1、1常州市教育学会学生学业水平监测高三数学试题 2018 年 1 月一、填 空 题 : 本 大 题 共 14 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 计 70 分 请 把 答 案 填 写 在 答 题 卡 相 应 位 置上 1若集合 ,则集合 22,0|ABxAB2命题“ ”是 命题(选填“真”或“假” ) ,1x3若复数 满足 ,则 z2i(i)z其 中 为 虚 数 单 位 z4若一组样本数据 2015,2017,x,2018,2016 的平均数为 2017,则该组样本数据的方差为 5右图是一个算法的流程图,则输出的 的值是 n6函数 的定义域记作集合 随机地投掷一枚质地均匀的1()lnfxD正
2、方体骰子(骰子的每个面上分别标有点数 ) ,记骰子1,26向上的点数为 ,则事件“ ”的概率为 tt7已知圆锥的高为 6,体积为 8用平行于圆锥底面的平面截圆锥,得到的圆台体积是7,则该圆台的高为 8各项均为正数的等比数列 中,若 ,则 的最小值为 na234234aa39在平面直角坐标系 中,设直线 与双曲线 的两xOy:10lxy2:1(0,)xyCab条渐近线都相交且交点都在 y 轴左侧,则双曲线 C 的离心率 的取值范围是 e注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题第 14 题) 、解答题(第 15 题第 20题) 本卷满分
3、 160 分,考试时间为 120 分钟考试结束后,请将本卷和答题卡一并交回2答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 05 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效。作答必须用 05 毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整,笔迹清楚4如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗5请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔210已知实数 满足 则 的取值范围是 ,xy0,24,xy xy11已知函数 ,其中 若过原点且斜率为 的直线与曲线 相()lnfbxbRk()yf
4、x切,则 的值为 k12如图,在平面直角坐标系 中,函数xOy的图象与 轴的sin()0,)yxx交点 满足 ,则 ,ABC2B13在 中, , 为 内一点(含边界) ,若满足3,7,5CAPABC,则 的取值范围为 )(41RP14已知 中, , 所在平面内存在点 使得ABC3P,则 面积的最大值为 223ABC二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 (本小题满分 14 分)已知 中, 分别为三个内角 的对边, ABCabc, ABC, 3sincosbCB(1)求角 ;(2)若 ,求 的值2bac1tnta16
5、(本小题满分 14 分)如图,四棱锥 的底面 是平行四边形, , ,点PABCDPCABD平 面 P是棱 上异于 P,C 的一点Q(1)求证: ; (2)过点 和 的平面截四棱锥得到截面 (点 在棱 上) ,求证:ADADQFPBQFBC(第 12 题)317 (本小题满分 14 分)已知小明(如图中 AB 所示)身高 1.8 米,路灯 OM 高 3.6 米,AB ,OM 均垂直于水平地面,分别与地面交于点 A,O 点光源从 M 发出,小明在地面上的影子记作 AB(1)小明沿着圆心为 O,半径为 3 米的圆周在地面上走一圈,求 扫过的图形面积;(2)若 米,小明从 A 出发,以 1 米/秒的速
6、度沿线段 走到 , ,且3 1A31O米 秒时,小明在地面上的影子长度记为 (单位:米) ,求 的表达式与10At )(tf )(tf最小值 18 (本小题满分 16 分)如图,在平面直角坐标系 中,椭圆 的右焦点为 ,点 是xOy)0(1:2bayxCFA椭圆的左顶点,过原点的直线 与椭圆交于 两点( 在第三象限) ,与椭圆的右准MNN,M线交于 点已知 ,且 PA243Ab(1)求椭圆 的离心率 ; Ce(2)若 ,求椭圆 的标准方程103AMNPOFSaC(第 17 题)419 (本小题满分 16 分)已知各项均为正数的无穷数列 的前 项和为 ,且满足 (其中 为常数) ,nanS1a数
