专题多面体与球的组合体问题.DOC

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1、多面体与球的组合体 1 / 16专题 多面体与球的组合体问题综述 .21.球与柱体的组合体 .21.1 球与正方体 .21.2 球与长方体 .31.3 球与正棱柱 .42 球与锥体的组合体 .52.1 球与正 四面体 .52.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥 .52.3 球与正棱锥 .62.4 球与其他棱锥 .73 球与球的组合体 .84 球与几何体的各条棱相切 .95 与三视图相结合的组合体问题 .9多面体与球的组合体 2 / 16综述在各类考试中,与球有关的问题往往是:(1) 一个几何体的所有顶点在球上,此球即为外接球,确定其半径的方法主要是:A 将几何体补为长方体或正方体,化为这两种特殊

2、几何体的外接球问题;B 利用外接球的球心的特点(到几何体所有顶点的距离相等,先确定球心的轨迹,再列等式,解得半径;(2) 内切球也即球在几何体内部,与其所有侧面均相切,这种球的半径往往用体积公式来确定,此类问题出现较少。1.球与柱体的组合体1.1 球与正方体如图 1 所示,正方体 1ABCD,设正方体的棱长为 a,,EFHG为棱的中点, O为球的球心.常见组合方式有三类:一是球为正方体的内切球,截面图为正方形 EFGH和其内切圆,则 2aOJr;二是与正方体各棱相切的球,截面图为正方形 和其外接圆,则 GRa;三是球为正方体的外接球,截面图为长方形 1AC和其外接圆,则 132AORa.通过这

3、三种类型可以发现,解决正方体与球的组合问题,常用工具是截面图,即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面,通过两个截面图的位置关系,确定好正方体的棱与球的半径的关系,进而将空间问题转化为平面问题.例 1 棱长为 1 的正方体 1ABCD的 8 个顶点都在球 O的表面上, EF, 分别是棱 1A,D的中点,则直线 EF被球 O截得的线段长为( )A 2 B 1 C 2D 2多面体与球的组合体 3 / 16解:由题意可知,球为正方体的外接球.平面 1AD截面所得圆面的半径 12,ADR1EFAD面 , 直线 EF被球 O截得的线段为球的截面圆的直 径 2.【牛刀小试】将棱长为 2 的正方体木块削成一个

4、体积最大的球,则这个球的表面积为( )A2 B4 C8 D16 【答案】B【解析】体积最大的球是其内切球,即球半径为 1,所以表面积为 412S.1.2 球与长方体长方体必有外接球,不一定存在内切球(只有为正方体时才有).设长方体的棱长为 ,abc其体对角线为 l,则 ,外接球的半径22.labcR222()lR例 2 在长、宽、高分别为 2,2,4 的长方体内有一个半径为 1 的球,任意摆动此长方体,则球经过的空间部分的体积为( ) A. B.4 C. D.103 83 73解:该球正好与长方体内切,它的运动轨迹是上下各半个小球,和一个高为 2 的圆柱,则体积为32411.3 球与正棱柱下面

5、以正三棱柱为例。设正三棱柱 1ABC的高为 ,h底面边长为 a,如图 2 所示, D和 1分别为上下底面的中心.根据几何体的特点,球心必落在高 1的中点 O,3,2hODRa借助直角三角形 A的勾股定理,可求2()3.多面体与球的组合体 4 / 16例 3 正四棱柱 1ABCD的各顶点都在半径为 R的球面上,则正四棱柱的侧面积有最 值,为 .【牛刀小试】直三棱柱 1ABC的六个顶点都在球 O的球面上,若 1ABC,012ABC, 13,则球 O的表面积为( )A 4 B 8 C 6 D 242 球与锥体的组合体2.1 球与正 四面体正四面体,即所有棱长均相等的三棱锥,它既存在外接球,也存在内切

6、球,两心合一。 外接球的半径为 ,内切球的半径为 ,二者是 4:1 的关系,可以用体积来证明。63a612a例 (2005 全国卷 2) 将半径都为的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为 ( )多面体与球的组合体 5 / 16A. 326 B. 2+ 263 C. 4+ 263 D. 4263来源:学&科&网解:四个小球放在正四面体中,每个角内一个,且小球在角内与汇于此角的三个面相切,4 个小球同时在中部互相相切。 把四个小球的圆心连起来,得到一个小的正四面体,这个小正四面体的是 2,则这个小正四面体的高为 263。 小正四面体和原来正四面体的中心是重合的,中心到

