1、 1 第一章 习题解答 1.1 已知不变线性系统的输入为 xxg comb 系统的传递函数 bf。若 b 取（ 1） .b （ 2） .b ，求系统的输出 xg 。并画出输出函数及其频谱的图形。 答：（ 1） xxg F 图形从略， （ 2） xscofffxgxxx F图形从略。 1.2 若限带函数 yx,f 的傅里叶变换在长度 L 为宽度 W 的矩形之外恒为零， （ 1） 如果 La ， Wb ，试证明 yxfyxfbxaxab ,s in cs in c 证明：( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )yx,fs i n cs i n c1,yx,f,yx,f=bxax
2、abbfafr e c tyxfbfafr e c tyxfWfLfr e c tyxfyxyxyxFFFFF1-（ 2） 如果 La ， Wb ，还能得出以上结论吗？ 答：不能。因为这时 yxyx bfafr e c tyxfWfLfr e c tyxf ,F,F 。 1.3 对一个空间不变线性系统，脉冲响应为 yxyxh s in c, 试用频域方法对下面每一个输入 yxfi , ，求其输出 yxgi , 。（必要时，可取合理近似） 2 （ 1） xyxf cos, 答： xc o sxc o sfr e c txc o sy7xs i nxc o syxhyxfyxgx FFFFFFF,
3、F,FF,（ 2） yr e c txr e c txc o syxf ,答： yr e c txr e c txc o sfr e c tfs i n c75fs i n cxc o sy7xs i nyr e c txr e c txc o syxhyxfyxgxyx FFFFF,F,FF,（ 3） xr e c txc o syxf ,答： xr e c tf75fs i n cfr e c tf75fs i n cfr e c tf75fs i n cffxfr e c tf75fs i n cxc o sy7xs i nxr e c txc o syxgyxxyxxyxxxxyxFF
4、FFFFFF,（ 4） yr e c txr e c txc o m byxf , 答： x6c o sx2c o sfffffffffffr e c tfffffffffr e c tfs i n c2fs i n cffc o m by7xs i nyr e c txr e c txc o m byxgyxyxyxyxyxxyxyxyxyxxyxyx.,.,.,.,.,F,.,.,.,FFFFF,0 . 2 5 1.4 给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波 3 xxr e c txc o m bxgi 对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。 （ 1） ffH rect（ 2
5、） fffH r e c tr e c t答：图解方法是在频域里进行的，首先要计算输入函数的频谱，并绘成图形 21( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 5 0( 3 ) 5 0 s in ( 5 0 ) s inixxG f g x c o m b r e c t xc o m b f c f c f F F F 方括号内函数频谱图形为： f12 1 2353432 135343233150图 1.4（ 1） fc2sin 图形为： 4 f132 13 31 2310.6850.17 0.041图 1.4（ 2） 因为 fc2sin 的分辨力太低，上面两个图纵坐标的单位相差 50 倍。
6、两者相乘时忽略中心五个分量以外的其他分量，因为此时 fc2sin 的最大值小于 0.04%。故图解 )(fG 频谱结果为： f32 13233150G (f )50 *0 .6 8550 *0 .1 71图 1.4（ 3） 传递函数（ 1）形为： 5 f111图 1.4（ 4） 因为近似后的输入函数频谱与该传递函数相乘后，保持不变，得到输出函数频谱表 达式为： )32()32(171.0)50(s i n50)31()31(685.0)( fffcfff 其反变换，即输出函数为： )50(322c o s3 4 2.032c o s37.11 xr e c txx 该函数为限制在 25,25
7、区间内，平均值为 1，周期为 3，振幅为 1.37 的一个余弦函数与周期为 1.5，振幅为 0.342 的另一个余弦函数的叠加。 传递函数（ 2）形为： f1图 1.4（ 5） 6 此时，输出函数仅剩下在 1,2 及 2,1 两个区间内分量，尽管在这两个区间内输入函数的频谱很小，相对于传递函数（ 2）在 1,1 的零值也是不能忽略的，由于 027.0)35(s in043.0)34(s in 22 cc 可以解得，通过传递函数（ 2）得到的输出函数为： )50(352c o s0 2 7.0342c o s0 4 3.0 xr e c txx 该函数依然限制在 25,25 区间内，但其平均值为
8、零，是振幅为 0.043，周期为 0.75，的一个余弦函数与振幅为 0.027，周期为 0.6 的另一个余弦函数的叠加。 1.5 若对二维函数 axayxh s inc, 抽样，求允许的最大抽样间隔并对具体抽样方法进行说明。 答： yx fafaxs i n cayxh F,F YaBX x ;也就是说，在 X 方向允许的最大抽样间隔小于 1/2a，在 y 方向抽样间隔无限制。 1.6 若只能用 ba 表示的有限区域上的脉冲点阵对函数进行抽样，即 byaxYyXxyxgyxg s r e c tr e c tc o m bc o m b,试说明，即使采用奈魁斯特间隔抽 样，也不能用一个理想低通
