1、 高三年级（数学- 理科） 第 1 页（共 4 页）海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2018. 1本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。第一部分（选择题，共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）复数 2i（A） （B） （C） （D）i2i2i2i（2）在极坐标系 中，方程 表示的圆为Oxsn xO1xO1 xO1xO1（A） （B） （C） （D）（3）执行如图所示的程序框图，输出的 值为 k（A） 4 （B）
2、 5 （C） 6 （D） 7开 始a = 1 , k = 1 a = 2a k = k +1 结 束a 10 输 出 k否是高三年级（数学- 理科） 第 2 页（共 4 页）（4）设 是不为零的实数，则“ ”是“ 方程 表示双曲线”的m0m21xym（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）已知直线 与圆 ： 相交于 ， 两点，且 为正三角形，0xymO21xyABOAB则实数 的值为（A） （B） （C） 或 （D） 或 32623262（6）从编号分别为 1，2，3，4，5，6 的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两
3、个小球编号相邻的概率为（A） （B） （C） （D）3545（7）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中： 三棱锥的体积为 16 三棱锥的四个面全是直角三角形 三棱锥四个面的面积中最大的值是 32所有正确的说法是（A） （B） （C） （D）1 22主 视 图 左 视 图俯 视 图高三年级（数学- 理科） 第 3 页（共 4 页）（8）已知点 为抛物线 ： 的焦点，点 为点 关于原点的对称点，FC20ypxKF点 在抛物线 上，则下列说法错误的是M（A）使得 为等腰三角形的点 有且仅有 4 个KM（B）使得 为直角三角形的点 有且仅有 4 个F（C）使得 的点 有且仅有 4 个4（D）使得 的
4、点 有且仅有 4 个 6MK第二部分（非选择题，共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）点 到双曲线 的渐近线的距离是_ .(2,0)214xy（10）已知公差为 的等差数列 中， ， ， 成等比数列，则 的前 100 项的1na124ana和 为 （11）设抛物线 ： 的顶点为 ，经过抛物线 的焦点且垂直于 轴的直线和抛C24yxOCx物线 交于 A，B 两点，则 AB（12）已知 展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64：1，51nx则 （13）已知正方体 的棱长为 ， 是棱 的中点，点 在底面1ABCD42MBCPAB高三年级（数学- 理
5、科） 第 4 页（共 4 页）内，点 在线段 上.若 ，则 长度的最小值为 Q1AC1PMQ（14）对任意实数 ，定义集合 .k20(,),kxyDxykR 若集合 表示的平面区域是一个三角形，则实数 的取值范围是 ；k k 当 时，若对任意的 ，有 恒成立，且存在 ，00(,)xyD31ax0(,)xyD使得 成立，则实数 的取值范围为 xyaa三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15） （本小题 13 分）如图，在ABC 中，点 在 边上，且 ， ， ，DAC3DC7AB3D.=6C（）求 的值；（）求 的值. tanAB（16） （本小题 13
6、 分）据中国日报网报道：2017 年 11 月 13 日，TOP500 发布的最新一期全球超级计算机500 强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席.其中超算全球第一“神威太湖之光” 完全使用了国产处理器.为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了 12 次测试，结果如下：（数值越小，速度越快，单位是 MIPS）测试 测试 测试 测试 测试 测试 测试 测试 测试 测试 测试 测试ABCD高三年级（数学- 理科） 第 5 页（共 4 页）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12品牌 A3 6 9 10 4 1 12 17 4 6 6 14品牌 B2 8
7、 5 4 2 5 8 15 5 12 10 21（）从品牌 的 12 次测试结果中，随机抽取一次，求测试结果小于 7 的概率；（）在 12 次测试中，随机抽取三次，记 为品牌 的测试结果大于品牌 的测试结果 XAB的次数，求 的分布列和数学期望 ；X()E（）经过了解，前 6 次测试是打开含有文字与表格的文件，后 6 次测试是打开含有文字 与图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.（17） （本小题 14 分）如图 1，梯形 中， ， ， ， ， 为ABCD/BCD1BC2ADE中点.将 沿 翻折到 的位置， 使 如图 2.ADE1E1A
8、E（）求证：平面 平面 ；1（）求 与平面 所成角的正弦值；1AB1CD（）设 、 分别为 和 的中点，试比较三棱锥 和三棱锥MN1EB1MACD（图中未画出）的体积大小，并说明理由. 1A E DB C B CE DA1MN图 1 图 2高三年级（数学- 理科） 第 6 页（共 4 页）（18） （本小题 13 分） 已知椭圆 ： ，点 . C29xy(2,0)P（）求椭圆 的短轴长与离心率；（）过（1，0）的直线 与椭圆 相交于 、 两点，设 的中点为 ，lCMNT判断 与 的大小，并证明你的结论.|TP|（19） （本小题 14 分）已知函数 2()xfae（）求曲线 在点 处的切线方程