7、小四面体各面的距离为 ,那么中心到原来正四12643A面体各面的距离应为,所以原正四面体的高为 12643A42.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥三条侧棱互相垂直的三棱锥,可以补为长(正)方体,因此也就转化为前面提到的问题。例 5 在正三棱锥 SABC中, MN、 分别是棱 SCB、 的中点,且 AMN,若侧棱 23SA,则正三棱锥 外接球的表面积是 .解:正三棱锥本身有一个特点:对棱互相垂直。本题中,ACSB,又 SBMN ,由已知得 AMSB,于是 SB平面 SAC,从而 SASC,也即此三棱锥的三条侧棱两两垂直,且长度相等,将其补为正方体,易得外接球半径为 3,表面积为 36。【牛刀小试

8、】 一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为1 的两个全等的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为( )A 12 B 43 C 3 D 123答案 C解析:补为长方体,外接球半径为 ,故选 C.2r多面体与球的组合体 6 / 162.3 球与正棱锥此时三棱锥的各个顶点在球面上,根据截面图的特点,可以构造直角三角形进行求解.例 已知正四棱锥的底边和侧棱长均为 32,则该正四棱锥的外接球的表面积为 .例 在正三棱锥 PABC 中,PA PB=PC= 3,侧棱 PA 与底面 ABC 所成的角为 60,则该三棱锥外接球的体积为( )A B. 3C. 4 D. 4变式 1:已知正三棱

9、锥 PABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3的球面上,若 PA,PB,PC 两两互相垂直,则球心到截面 ABC 的距离为_.来源:学科网变式 2: (2008 年浙江高考题)已知球 的面上四点 A、B、C、D, , ,OABC平 面 多面体与球的组合体 7 / 16,则球 的体积等于 .DA=BC3O解析:本题同样用一般方法时,需要找出球心,求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径,由于 , ,联想长方体中的相应线段关系,构造如图 4 所示的长方体,又平 面 ABC因为 ,则此长方体为正方体,所以 长即为外接球的直径,利用直角三角形解出=BC3D.故球 的体积等于 .(如图 4)

10、D3O92变式 3:正四棱锥 ,底面边长为 2,侧棱长为 3,则内切球的半径是多少?SAD2.4 球与其他棱锥球与一些特殊的棱锥进行组合,一定要抓住棱锥的几何性质,可综合利用截面法、补形法等进行求解.例如,四个面都是直角三角形的三棱锥,可利用直角三角形斜边中点几何特征,巧定球心位置.如图 8,三棱锥 SABC,满足,SABC面取 S的中点为 O,由直角三角形的性质可得:O所以 点为三棱锥 的外接球的球心,则 2SR.例 矩形 D中, 4,3,ABC沿 A将矩形 BCD折成一个直二面角BAC,则四面体 的外接球的体积是( )A. 125 B. 9 C. 6125 D. 3来源:学科网解:由题意分

11、析可知,四面体 ABCD的外接球的球心落在 AC的中点,此时满足 ,OADBC 52ACR, 34VR1256.变式:1、三棱锥 中,底面ABC 是边长为 2 的正三角形,PA底面 ABC,且 PA=2,则此三棱锥内切球PB的半径为( )2四面体 ABCD 的四个顶点在同一球面上,AB=BC=CD=DA=3,AC= ,BD= ,则该球的表面积236为A 14 B15 C16 D183、如图,半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥 PABCEF,则此正六棱锥的侧面积是_CBASO多面体与球的组合体 8 / 163 球与球的组合体对个多个小球结合在一起,组合成复杂的几何体问题,要求有丰富的空间想象能

12、力,解决本类问题需掌握恰当的处理手段,如 准确确定各个小球的球心的位置关系,或者巧借截面图等方法,将空间问题转化平面问题求解.例 在半径 为 R 的球内放入大小相等的 4 个小球,则小球半径 r 的最大值为( )A. ( 1)R B . ( 2)R C. R D. R2 614 13解:四个小球的球心为一个正四面体的顶点,设正四面体的外接球的球心为 O,则AO=R-r, ,在直角三角形 中,AB=2r, ,所以1()3AORr1ABO123Br,得 224()3r(62)r4 球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题,关键要抓住棱与球相切的几何性质,达到明确球心的位置为目的,然后通过构

13、造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半: 24ra.例 把一个皮球放入如图 10 所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内,使皮球的表面与 8 根铁丝都有接触点,则皮球的半径为( )Al0 3cm B10 cm C10 2cm D30cm图 10多面体与球的组合体 9 / 165 与三视图相结合的组合体问题本类问题一般首先给出三视图,然后考查其直观图的相关的组合体问题.解答的一般思路是根据三视图还原几何体,根据几何体的特征选择以上介绍的方法进行求解. 例 9 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的球面面积为( )A.5 B.12 C.20 D.8【牛刀小试】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )A. B. C. D. 163 193 1912 43多面体与球的组合体 10 / 16

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