1、多面体与球的组合体 1 / 16专题 多面体与球的组合体问题综述 .21.球与柱体的组合体 .21.1 球与正方体 .21.2 球与长方体 .31.3 球与正棱柱 .42 球与锥体的组合体 .52.1 球与正 四面体 .52.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥 .52.3 球与正棱锥 .62.4 球与其他棱锥 .73 球与球的组合体 .84 球与几何体的各条棱相切 .95 与三视图相结合的组合体问题 .9多面体与球的组合体 2 / 16综述在各类考试中，与球有关的问题往往是：（1） 一个几何体的所有顶点在球上，此球即为外接球，确定其半径的方法主要是：A 将几何体补为长方体或正方体，化为这两种特殊
2、几何体的外接球问题；B 利用外接球的球心的特点（到几何体所有顶点的距离相等，先确定球心的轨迹，再列等式，解得半径；（2） 内切球也即球在几何体内部，与其所有侧面均相切，这种球的半径往往用体积公式来确定，此类问题出现较少。1.球与柱体的组合体1.1 球与正方体如图 1 所示，正方体 1ABCD，设正方体的棱长为 a，,EFHG为棱的中点， O为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形 EFGH和其内切圆，则 2aOJr；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形 和其外接圆，则 GRa；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形 1AC和其外接圆，则 132AORa.通过这
3、三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.例 1 棱长为 1 的正方体 1ABCD的 8 个顶点都在球 O的表面上， EF， 分别是棱 1A，D的中点，则直线 EF被球 O截得的线段长为（ ）A 2 B 1 C 2D 2多面体与球的组合体 3 / 16解：由题意可知，球为正方体的外接球.平面 1AD截面所得圆面的半径 12,ADR1EFAD面 ， 直线 EF被球 O截得的线段为球的截面圆的直 径 2.【牛刀小试】将棱长为 2 的正方体木块削成一个
4、体积最大的球，则这个球的表面积为（ ）A2 B4 C8 D16 【答案】B【解析】体积最大的球是其内切球，即球半径为 1，所以表面积为 412S.1.2 球与长方体长方体必有外接球，不一定存在内切球（只有为正方体时才有）.设长方体的棱长为 ,abc其体对角线为 l，则 ，外接球的半径22.labcR222()lR例 2 在长、宽、高分别为 2，2，4 的长方体内有一个半径为 1 的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为( ) A. B.4 C. D.103 83 73解：该球正好与长方体内切，它的运动轨迹是上下各半个小球，和一个高为 2 的圆柱，则体积为32411.3 球与正棱柱下面
5、以正三棱柱为例。设正三棱柱 1ABC的高为 ,h底面边长为 a，如图 2 所示， D和 1分别为上下底面的中心.根据几何体的特点，球心必落在高 1的中点 O，3,2hODRa借助直角三角形 A的勾股定理，可求2()3.多面体与球的组合体 4 / 16例 3 正四棱柱 1ABCD的各顶点都在半径为 R的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为 .【牛刀小试】直三棱柱 1ABC的六个顶点都在球 O的球面上，若 1ABC，012ABC， 13，则球 O的表面积为（ ）A 4 B 8 C 6 D 242 球与锥体的组合体2.1 球与正 四面体正四面体，即所有棱长均相等的三棱锥，它既存在外接球，也存在内切
6、球，两心合一。 外接球的半径为 ，内切球的半径为 ，二者是 4:1 的关系，可以用体积来证明。63a612a例 （2005 全国卷 2） 将半径都为的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( )多面体与球的组合体 5 / 16A. 326 B. 2+ 263 C. 4+ 263 D. 4263来源:学&科&网解：四个小球放在正四面体中，每个角内一个，且小球在角内与汇于此角的三个面相切，4 个小球同时在中部互相相切。 把四个小球的圆心连起来，得到一个小的正四面体，这个小正四面体的是 2，则这个小正四面体的高为 263。 小正四面体和原来正四面体的中心是重合的，中心到
7、小四面体各面的距离为 ,那么中心到原来正四12643A面体各面的距离应为，所以原正四面体的高为 12643A42.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥三条侧棱互相垂直的三棱锥，可以补为长（正）方体，因此也就转化为前面提到的问题。例 5 在正三棱锥 SABC中， MN、 分别是棱 SCB、 的中点，且 AMN,若侧棱 23SA,则正三棱锥 外接球的表面积是 .解：正三棱锥本身有一个特点：对棱互相垂直。本题中，ACSB，又 SBMN ，由已知得 AMSB，于是 SB平面 SAC，从而 SASC，也即此三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度相等，将其补为正方体，易得外接球半径为 3，表面积为 36。【牛刀小试