9、滤波器精确恢复 yxg , 。 答：因为 ba 表示的有限区域以外的函数抽样对精确恢复 yxg , 也有贡献，不可省略。 1.7 若二维不变线性系统的输入是“线脉冲” xyxf , ，系统对线脉冲的输出响应称为线响应 xL 。如果系统的传递函数为 yx ffH , ，证明：线响应的一维傅里叶变换等于7 系统传递函数沿 xf 轴的截面分布 0,xfH 。 证明： 0,y xyxy fHffHfyxhxL FF 1.8 如果一个空间不变线性系统的传递函数在频率域的区间 xx Bf ，yy Bf 之外恒为零，系统输入为非限带函数 yxg , ，输出为 yxg , 。证明，存在一个由脉冲的方形阵列构成
10、的抽样函数 yxg , ，它作为等效输入，可产生相同的输出 yxg , ，并请确定 yxg , 。 答： 为了便于从频率域分析，分别设： 物的空间频谱 00( , ) ( , )xyA f f g x y F ； 像的空间频谱 ( , ) ( , )i x y iA f f g x y F ； 等效物体的空间频谱 00 ( , ) ( , ) xyA f f g x y F ； 等效物体的像的空间频谱 00 ( , ) ( , ) .xyA f f g x y F 由于成像系统是一个线性的空间不变低通滤波器，传递函数在 ,x x y yf B f B之外恒为零，故可将其记为： ( , ) 22
11、 yxxyxyffH f f r e c t r e c tBB 、 利用系统的传递函数，表示物像之间在频域中的关系为 0 ( , ) ( , ) 22( , )yxx y x yxyi x yffA f f H f f r e c t r e c tBBA f f 在频域中我们构造一个连续的、二维周期性分布的频域函数，预期作为等效物的谱，办法是把0 ( , ) 22 yxxy xyffA f f r e c t r e c tBB 安置在 xyff 平面上成矩形格点分布的每一个(2 ,2 )xyB n B m 点周围，选择矩形格点在 xf 、 yf 方向上的间隔分别为 2xB 和 2yB ,
12、以免频谱混叠，于是 00 ( , ) ( , ) 2 , 222 yxx y x y x x y ynmxy ffA f f A f f r e c t r e c t f B n f B nBB 8 0 1( , ) 2 2 4 2 2yyxxxy x y x y x yffffA f f r e c t r e c t c o m b c o m bB B B B B B （ 1） 对于同一个成像系统，由于传递函数的通频带有限，只能允许 0 ( , )xyA f f 的中央一个周期成份（ 0nm）通过，所以成像的谱并不发生变化，即 0 ( , ) ( , ) 22 yxx y x y xy
13、ffA f f H f f r e c t r e c tBB ( , )i x yA f f ( , )i x yA f f 图 1.8 用一维形式表示出系统在频域分别对 0A 和 0A 的作用，为简单计，系统传递函数在图中表示为2 xxfrect B。 2B XB X-B XB X-B XB X-B XB X-B X-B XA i (f X )= A 0 (f X )H ( f X )A i (f X )= A 0 (f X ) H (f X )f Xf XB Xf Xf X11H (f X )H (f X )f Xf XA 0 (f X )图 题 1.8 既然，成像的频谱相同，从空间域来
14、看，所成的像场分布也是相同的，即 ( , ) ( , )iiU x y U x y 00 ( ) ( ) 2 XXX XfA f A f re c t B * ( 2 )XXf B n 9 因此，只要求出 0 ( , )XYA f f 的逆傅立叶变换式，就可得到所需的等效物场，即 100 ( , ) ( , )XYU x y A f f F 带入（ 1）式，并利用卷积定理得到 1100 1 ( , ) ( , ) 2 2 4 2 2X Y X YXYX Y X Y X Yf f f fU x y A f f r e c t r e c t c o m b c o m bB B B B B B
15、FF10 ( , ) ( 2 ) ( 2 )22XYX Y X YffA f f r e c t r e c t c o m b B x c o m b B yBB F（ 2） 上式也可以从抽样定理来解释。 0 ( , ) 22XYXY ffA f f re c t re c tBB 是一个限带的频谱函数，它所对应的空间域的函数可以 通过抽样，用一个点源的方形阵列来表示，若抽样的矩形格点的间隔，在 x 方向是 12XB，在 y 方向是 12YB，就得到等效物场0 ( , )U x y 10 ( , ) 22XYXY ffA f f r e c t r e c tBB F0 ( , ) 4 s
16、i n ( 2 ) s i n ( 2 )X Y X YU x y B B c B x c B y 04 ( , ) sin 2 ( ) sin 2 ( ) X Y X yB B U c B x c B y d d ； （ 3） ( 2 ) ( 2 )XYc o m b B x c o m b B y 1 ,4 2 2nmX Y X YnmxyB B B B （ 4） 把（ 3）、（ 4）式代入（ 2）式，得到 00 ( , ) ( , ) sin 2 ( ) sin 2 ( ) ,22XY nm XYnmU x y U c B x c B y d d x yBB 利用 函数性质（ 1.8）式，上式可写为 0 ( , )U x y 10 0 ( , ) sin 2 ) sin 2 ) ,22XYnm XYnmU c n B c m B d d x yBB 这一点源的方形阵列构成的等效物场可以和真实物体 0U 产生完全一样的像 iU . 本题利用系统的传递函数，从频率域分析物象关系，先找出等效物的频谱，再通过傅立叶逆变换，求出等效物场的空间分布，这种频域分析方法是傅立叶光学问题的基本分析方法。