9、； yf(0,)f（）当 时，求证：函数 有且只有一个零点；0afx（）当 时，写出函数 的零点的个数.（只需写出结论）()f（20） （本小题 13 分）无穷数列 满足： 为正整数，且对任意正整数 n， 为前 nna1 1a项 中等于 的项的个数.12,na n（）若 ，请写出数列 的前 7 项；1na（）求证：对于任意正整数 M，必存在 ，使得 ；kNkaM（）求证：“ ”是“ 存在 ，当 时，恒有 成立”的充要条件.1amn2n海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案 2018.1数 学（理科） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.题号 1 2 3 4 5 6 7
10、 8高三年级（数学- 理科） 第 7 页（共 4 页）选项 A D B A D C D C二、填空题:本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.(有两空的小题第一空 3 分)（9） （10）5050 （11） 2 （12）625（13） （14） 3(1,)1,5三、解答题: 本大题共 6 小题，共 80 分.15. （本小题 13 分）解：（）如图所示， ，.1 分36DBCA故 ， .2 分ABCD设 ，则 ， .DCxBx3D在 中，由余弦定理A.3 分22cosAB即 ， .4 分217(3)37xx解得 ，即 . .5 分1DC（）方法一. 在 中，由 ，得 ，故ABAB60
11、ADB.7 分362CC在 中，由正弦定理sinsiAB高三年级（数学- 理科） 第 8 页（共 4 页）即 ，故 ， .10 分471sin2ABC2sin7ABC由 ，得 ， .11 分(,)3cos713 分2tan3ABC方法二. 在 中，由余弦定理D.8 分22719cos 27AB由 ，故 (0,)ABD3sin27ABD故 .11 分tan3故3tanta26tata()61n1ABDABC13 分方法三： ， 22cos3BCDBCDBC8 分22cos 7A因为 ，所以 11 分(0,)BCsinABC高三年级（数学- 理科） 第 9 页（共 4 页）所以 13 分2tan3
12、ABC16. （本小题 13 分）（）从品牌 的 12 次测试中，测试结果打开速度小于 7 的文件有：测试 1、2、5、6、9、10、11，共 7 次设该测试结果打开速度小于 7 为事件 ，因此 .3 分A()12P（）12 次测试中，品牌 的测试结果大于品牌 的测试结果的次数有：AB测试 1、3、4、5、7、8，共 6 次随机变量 所有可能的取值为：0，1，2，3X6312()CP63129()X12639()CPX.7 分03612()CP随机变量 的分布列为X0 1 2 3P19291.8 分.10 分1913()022EX（）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现
13、的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，1 分；高三年级（数学-理科） 第 10 页（共 4 页）结合已有数据，能够运用以下 8 个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2 分.13 分.标准 1: 会用前 6 次测试品牌 A、品牌 B 的测试结果的平均值与后 6 次测试品牌A、品牌 B 的测试结果的平均值进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度）标准 2: 会用前 6 次测试品牌 A、品牌 B 的测试结果的方差与后
14、 6 次测试品牌 A、品牌 B 的测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动）标准 3：会用品牌 A 前 6 次测试结果的平均值、后 6 次测试结果的平均值与品牌B 前 6 次测试结果的平均值、后 6 次测试结果的平均值进行阐述（品牌 A 前 6 次测试结果的平均值大于品牌 B 前 6 次测试结果的平均值，品牌 A 后 6 次测试结果的平均值小于品牌B 后 6 次测试结果的平均值，品牌 A 打开含有文字和表格的文件的
15、速度慢于品牌 B，品牌 A打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌 B）标准 4：会用品牌 A 前 6 次测试结果的方差、后 6 次测试结果的方差与品牌 B 前6 次测试结果的方差、后 6 次测试结果的方差进行阐述（品牌 A 前 6 次测试结果的方差大于品牌 B 前 6 次测试结果的方差，品牌 A 后 6 次测试结果的方差小于品牌 B 后 6 次测试结果的方差，品牌 A 打开含有文字和表格的文件的速度波动大于品牌 B，品牌 A 打开含有文字和图形的文件的速度波动小于品牌 B）标准 5：会用品牌 A 这 12 次测试结果的平均值与品牌 B 这 12 次测试结果的平均值进行阐述（品牌 A 这 12 次测试结果的平均值小于品牌 B 这 12 次测试结果的平均值，品牌 A 打开文件的平均速度快于 B）标准 6：会用品牌 A 这 12 次测试结果的方差与品牌 B 这 12 次测试结果的方差进行阐述（品牌 A 这 12 次测试结果的方差小于品牌 B 这 12 次测试结果的方差，品牌 A 打开文件速度的波动小于 B）