8、】 一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1 的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )A 12 B 43 C 3 D 123答案 C解析：补为长方体，外接球半径为 ，故选 C.2r多面体与球的组合体 6 / 162.3 球与正棱锥此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.例 已知正四棱锥的底边和侧棱长均为 32，则该正四棱锥的外接球的表面积为 .例 在正三棱锥 PABC 中，PA PB=PC= 3,侧棱 PA 与底面 ABC 所成的角为 60，则该三棱锥外接球的体积为（ ）A B. 3C. 4 D. 4变式 1：已知正三棱
9、锥 PABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3的球面上,若 PA,PB,PC 两两互相垂直,则球心到截面 ABC 的距离为_.来源:学科网变式 2： （2008 年浙江高考题）已知球 的面上四点 A、B、C、D， ， ，OABC平 面 多面体与球的组合体 7 / 16，则球 的体积等于 .DA=BC3O解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于 ， ，联想长方体中的相应线段关系，构造如图 4 所示的长方体，又平 面 ABC因为 ，则此长方体为正方体，所以 长即为外接球的直径，利用直角三角形解出=BC3D.故球 的体积等于 .（如图 4）
10、D3O92变式 3：正四棱锥 ，底面边长为 2，侧棱长为 3，则内切球的半径是多少？SAD2.4 球与其他棱锥球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法等进行求解.例如，四个面都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置.如图 8，三棱锥 SABC,满足,SABC面取 S的中点为 O,由直角三角形的性质可得：O所以 点为三棱锥 的外接球的球心,则 2SR.例 矩形 D中， 4,3,ABC沿 A将矩形 BCD折成一个直二面角BAC,则四面体 的外接球的体积是( )A. 125 B. 9 C. 6125 D. 3来源:学科网解：由题意分
11、析可知，四面体 ABCD的外接球的球心落在 AC的中点，此时满足 ,OADBC 52ACR, 34VR1256.变式：1、三棱锥 中，底面ABC 是边长为 2 的正三角形，PA底面 ABC，且 PA=2，则此三棱锥内切球PB的半径为（ ）2四面体 ABCD 的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，AC= ，BD= ，则该球的表面积236为A 14 B15 C16 D183、如图，半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥 PABCEF，则此正六棱锥的侧面积是_CBASO多面体与球的组合体 8 / 163 球与球的组合体对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能
12、力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如 准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.例 在半径 为 R 的球内放入大小相等的 4 个小球，则小球半径 r 的最大值为（ ）A. ( 1)R B . ( 2)R C. R D. R2 614 13解：四个小球的球心为一个正四面体的顶点，设正四面体的外接球的球心为 O，则AO=R-r， ，在直角三角形 中，AB=2r， ，所以1()3AORr1ABO123Br，得 224()3r(62)r4 球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构
13、造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半： 24ra.例 把一个皮球放入如图 10 所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与 8 根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（ ）Al0 3cm B10 cm C10 2cm D30cm图 10多面体与球的组合体 9 / 165 与三视图相结合的组合体问题本类问题一般首先给出三视图，然后考查其直观图的相关的组合体问题.解答的一般思路是根据三视图还原几何体，根据几何体的特征选择以上介绍的方法进行求解. 例 9 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（ ）A.5 B.12 C.20 D.8【牛刀小试】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A. B. C. D. 163 193 1912 43多面体与球的组合体 10 / 16
