1、第一章 蒙特卡罗方法概述l蒙特卡罗方法的基本思想l蒙特卡罗方法的收敛性，误差l蒙特卡罗方法的特点l蒙特卡罗方法的主要应用范围 作 业第一章 蒙特卡罗方法概述蒙特卡罗方法 又称 随机抽样技巧 或 统计试验方法。半个多世纪以来，由于科学技术的发展和电子计算机的 发明 ，这种方法作为一种独立的方法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。蒙特卡罗方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法有很大区别。它是以概率统计理论为基础的一种方法。由于蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方法的应用领域日趋广泛。1.蒙特卡罗方法的基本思想二十世纪四十年
2、代中期，由于科学技术的发展和电子计算机的 发明 ，蒙特卡罗方法作为一种独立的方法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。但其基本思想并非新颖，人们在生产实践和科学试验中就已发现，并加以利用。 两个例子例 1. 蒲丰氏问题例 2. 射击问题（打靶游戏） 基本思想 计算机模拟试验过程例 1. 蒲丰氏问题为了求得圆周率 值，在十九世纪后期，有很多人作了这样的试验：将长为 2l的一根针任意投到地面上，用针与一组相间距离为 2a（ l a） 的平行线相交的频率代替概率 P， 再利用准确的关系式：求 出 值其中 为投计次数， n为针与平行线相交次数。这就是古典概率论中著名的蒲丰氏问题。一些人进行
3、了实验，其结果列于下表 ：实验者 年份 投计次数 的实验值沃尔弗 (Wolf) 1850 5000 3.1596斯密思 (Smith) 1855 3204 3.1553福克斯 (Fox) 1894 1120 3.1419拉查里尼(Lazzarini)1901 3408 3.1415929例 2. 射击问题（打靶游戏） 设 r表示射击运动员的弹着点到靶心的距离， (r)表示击中 r处相应的得分数（环数）， f(r)为该运动员的弹着点的分布密度函数，它反映运动员的射击水平。该运动员的射击成绩为 用概率语言来说， 是随机变量 (r)的数学期望，即 现假设该运动员进行了 次射击，每次射击的弹着点依次为
4、 r1， r2， ， rN， 则 次得分 g(r1)， g(r2)， ， g(rN)的算术平均值代表了该运动员的成绩。换言之，为积分 的估计值，或近似值。在该例中，用 次试验所得成绩的算术平均值作为数学期望 的估计值（积分近似值）。 基本思想 由以上两个例子可以看出，当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量的数 学期望，或者是与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验的方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。 当随机变量的取值仅为 1或 0时，它的数学期望就是某个事件的概率。或者说，某种事件的概率也是随机
5、变量（仅取值为 1或 0）的数学期望。 因此，可以通俗地说，蒙特卡罗方法是用随机试验的方法计算积分，即将所要计算的积分看作服从某种分布密度函数 f(r)的随机变量 (r)的数学期望 通过某种试验，得到 个观察值 r1， r2， ， rN（ 用概率语言来说，从分布密度函数 f(r)中抽取 个子样 r1，r2， ， rN，）， 将相应的 个随机变量的值 g(r1)，g(r2)， ， g(rN)的算术平均值作为积分的估计值（近似值）。 为了得到具有一定精确度的近似解，所需试验的次数是很多的，通过人工方法作大量的试验相当困难，甚至是不可能的。因此，蒙特卡罗方法的基本思想虽然早已被人们提出，却很少被使用。本世纪四十年代以来，由于电子计算机的出现，使得人们可以通过电子计算机来模拟随机试验过程，把巨大数目的随机试验交由计算机完成，使得蒙特卡罗方法得以广泛地应用，在现代化的科学技术中发挥应有的作用。