7、列 满足 1()(1)nnS*Nnb21n(*)N(1)证明数列 是等差数列,并求出 的通项公式;nana(2)若无穷等比数列 满足:对任意的 ,数列 中总存在两个不同的项 ,c*nbsb( ) ,使得 ,求 的公比 tb*,sNsntb ncq20 (本小题满分 16 分)已知函数 ,其中 为常数2ln()xfa(1)若 ,求函数 的极值;0(f(2)若函数 在 上单调递增,求实数 的取值范围;()fx), a(3)若 ,设函数 在 上的极值点为 ,求证: 1a(fx01), 0x0()2fx5常州市教育学会学生学业水平监测数学(附加题) 2018 年 1 月21 【选做题】在 A、B、C、
8、D 四小题中只能选做两题,每小题 10 分,共计 20 分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41:几何证明选讲在 中,N 是边 AC 上一点,且 ,AB 与 的外接圆相切,求 的B2NANBCBCN值B选修 42:矩阵与变换已知矩阵 不存在逆矩阵,求:1aA(1)实数 a 的值; (2)矩阵 的特征向量AC选修 44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中,以原点 为极点, 轴正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线 CxOyx的参数方程为 ( 为参数) ,直线 l 的极坐标方程为 ,直线2cos1,in sin()24l 与曲线 C 交于 M,N 两点,求 MN
9、 的长D选修 45:不等式选讲 已知 ,求证: 0,ab32ab注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 本试卷只有解答题,供理工方向考生使用本试卷第 21 题有 A、B、C、D 4 个小题供选做,每位考生在 4 个选做题中选答 2 题若考生选做了 3 题或 4 题,则按选做题中的前 2 题计分第 22、23 题为必答题每小题 10 分,共 40 分考试时间 30 分钟考试结束后,请将本卷和答题卡一并交回2 答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 05 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效
10、作答必须用 05 毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整,笔迹清楚4 如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗5 请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔6【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 (本小题满分 10 分)已知正四棱锥 的侧棱和底面边长相等,在这个正四棱锥的 8 条棱中任取两条,ABCDP按下列方式定义随机变量 的值:若这两条棱所在的直线相交,则 的值是这两条棱所在直线的夹角大小(弧度制) ;若这两条棱所在的直线平行,则 ;0
11、若这两条棱所在的直线异面,则 的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制) (1)求 的值;)0(P(2)求随机变量 的分布列及数学期望 )(E23 (本小题满分 10 分)记 ( 且 )的展开式中含 项的系数为 ,含 项1()()2xxn 2 *nNxnS2x的系数为 nT(1)求 ;S(2)若 ,对 成立,求实数 的值;2nTabc2,34nabc,(3)对(2)中的实数 ,用数学归纳法证明:对任意 且 ,, 2n *N都成立nTabcS7常州市教育学会学生学业水平监测高三数学试题参考答案及评分标准一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分1 2真 31 42 57 6
12、73 58 910 11 12 13 143(,),81e342,845216二、解 答 题 : 本 大 题 共 6 小 题 , 共 计 90 分 解 答 时 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 15解:(1)由正弦定理得 , 中, ,所以3sincosinBCCABsin0C,所以 , , ,所以 ;3sinco1B1()25663(2)因为 ,由正弦定理得 ,2basiisAsconcoin()si()sintatiniisA BCCCAC所以, 21123ttasiiB16 (1)证明: , ,所以PACD平 面 ABD平 面,记 交于点 ,平行四边形对角
