,abc
5、， ABC的面积为 S，若2243abcS.（）求角 的大小；（）若 3c， 2S，求 ab的值.18.（本小题满分 12 分）已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由安徽卫视推出的大型户外竞技类活动男生女生向前冲 ，活动共有四关，设男生闯过一至四关的概率依次是5432,6，女生闯过一至四关的概率依次是 4321,5.（）求男生闯过四关的概率；（）设 表示四人冲关小组闯过四关的人数，求随机变量 的分布列和期望.19.（本小题满分 12 分）如图，在三棱锥 VABC中， 45， 2VB， 3C， 1B，2AB，且 在平面 上的射影 D在线段 A上 .（）求证： DCB；（）
6、设二面角 VA为 ，求 的余弦值.20. （本小题满分 12 分）如图，点 2,0， ,B分别为椭圆 2:10xyCab的左右顶点，,PMN为椭圆 C上非顶点的三点，直线 ,APB的斜率分别为 12,k，且 12,4k，/AO， /.（）求椭圆 C的方程；（）判断 OMN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.21.（本小题满分 12 分）已知函数 lnfxa.（）若对定义域内任意 x， 0f成立，求实数 a的取值范围；（）若 120，求证：对 12,x，不等式 12fxffxf恒成立.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （
7、本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy中， 1C的参数方程为21,xty（ 为参数） ，在以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中， 2C的极坐标方程 2cos30.（）说明 2C是哪种曲线，并将 2的方程化为普通方程；（） 1与 2有两个公共点 ,AB，顶点 P的极坐标 2,4，求线段 AB的长及定点P到 ,AB两点的距离之积.23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲设函数 124fxx.（）求 y的最小值；（）求不等式 6fx的解集.试卷答案一、选择题1-5:CBA 6-10:CDA 11、12： BD二、填空题13.2 14.
8、12 15. 21e 16. 403216ba三、解答题17.解：（）因为 2243abcS，所以 2cossin32abCC化简得： tn3C，又 0C， .18.解：（）记男生四关都闯过为事件 A，则543216PA.（）记女生四关都闯过为事件 B，则432155PB，因为2460，22112 93535PC:，222 1244523C:，21123535PC:，24.所以的分布列如下： 64952124016013255E.19.（）证明： VB， C， BCV，DAD平 面，C， 平 面 .（）解：（法一）作 EAC垂足为 ，连接 VE，则 VE为二面角 B的平面角.在 BD中， 45
9、， D， 1，1C， 2， ，在 A中， 13， 2AB，2cos5C:，5DE，又 V平 面 ， VD ，又 3C， 2VD ，51cosVEVED .（法二）在 BCD中， 45， DCB， 1，1， 2， ，在 A中， 13， 2A，又 VBC平 面 ， V ，又 3C， V ，如图建立直角坐标系， 1,0D， ,10， 2,10A， ,2，平面 AB的法向量为 e，平面 VC的法向量为 2,，12cose:.20.解：（）21,4APBbka:椭圆2:14xCy.（）设直线 MN的方程为 ykxt， 1,My， 2,Nxy，222,418404ykxtkt，122841ktx， 241
10、txk， 12 12121212 040ykyxkxttx:，444xktxt，22 222810411ktttk，2221211MNxkxx2228414ktt，2tdk， 22211ttSk.OMN的面积为定值 1.21.（）解： lnfxa的导数为 ln0fxx ，令 0f 得 1e，所以 min1yfae，0fx恒成立， min0y，即 min10yfae，所以 1e.（）证明： lfxa的导数为 lnfxx ，易知 ln1f 在 0,上为增函数.欲证明 21xffxf，从图像分析可先证 1 2fxffxff ，先证明 1lnfffxx ， 10，即证： 11lff设 nFxxx， 120x，1 1lnll 0xf ，所以 11lnxffxx在 12,内为减函数，所以 10F，故 1lff对于 12,x成立，欲证 2lnfxf即证： 22ln0fxf，令 22ln1Gff， 120x2ln1ll 10x xxf ，所以 22ln1ffx在 2,x内为增函数，2Gx故 2ln1fx成立.综上：对 12,，不等式 12fxffxf恒成立.22.解：（） 2C是圆， 2的极坐标方程 2cos30，化为普通方程： 30xy即： 214xy.（）的极坐标平面直角坐标为在直线 C上，
