1、第 1 页 共 15 页江苏省新海高级中学 2009 届高三数学模拟试卷数学（必做题）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上1.函数 的值域为_.)21(log2x2.复数 且 ，则 的值为_.3,zaiR213zia3. 已知点 (,4)(6,AB位于直线 :10lxy异侧,且到直线 的距离相等，则实数 a的值l等于_.4. 对任意非零实数 a、b，若 a b 的运算原理如图所 示，则 =_.41log25.05.05.如图是 2008 年北京奥运会上男子跳台跳水比赛中，12 位评委为某个运动员打出的分数的茎叶统计图
2、，去掉一个最高分和一个最低分之后，所剰数据的标准差为_.6.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于 _.7.已知函数 的导数 ,且 是其极大值,则实数 的取值范围是)(xf )(2)(/ axxf)(f a_.8.已知函数 ,若 ,则 的取值范围是 .科网2,1()fx()f9.函数 的部分图像如图所示,tan4y则 _.ABO)(10. 已知数列 的通项 ,其前 项和为 ,则使 成立的正整数 的最小值是n12nanS0nn_.BBAyx1O第 9 题图第 2 页 共 15 页11.在直角坐标系 中,已知双曲线 : 和圆 : ,过双曲xOy)0,(12bayxC22ayx线 的左焦
3、点 作圆 的一条切线(切点为 交双曲线的右支于点 ,若 为 的中点,则FC)TPMF等于_.MT12.已知命题 ：对一切 ， ，若命题 是假命题，则实数px1,0 0)5(6241kkxx p的取值范围是 k13.若集合 ，集合 ，在*|,3,AaN *|,2,BbkN中随机地选取一个元素，则所选取的元素恰好在 中的概率为_ BA14. 已知实数 满足 , 若不等式 恒成立，则实数 的取值范yx,025y xyay2 a围是_.二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分 14 分）已知函数 的最小正周期为
4、.)3cos(2)xxf求正数 的值；在锐角 中， 分别是角 的对边.ABCcba,CBA,若 , 的面积为 ,求 的值.1)(Afc316. (本小题满分 14 分）在直三棱柱 中， ， ，D1CB31A2BC是 BC 的中点，F 是 上一点，且 CF=2，E 是 上一点，且AE=2 求证: 平面 ；1ADF求证: 平面 BE17. (本小题满分 14 分）已知 、 分别为椭圆 : 的上、下焦点,其中 也是抛物线1F21C2(0)yxab1F的焦点,点 是 与 在第二象限的交点,且 .2:4CxyM2 15|3M求椭圆 的方程.1第 3 页 共 15 页xyOF1F2M第 17 题图已知点
5、和圆 : ,过点 的动(1,3)PO22xybP直线 与圆 相交于不同的两点 ,在线段 上取一点l AB,满足: , ,( 且 ).QAQ01求证:点 总在某一条定直线上运动,并求出该直线的方程.18. (本小题满分 16 分）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是矩形，其中 2AB米， 0.5C米.上部 mD是个半圆，固定点 E为 CD的中点.EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风） ， MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和 平行的伸缩横杆（ MN和 ABC、 不重合）.（1）当 和 之间的距离为 1 米时，求此时
6、三角通风窗 的通风面积；（2）设 与 AB之间的距离为 x米，试将三角通风窗 E的通风面积 S（平方米）表示成关于 x的函数 Sfx；（3）当 MN与 之间的距离为多少米时，三角通风窗 N的通风面积最大？并求出这个最大面积.19. (本小题满分 16 分）已知数列 中, , 为实常数）,前 项和 恒为正值，且当 时,na1aa1(2nnS2n.1nnS求证:数列 是等比数列；设 与 的等差中项为 ,比较 与 的大小；n2A1na设 是给定的正整数， .现按如下方法构造项数为 有穷数列 ：m2am2b当 时， ；mk,11kkab当 时， .2 12kA BCDEmM NA BCDEmMN图 （
7、 2）第 18 题图第 4 页 共 15 页TBPCOO1A求数列 的前 项和为 .nb),2(NnmTn20. (本小题满分 16 分）已知函数 .xxfln1)求函数 的最小值；(求证：当 时， ；Nn11321ne对于函数 和 定义域上的任意实数 ,若存在常数 ，使得不等式 和)(xhgxbk, bkxh)(都成立，则称直线 是函数 与 的“分界线”.设函数bkg)( bky)(hxg,试问函数 与 是否存在“分界线”?若存在,求出常,21x)(1)(xfex数 的值；若不存在，说明理由.k,江苏省新海高级中学 2009 届高三数学模拟试卷数 学（附加题）21选做题 在 A，B，C，D
8、四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.A.选修 41：几何证明选讲如图，圆 与圆 外切于点 ，一条外公切线分别切两圆于 两点， 为圆 的直径，O1P、 CO为圆 上任一点， .求证： 为圆 的切线，切点为 .T1TACT1TB.选修 42 矩阵与变换第 5 页 共 15 页已知矩阵 ，点 ，点 .203A(1,)M(1,)N（1）求线段 在矩阵 对应的变换作用下得到的线段 的长度；NM（2）求矩阵 的特征值与特征向量.C.选修 44：坐标系与参数方程已知曲线 的参数方程为 ，曲线 的极坐标方程为C2sin
