1、安徽省合肥市 2018届高三第一次教学质量检测数学理试题第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知 为虚数单位，则 （ ）i234iiA5 B C D5i7125i7125i2.已知等差数 ，若 ，则 的前 7项的和是（ ）na20,anA112 B51 C28 D183.已知集合 是函数 的定义域，集合 是函数 的值域，则 （ ）M12yxN24yxMNA B 12x 142xC 且 D ,y4y4.若双曲线 的一条渐近线方程为 ，该双曲线的离心率是（ ）210,xabyxA B C D 5352
2、35.执行如图程序框图，若输入的 等于 10，则输出的结果是（ ）nA2 B C D 312136.已知某公司生产的一种产品的质量 (单位：克)服从正态分布 .现从该产品的生产线上随机抽X10,4N取 10000件产品，其中质量在 内的产品估计有（ ）98,104（附：若 服从 ，则 ， ）X2,N0.682PX20.954PXA3413 件 B4772 件 C6826 件 D8185 件7.将函数 的图像先向右平移 个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来cosinyx的 倍，得到 的图像，则 的可能取值为（ ）a2six,aA B C D,23,2831,82a1,2a8.已知数列
3、的前 项和为 ，若 ，则 （ ）nanSna201A B C D 201820183687201839.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A B C D 5186188610610.已知直线 与曲线 相切(其中 为自然对数的底数)，则实数 的值是（ ）20xyxyaeeaA B1 C2 D 11.某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为 2千元/件、1 千元/件.甲、乙两种产品都需要在 两AB、种设备上加工，生产一件甲产品需用 设备 2小时， 设备 6小时；生产一件乙产品需用 设备 3小时，AB设备 1小时. 两种设备每月可使用时间数
4、分别为 480小时、960 小时，若生产的产品都能及时售出，BAB、则该企业每月利润的最大值为（ ）A320 千元 B360 千元 C400 千元 D440 千元12.已知函数 (其中 为自然对数的底数） ，若函数 有 4个零2,xefxg hxfgk点，则 的取值范围为（ ）kA B C D 1,00,121,e210,e第卷（共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13. 若平面向量 满足 ，则 ,ab2,6abab14.已知 是常数， ，且 ，则 m5432011 xxx 123453aam15.抛物线 的焦点为 ，准线 与 轴交于点 ，过抛物线 上一点 (
5、第一象限内)作 的垂线2:4EyxFlxAEPl,垂足为 .若四边形 的周长为 16，则点 的坐标为 PQAPQP16.在四面体 中， ，二面角 的大小为 ,则四面BCD2,60,90BDCABDC150体 外接球的半径为 A三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知 的内角 的对边分别为 ， .BC,A,abc2cos0CA（1）求角 ；（2）若 ，求 的周长的最大值.3c18.2014年 9月，国务院发布了关于深化考试招生制度改革的实施意见.某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科.每个考生，英
6、语、语文、数学三科为必考科目 并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科 学科目，政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.（1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目.若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获 等的概率都是 0.8，所选的自然科学科目考试的成绩获 等的概率都A A是 0.75,且所选考的各个科目考试的成绩相互独立.用随机变量 表示他所选考的三个科目中考试成绩获X等的科目数，求 的分布列和数学期望.A
7、X19.如图，在多面体 中， 是正方形， 平面 ， 平面 ， ，点ABCDEFBFACDEABCDFE为棱 的中点.ME（1）求证：平面 平面 ；/BMDEFC（2）若 ，求直线 与平面 所成的角的正弦值.2EABDM20.在平面直角坐标系中，圆 交 轴于点 ，交 轴于点 .以 为顶点， 分别为左、右Ox12,y12,B12,12,F焦点的椭圆 ，恰好经过点 .21,（1）求椭圆 的标准方程；E（2）设经过点 的直线 与椭圆 交于 两点，求 面积的最大值.2,0lE,MN2FN21.已知 .ln1afxRx（1）讨论 的单调性；f（2）若 恒成立，求 的值.fxaa请考生在 22、23 两题中