13、线互相平BDC, O分,则 为 的中点,又 中, ,所以OBP,又 , ,所以 ,=PPA, 平 面 PAC平 面又 ,所以 ;A平 面 DC(2)四边形 是平行四边形,所以 ,又BCB, ,所以 ,D平 面 B平 面 平 面又 , ,所以 ,QF平 面 APQF平 面 平 面 ADF又 ,所以 A17解:(1)由题意 , , ,所以 ,BOM1.83623O6B小明在地面上的身影 扫过的图形是圆环,其面积为 ;A 227()平 方 米(2)经过 秒,小明走到了 处,身影为 ,由(1)知 ,所以t00AB01AM,200 0() cosftBOO化简得 , ,当 时, 的最小值为2()39,1
14、0fttt 237()4ft32t()ft,328答: ,当 (秒)时, 的最小值为 (米) 2()39,01fttt 32t()ft3218解:(1)由题意 ,消去 y 得 ,解得222()()xyab220cxab,22abxc, 所以 , , ,所以 ;(,0)M2243MAabOxcca32e(2)由(1) ,右准线方程为 ,2(,)3bx直线 的方程为 ,所以 ,Nyx436(,)Pb, ,21346=2POFPSb 2243AMNOMSAybb所以 , ,所以 ,210+a03b2,ba椭圆 的标准方程为 C82yx19解:(1)方法一:因为 ,1()(1)nnS所以 ,2()()
15、2nS由-得, ,11()()2()nnnS即 ,又 ,2(1)()n S 10则 ,即 nSS21na在 中令 得, ,即 1()()n21a21a综上,对任意 ,都有 ,*N1n故数列 是以 2 为公差的等差数列na又 ,则 1a方法二:因为 ,所以 ,又 ,则数列1()(1)nnS1nS1Sa是以 为首项, 为公差的等差数列, na因此 ,即 12(1)nSan当 时, ,又 也符合上式,2n 1n1a故 ,a(*)N9故对任意 ,都有 ,即数列 是以 2 为公差的等差数列*nN12nana(2)令 ,则数列 是递减数列,所以 1nee21nea考察函数 ,因为 ,所以 在 上递yx()
16、210xyyx(,)增 因此 ,从而 1422()nea 42,)nnbea(因为对任意的 ,总存在数列 中的两个不同项 , ,使得 ,所*Nstbsntcb 以对任意的 都有 ,明显 42,)nca(0q若 ,当 时,有 ,不1qlog1()q 11422)nnca(符合题意,舍去;若 ,当 时,有 ,02lqan 11)nncqq( 不符合题意,舍去;故 120解:(1)当 时, ,定义域为 0a2ln()xf (0),令 ,得 32ln()xf 0fe(e), (e),()fx 0 极大值 12e当 时, 的极大值为 ,无极小值ex()fx12e(2) ,由题意 对 恒成立312ln()
17、afx ()0fx ()a, , ,0, 3(a 对 恒成立12lnax )x, 对 恒成立 (0,令 , , 则 ,()lg)a, ()2ln1gx若 ,即 ,则 对 恒成立,120ea 12e - 0()xa, 在 上单调递减,()lnxx(0),10则 , , 与 矛盾,舍去;2()ln()aa - ln()a0 1 12ea -若 ,即 ,令 ,得 ,1e12e20gxx当 时, , 单调递减,20x()ln()2lng当 时, , 单调递增,1ea210gxxx当 时, ,2x1122min()(e)ln(e)eA 综上 1ea 1a(3)当 时, , 2l()xf3l()()xxf
18、令 , ,()1lnhx01,则 ,令 ,得 2()lxx()0hx12e当 时, , 单调递减, ,1e 0h 1ln12()0ehx, 恒成立, 单调递减,且 ,3ln()(1)xxf 2()xf ()ff当 时, , 单调递增,20ex ()0hx ()1lnhxx其中 ,114()lnl2eh又 ,2 25eel()10存在唯一 ,使得 , ,201(,)xhx()fx当 时, , 单调递增,0f2ln()1f当 时, , 单调递减,且 ,120ex ()fx2l()xf12()e)fxf由和可知, 在 单调递增,在 上单调递减,2ln(1)f0, 0(1,当 时, 取极大值0xl)xf , ,0()12lnh01ln2x ,0200l(1)()()xf x