9、,0,)coxyDsin()24（1）将曲线 的参数方程化为普通方程；（2）曲线 与曲线 有无公共点？试说明理由DD.选修 45：不等式证明选讲已知实数 满足 , ,求 的取值范围.dcba, 3dcb56322dcbaa22必做题 已知数列 的前 项和为 ，通项公式为 ， ，nanS1na21()2nSf， ，（1）计算 的值；(1),2(3)ff（2）比较 与 1 的大小，并用数学归纳法证明你的结论.n23必做题 一个暗箱中有 3 只白球与 2 只黑球共 5 只球，每次从中取出一只球，取到白球得 2 分，第 6 页 共 15 页取到黑球得 3 分甲从暗箱中有放回地依次取出 3 只球，乙从暗
10、箱中无放回地依次取出 3 只球()写出甲总得分的分布列；()求甲总得分大于乙总得分的概率；()试证明甲抽取 次得分的数学期望为 n512n江苏省新海高级中学 2009 届高三数学模拟试卷参考答案与评分细则一、填空题1 ；2. ；3. ；4. ；5.4；6.4；7. ；8. ；),2/132)0,2(21,96；10.11；11. ；12 ；13 ；14 .ab6,571,二、解答题15解： )3cos(2)(xxf xxsin23co1s分)6c(ins31x4由 的最小正周期为 及 得 分)(xf 026 ，即21Af 1)62cos(3A23)cos(A又 ，可得 ，即 分),0(7,65
11、210第 7 页 共 15 页再由 及 得 ，从而由余弦定理得3,ABCSc4b，即 分132916cos22 ba a1416证明: 因为 AB=AC， D 为 BC 的中点， 所以 ,BCAD又在直三棱柱 中， 平面 ， 平面 ，1CBA1所以 分1AD2又 所以 平面 ，,BC1又 平面 ，所以 分 F11,FBAD4在矩形 中， 1,CF,21所以 ,1RtDt所以 即,901BD又 所以 平面 分FAF1.A6连结 ， ，设 连结 分EC,M8因为 又 ,2EEC所以 四边形 是矩形， 分AF10所以 为 中点，又 为 中点，MDB所以 ， 分B 2因为 平面 ， 平面E,AF所以
12、平面 分EAF1417解: 方法 1.由 知 ,设 , 2:4Cxy1(0)0(,)Mxy因 在抛物线 上,故 M20又 ,则 , 由解得 , . 分15|3F0513y0263x0y3椭圆 的两个焦点 , ,点 椭圆上,由椭圆定义得1C1()21)FM第 8 页 共 15 页222212662|(0)(1)(0)(1)433aMF ,又 , , 椭圆 的方程为 . 分c22bac1C24yx6方法 2.由 知 ,设 ,2:4Cxy1(0)F0(,)Mx因 在抛物线 上,故 M22又 ,则 , 由解得 , . 分 15|3F0513y0263x0y3而点 椭圆上,故有 即 , 226()1ab
13、24819ab又 ,则 1c21b由可解得 , ,椭圆 的方程为 . 分24a231C2143yx6设 , ,12(,)()AxyB()Qxy由 可得: ,即 P12,3(1,3)y123()xy由 可得: ,即 分 AQB12(,)(,)xyx12()xy10 得: 得: 22122213y两式相加得 2()()()xyxyx又点 在圆 上，且 ,所以 ,AB2321y2y即 , 点 总在定直线 上. 分3Q31418解：（1）由题意，当 MN和 AB之间的距离为 1 米时，MN应位于 DC上方，且此时 E 中 边上的高为 0.5 米. 又因为 12E米，可得 3米. A BCDEmM N图
14、 （ 1）第 9 页 共 15 页所以， 1324EMNShA平方米，即三角通风窗 的通风面积为 平方米. 分4（2）1 如图（1）所示，当 N在矩形区域滑动，即 10,2x时，EMN的面积 1()|2SfxM； 分62如图（2）所示，当 N在半圆形区域滑动，即 13,2x时，21|()Nx，故可得 E的面积 1()|2SfMNx 21()()x；综合可得 21,0,2() 13(),.xSfx10（3）1 当 MN在矩形区域滑动时， ()f在区间 0,上单调递减，则有 1()02fx； 分122当 在半圆形区域滑动时， 222221()()11 1()()()()2 xxfxxx，等号成立
15、22， 3,3(),2.因而当 1(2)x（米）时，每个三角通风窗 EMN得到最大通风面积，最大面积为 maxS（平方米）. 分16A BCDEmMN图 （ 2）第 10 页 共 15 页19解:当 时, ,3n Nnnnn SSaS11化简得 ,又由 , 得 ,12nnS)(12 3a解得 , ，也满足 ,而 恒为正值,)(3a321,aSS12nnSn数列 是等比数列. 分nS 4 的首项为 1，公比为 ， .当 时, , a1n221)(nnn a .,)(2ann当 时, ,1 834)2(123231 aaAn此时 . 分1na 6当 时, 2 12121 )()1()( nnnnn aaa.2)()()(32n 恒为正值 且 ,nS0a1若 ,则 ,若 ,则 .101nA.a01nA综上可得,当 时, ；当 时，若 ，则 ，若 ,则 . 分2na1n.1na10 ,当 时, .a2,2n mk2321kkkb若 ,则由题设得Nnm, 12121, nnmbb221 mnbT. 分3)(41)(21434543 nnmm 13