8、任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 ( 为参数)，在以 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系xOy13cos:2inxCyOx中，曲线 .2:cos0C（1）求曲线 的普通方程；（2）若曲线 上有一动点 ，曲线 上有一动点 ，求 的最小值.1M2CNM23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 .2fx（1）解关于 的不等式 ；x1fxf（2）若关于 的不等式 的解集不是空集，求 的取值范围.fmfxm试卷答案一、选择题1-5: ACBCC 6-10: DDACB 11、12：BD二、填空题13. 14. 3 15. 16. 1
9、4, 213三、解答题17. 解：（1）根据正弦定理，由已知得： ，sin2icosincs0ABCA即 ，sincosic2sincoACABC ， ， ，Bsinsinsi0B ，从而 .sin2icoC1co2 ， .0,C3（2）由（1）和余弦定理得 ，即 ，221cosabc21aba ，223aba即 (当且仅当 时等号成立）.2483b所以， 周长的最大值为 .ABC46c18. （1）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件 ，M则 ，361920PM所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为 .1920（2）随机变量 的所有可能取值有
10、 0, 1，2，3.X因为 ,2105480P，2123XC，21243355480PXC，9340所以 的分布列为X所以 .1036223880EX19.（1）证明：连结 ，交 于点 ，ACBDN 为 的中点， .N/ME 平面 ， 平面 ，MEFF 平面 ./ 都垂直底面 ，,BDABCD ./FE ， 为平行四边形， .B/BEF 平面 ， 平面 ，DEFCC 平面 ./又 ，平面 平面 .MNB/BDMEF（2）由已知， 平面 ， 是正方形.EA 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系 .,DACDxyz设 ，则 ，从而 ，2B42,01,2,0,4BAE ，,01,M设平面 的一个法向量
11、为 ，D,nxyz由 得 .0nB20xyz令 ，则 ，从而 .2x,1yz2,1n ，设 与平面 所成的角为 ，则,04AEAEBDM，45sinco1n所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 .AEB45120.（1）由已知可得，椭圆 的焦点在 轴上.Ex设椭圆 的标准方程为 ，焦距为 ，则 ，E210xyab2cb ，椭圆 的标准方程为 .22abc21xy又椭圆 过点 ， ，解得 .E1,21b2b椭圆 的标准方程为 .xy（2）由于点 在椭圆 外，所以直线 的斜率存在.2,0El设直线 的斜率为 ，则直线 ，设 .lk:2lykx12,MxyN由 消去 得， .21yx22)180k（
12、由 得 ，从而 ， 02k22121,xxkk .221 4MNx点 到直线 的距离 ，21,0Fl231kd 的面积为 .2MN242SNk令 ，则 ，1kt1, ，2233tttS22313148tt当 即 时， 有最大值， ，此时 .14t1,tSmaxS6k所以，当直线 的斜率为 时，可使 的面积最大，其最大值 .l62FMN32421.（） 的定义域为 ， .fx12， 2211axafx .210,令 ，则 gxax（1）若 ，即当 时，对任意 ， 恒成立， 即当 时，021,2x0gx1,2x恒成立（仅在孤立点处等号成立）.fx 在 上单调递增.,2（2）若 ，即当 或 时， 的
13、对称轴为 .02a0gx2ax当 时， ，且 .a1g如图，任意 ， 恒成立， 即任意 时， 恒成立，,2x0x1,2x0fx 在 上单调递增.fx1,2当 时， ，且 .a102g如图，记 的两根为 0gx22121,xaxa当 时， ；12,xx0gx当 时， .,2a当 时， ，12,xx0fx当 时， .2,0f 在 和 上单调递增，在 上单调递减.fx1,2,x12,x综上，当 时， 在 上单调递增；af1,当 时， 在 和 上单调递增，2fx2,a2,a在 上单调递减.2211,a （） 恒成立等价于 ， 恒成立. fx1,x0fxa令 ，则 恒成立等价于 ， . ln2ahfaf 1,2x01hx*要满足 式，即 在 时取得最大值.*hx1 .322aaxhx由 解得 .101
